試題PAGE1試題2024北京陳經綸中學高二（下）期中數學高二年級數學學科（時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1．（

）A．9 B．18 C．28 D．362．從甲地到乙地一天有汽車8班，火車2班，輪船3班，某人從甲地到乙地，共有不同的走法種數為（

）A．24 B．16 C．13 D．483．函數的單調增區間是（）A． B．C．D．4．在10件產品中，有8件合格品，2件次品．從這10件產品中任意抽出3件，抽出的3件中恰有1件次品的概率為（

）A．B．C．D．5．已知函數有極大值和極小值，則a的取值范圍是（

）A．B．或C．D．或6.已知隨機變量X，Y分別滿足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，則p=（）A．B．C．D．7.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是A.曲線在點處的切線斜率小于零B.函數在區間上單調遞增C.函數在處取得極大值D.函數在區間內至多有兩個零點8．用四種顏色給正四棱錐的五個頂點涂色，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．72種B．36種C．12種D．60種9．已知函數存在極值點，且恰好有唯一整數解，則實數取值范圍是（

）A．B．C．D．“L”形骨牌國際象棋棋盤10.一個國際象棋棋盤（由個方格組成），其中有一個小方格因破損而被剪去（破損位置不確定）.“L”形骨牌由三個相鄰的小方格組成，如圖所示.現要將這個破損的棋盤剪成數個““L”形骨牌國際象棋棋盤A.至多能剪成19塊“L”形骨牌 B.至多能剪成20塊“L”形骨牌 C.一定能剪成21塊“L”形骨牌 D.前三個答案都不對填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.11．已知函數，則.12．在的展開式中，項的系數為________．（用數字作答）13．4名同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區，每個小區至少安排1名同學，則不同的安排方法共有種.

(用數字作答)14.若直線與曲線相切，則實數的值為______.15．三部機器生產同樣的零件，其中機器甲生產的占，機器乙生產的占，機器丙生產的占.已知機器甲、乙、丙生產的零件分別有、和不合格.三部機器生產的零件混合堆放在一起，現從中隨機地抽取一個零件.則取到的是不合格品的概率是____，經檢驗發現取到的產品為不合格品，它是由機器____生產出來的可能性最大.16．已知函數，對于函數有下述四個結論：①函數在其定義域上為增函數；②有且僅有兩個零點；③對于任意的，都有成立；④若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則必是的零點.其中所有正確的結論序號是.解答題：本大題共5個小題，共70分.17．（本題滿分14分）已知函數，且為極值點.(1)求實數的值；(2)判斷是極大值點還是極小值點，并分別求出極大值與極小值.18．（本題滿分14分）據世界田聯官方網站消息，原定于2023年5月日在中國廣州舉辦的世界田聯接力賽延期至2025年4月至5月舉行.據了解，甲?乙?丙三支隊伍將會參加2025年4月至5月在廣州舉行的米接力的角逐.接力賽分為預賽?半決賽和決賽，只有預賽?半決賽都獲勝才能進入決賽.已知甲隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和.(1)甲?乙?丙三隊中，誰進入決賽的可能性最大；(2)設甲?乙?丙三隊中進入決賽的隊伍數為，求的分布列.（本題滿分14分）某電商平臺聯合手機廠家共同推出“分期購”服務，付款方式分為四個檔次：1期、2期、3期和4期.記隨機變量X1、X2分別表示顧客購買H型手機和V型手機的分期付款期數，根據以往銷售數據統計，X1和X2的分布列如下表所示:X11234P0.10.40.40.1(1)若某位顧客購買H型和V型手機各一部，求這位顧客兩種手機都選擇分4期付款的概率；(2)電商平臺銷售一部V型手機，若顧客選擇分1期付款，則電商平臺獲得的利潤為300元；若顧客選擇分2期付款，則電商平臺獲得的利潤為350元；若顧客選擇分3期付款，則電商平臺獲得的利潤為400元；若顧客選擇分4期付款，則電商平臺獲得的利潤為450元.記電商平臺銷售兩部V型手機所獲得的利潤為X(單位:元),求X的分布列；(3)比較D(X1)與D(X2)的大小.(只需寫出結論)20.（本題滿分14分）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)已知函數在區間上有零點，求的值；(3)記，設、是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數的取值范圍.21、（本題滿分14分）已知整數，數列是遞增的整數數列，即且定義數列A的“相鄰數列”為，其中或(1)已知，數列，寫出A的所有“相鄰數列”；(2)己知，數列是遞增的整數數列，，且的所有“相鄰數列”均為遞增數列，求這樣的數列A的個數；(3)已知，數列是遞增的整數數列，，且存在A的一個“相鄰數列”，對任意的，求的最小值．

參考答案一、選擇題:1．B2．C3．D4．C5．B6.C7.D8．A9．C10.C二、填空題:11．12．613．36 14．15．，機器乙16．②③④三、解答題:17．解:（1），因為為函數的極值點，所以，解得，經檢驗符合題意，所以；（2）由（1）得，，當或時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以為極大值點，極大值為，為極小值點，極小值為.18．解:（1）甲隊進入決賽的概率為，乙隊進入決賽的概率為，丙隊進入決賽的概率為，顯然乙隊進入決賽的概率最大，所以乙進入決賽的可能性最大．（2）由（1）可知：甲?乙?丙三隊進入決賽的概率分別為，的可能取值為，，，，，所以的分布列為：012319.解:(1)設事件A為“這位顧客兩種手機都選擇分4期付款”,故P(A)=0.1×0.4=0.04.…3分X的所有可能取值為600,650,700,750,800,850,900.P(X=600)=0.4×0.4=0.16；P(X=650)=C21P(X=700)=0.1×0.1+C21P(X=750)=C21×0.4×0.4+CP(X=800)=0.1×0.1+C21P(X=850)=C21×0.1×0.4=0.08P(X=900)=0.4×0.4=0.16.所以X的分布列為X600650700750800850900P0.160.080.090.340.090.080.16(3)D(X1)<D(X2).20.解:（1）因為，所以，所以切線斜率為，又，切點為，所以切線方程為；（2），，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以的極小值為，，在區間上存在一個零點，此時；又，，在區間上存在一個零點，此時．綜上，的值為0或3；（3）函數，，所以，由得，依題意方程有兩不相等的正實根、，，，，又，，，解得，，構造函數，，所以，在上單調遞減；所以當時，，所以．21、解:（1）根據“相鄰數列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相鄰數列”有；；；.（2）任取的一個“相鄰數列”，因為或，或，所以有且，對于的取值分以下4種情形：（a），（b），（c），（d）由數列是遞增的整數數列，前3種情形顯然都能得到，所以只需考慮第4種情形，遞增，，即，由是遞增的整數數列得，從而是公差為1的等差數列，于是，則，即滿足數列的有11個.（3）令，所以對任意，設，則且，先證明與要么是空集，要么是連續自然數構成的集合，若，