試題PAGE1試題2024北京匯文中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)本試卷共6頁，試卷分值為150分.考試時(shí)長為120分鐘.請(qǐng)考生務(wù)必答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.1.集合，，則（）A. B. C. D.2.如圖，曲線在點(diǎn)處的切線l過點(diǎn)，且，則的值為（）A. B.1 C.2 D.33.下列函數(shù)中，的最小值是2的是（）A. B.C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)6.7張卡片上分別寫有數(shù)字1234567從中隨機(jī)取出2張，記事件A＝“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B＝“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于8”，則＝（）A. B. C. D.7.小明家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果鄰居記得澆水，那么花存活的概率為，如果鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為.已知鄰居記得澆水的概率為，忘記澆水的概率為，那么李老師回來后發(fā)現(xiàn)花還存活的概率為（）A. B. C. D.8.被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為Hz；為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在處取得極小值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻沟贸闪ⅲ瑒t稱函數(shù)為“函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，則其中“函數(shù)”共有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.11.函數(shù)的定義域是____________．12.已知函數(shù)則________；的值域?yàn)開______．13.若函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．14.甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是______________．15.如圖，將一邊長為的正方形鐵皮四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后沿虛線折起，得到一個(gè)無蓋長方體容器，若要求所得容器的容積最大，則截去的小正方形邊長為___________.16.已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題：①對(duì)于任意，函數(shù)存在最小值；②對(duì)于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)；③存在，使得對(duì)于任意的，都有成立；④存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是______.三、解答題：本題共5個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的下方．18.某學(xué)校食堂為了解師生對(duì)某種新推出的菜品的滿意度，從品嘗過該菜品的學(xué)生和老師中分別隨機(jī)調(diào)查了20人，得到師生對(duì)該菜品的滿意度評(píng)分如下：教師：6063656769757777797982838687899293969696學(xué)生：4749525455576365666674747577808283849596根據(jù)師生對(duì)該菜品的滿意度評(píng)分，將滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意假設(shè)教師和學(xué)生對(duì)該菜品的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計(jì)相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）設(shè)數(shù)據(jù)中教師和學(xué)生評(píng)分的平均值分別為和，方差分別為和，試比較和，和的大小（結(jié)論不要求證明）；（2）從全校教師中隨機(jī)抽取3人，設(shè)X為3人中對(duì)該菜品非常滿意的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求教師的滿意度等級(jí)高于學(xué)生的滿意度等級(jí)的概率．19.網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費(fèi)的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對(duì)本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭的網(wǎng)購次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下：A組：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B組：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響.（1）從一單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計(jì)該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的概率；（2）從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）從組和組中分別隨機(jī)抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，比較方差與的大小.（結(jié)論不要求證明）20.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線方程為，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).21.由個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集（其中），記，特別規(guī)定，若集合滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都存在集合的兩個(gè)子集，使得成立，則稱集合為“滿集”.（1）分別判斷集合與是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由；（2）若集合為“滿集”，求的值；（3）若是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，判斷集合是否為“滿集”，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分.1.【答案】D【分析】先求得集合，再根據(jù)補(bǔ)集及并集的定義即可求解.【詳解】由題意，解得集合，又因?yàn)榧希裕?故選：D.2.【答案】C【分析】利用已知條件求出切線方程，然后利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，將代入切線方程可求得．【詳解】由題意可得在處的切線方程為：因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上也在切線上，所以本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查曲線的切線方程的求法與應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查，關(guān)鍵是明確切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．3.【答案】C【分析】對(duì)于A：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對(duì)于B：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對(duì)于C：利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值；對(duì)于D：根據(jù)基本不等式利用的條件“一正二定三相等”進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)?取特殊值，代入得y=-2<2.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)?取特殊值，代入得y=e-1<2.故B錯(cuò)；對(duì)于C：的定義域?yàn)镽..令，解得；令，解得；所以在上單減，在上單增，所以當(dāng)時(shí)，y取得最小值2.故C正確；對(duì)于D：.令，則.所以，當(dāng)，記時(shí)取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D錯(cuò)誤.故選：C4.【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及它們經(jīng)過的定點(diǎn)，就可以作出判斷.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，且，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：，由此可知，故選：A.5.【答案】C【分析】利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則判斷單調(diào)性，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】，是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在上單增，又為增函數(shù)，所以在上單增，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不對(duì)稱，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對(duì)稱常見方法有：（1）直接法，(正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.6.【答案】A【分析】可將事件A＝“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”的所有情況全部列出來，再找出其中滿足事件B＝“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于8”的數(shù)目，然后求出概率.【詳解】解：所取2張卡片上的數(shù)字之和小于8的情況有（1,3）、（1,5）、（1,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）、（2,4）、（2,6）、（4,6），共9種，其中和小于8的情況有（1,3）、（1,5）、（2,4），共3種所以故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率公式為，不過對(duì)于一些情況總數(shù)不多的情況采用窮舉法更加方便.7.【答案】C【分析】由全概率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)事件：鄰居記得澆水，事件：鄰居忘記澆水，事件：花存活，則有，，，，由全概率公式可得，故選：C.8.【答案】D【分析】根據(jù)定義，代入數(shù)據(jù)分別求和，再根據(jù)換底公式計(jì)算的值.【詳解】由條件可知，，.故選：D9.【答案】A【分析】對(duì)求導(dǎo)，分a＝0和a≠0討論的單調(diào)性，即可求出a≠0時(shí)，在x＝－1處取得極小值，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】.①當(dāng)a＝0時(shí)，，故在R上單調(diào)遞增，無最小值.②當(dāng)a≠0時(shí)，令，得x＝－1或.又，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故在x＝－1處取得極小值.綜上，函數(shù)在x＝－1處取得極小值.所以“”是“函數(shù)在x＝－1處取得極小值”的充分不必要條件.故選：A。10.【答案】D【分析】利用已知條件可知滿足“函數(shù)”的條件是值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而研究四個(gè)基本函數(shù)的值域就可以作出判斷.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋绻沟贸闪ⅲ芍骸昂瘮?shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋运恰昂瘮?shù)”；由于的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋运恰昂瘮?shù)”；由于的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋运恰昂瘮?shù)”；由于的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋运恰昂瘮?shù)”；故選：D.二、填空題：本題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.11.【答案】【分析】由被開方數(shù)大于等于0與對(duì)數(shù)真數(shù)大于0即可得到結(jié)果.【詳解】要使函數(shù)有意義，則滿足：，解得：所以函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?2.【答案】①.1②.【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情況討論（1）求當(dāng)時(shí)的值域，（2）求當(dāng)時(shí)的值域，最后取兩值域的并集即可．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?；．13.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得出，從而得解.【詳解】因?yàn)椋傻茫驗(yàn)楹瘮?shù)存在極值點(diǎn)，所以有兩不等實(shí)根，則，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.14.【答案】【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩伲鶕?jù)互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠古仪虮荣惖囊?guī)則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為，因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩伲宰詈蠹撰@勝的概率,故答案為：15.【答案】1【分析】根據(jù)題意先設(shè)小正方形邊長為x，計(jì)算出容器體積的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得此函數(shù)的最大值即可.【詳解】設(shè)剪去小正方形的邊長為x，則容器的容積為：，.令，則(舍去)，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)鐵盒的容積最大，故截去的小正方形邊長為1m.故答案為：1.16.【答案】①④【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而判斷即可；【詳解】解：定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，所以存在，使，當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的最小值，故①正確；若最小值，即，又，即，即時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以存在使得，即存在，使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故④正確.當(dāng)時(shí)，恒成立，故是上的增函數(shù)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，且當(dāng)時(shí)，所以不存在，使得對(duì)于任意的，都有成立，故③錯(cuò)誤；故答案為：①④．三、解答題：本題共5個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）證明詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即得函數(shù)單調(diào)遞增，最后根據(jù)單調(diào)性確定最值，（2）先作差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)最值，根據(jù)最大值小于零得證結(jié)論.試題解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x2＋lnx，所以因?yàn)閤>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)證明：令，所以因?yàn)閤>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，所以.所以f(x)<g(x)．所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在的下方．18.【答案】（1）>，<；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；（3）.【分析】（1）直接判斷>，<；（2）經(jīng)分析X服從二項(xiàng)分布，利用公式求出概率，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（3）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）>，<，，.（2）教師對(duì)菜品滿意的概率,則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X可取0,1,2,3，且，所以，，，，所以分布列為：X0123P所以數(shù)學(xué)期望,即數(shù)學(xué)期望為.（3）記事件C:教師的滿意度等級(jí)高于學(xué)生的滿意度等級(jí)，用A1、A2、A3分別表示教師對(duì)該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，用B1、B2、B3分別表示學(xué)生對(duì)該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，且A1、A2、A3、B1、B2、B3相互獨(dú)立，則所以.即教師的滿意度等級(jí)高于學(xué)生的滿意度等級(jí)的概率為.【點(diǎn)睛】(1)求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：①明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②利用概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；③）按規(guī)范形式寫出分布列并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn).(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，要特別注意.隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布、超幾何分布等特殊的分布.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）由題可知，X的可能取值為0，1，2，再分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由期望公式即可求出；（3）根據(jù)方差公式計(jì)算可知，．【小問1詳解】設(shè)“該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20”為事件，在組10戶中超過20次的有3戶，由樣本頻率估計(jì)總體概率，則.【小問2詳解】由樣本頻率估計(jì)總體概率，一單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為，二單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為，可知：X的可能取值為0，1，2，則有：，，，所以．【小問3詳解】依題可知，，的可能取值為0，1，2，且，服從超幾何分布，，，，，，，因?yàn)椋傻茫裕?0.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案見詳解（2）答案見詳解【分析】（1）（ⅰ）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可；（ⅱ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；（2）分和兩種情況，令整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，結(jié)合的圖象分析的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋遥á。┯深}意可知：，解得，（ⅱ）此時(shí)，，若，則，可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值.【小問2詳解】由（1）可知：函數(shù)的定義域?yàn)椋遥簦瑒t，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)；若，令