電子技術主講教師：傅穎項目八數字邏輯基礎1.數字邏輯基礎1.1數制和碼制1.2邏輯代數數字信號與數字電路模擬信號——在時間和幅度上是連續的。數字信號——在時間和幅度上都是離散的。數字電路的特點（1）信號是離散的數字信號。數字信號常用0、1二元數值表示。（2）半導體器件均工作在開關狀態，即工作在截止區和飽和區。（3）研究的主要問題是輸入、輸出之間的邏輯關系。（4）主要分析工具是邏輯代數。

數字電路概述模擬信號數字信號在日常生活中，我們習慣用十進制數，而數字電路中的基本工作信號是只有兩種狀態的數字信號，只能表示0和1兩個基本數字，因此，在數字系統中進行數字的運算和處理時，采用的都是二進制數，但二進制數有時表示起來不太方便，位數太多，所以也經常采用十六制數（每位代替四位二進制數）。一、數的表示方法

(一)十進制數十進制數（decimalnumber）是最常用的計數體制，十進制數的特點是：1．基數（base）是10。十進制數采用十個基本數碼，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，任何一個數都可以用上述十個數碼按一定規律排列起來表示。2．計數規律是“逢十進一”，即9＋1＝10。0～9十個數可以用一位基本數碼表示，10以上的數則要用兩位以上的數碼表示。每一數碼處于不同的位置時，它代表的數值是不同的，即不同的數位有不同的位權（weight）。例如數1987可寫為每位的位權分別為1.1數制和碼制上述表示方法，也可擴展到小數，不過這時小數點右邊的各位數碼要乘以基數的負次冪。例如，數3.14表示為每一位數碼所表示的數值等于該數碼（稱為該位的系數）乘以該位的位權，每一位的系數和位權的乘積稱為該位的加權系數。任意一個十進制數所表示的數值，等于其各位加權系數之和，可表示為例如：[278]Ｄ=下標D表示十進制數。1.1數制和碼制(二)二進制數二進制數（Binary）的特點：1．基數是2。采用兩個數碼0和1。2．計數規律是“逢二進一”。二進制的各位位權分別為

…。任何一個Ｎ位二進制正整數，可表示為式中的下標2表示Ｎ是二進制數，也可以用字母Ｂ來代替數字“2”。二進制數表示的數值也等于其各位加權系數之和。例：1.1數制和碼制二進制具有以下獨特的優點：1．二進制只有兩個數碼0和1，它的每一位數都可以用任何具有兩個不同穩定狀態的元件來表示，如三極管的飽和與截止，繼電器接點的閉合和斷開等。因此二進制的數字裝置容易用二極管、三極管等電子元器件來實現。2．二進制的基本運算規則簡單，運算操作簡便。(三)十六進制數十六進制數（Hexadecimal）的基數是16，采用16個數碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，其中10～15分別用Ａ～Ｆ表示。十六進制數的計數規律是“逢十六進一”，各位的位權是16的冪。例如：1.1數制和碼制二、不同進制數之間的相互轉換(一)二進制、十六進制數轉換為十進制數

只要將二進制、十六進制數按式展開，求出其各位加權系數之和，則得相應的十進制數。

(二)十進制數轉換為二進制數、十六進制數將十進制正整數轉換為二進制、十六進制數可以采用除Ｒ倒取余法，Ｒ代表所要轉換成的數制的基數，對于二進制數為２，十六進制數為16。1.1數制和碼制例1-1：將

轉換成二進制數。例1-2：將轉換成十六進制數。1.1數制和碼制(三)二進制數與十六進制數的相互轉換1．將二進制正整數轉換為十六進制數將二進制數從最低位開始，每4位分為一組，每組都相應轉換為1位十六進制數(最高位可以補0)。2．將十六進制正整數轉換為二進制數將十六進制數的每一位轉換為相應的４位二進制數即可。1.1數制和碼制三、二—十進制碼（BCD碼）數字系統中的信息可以分為兩類，一類是數值信息，另一類是文字、符號信息。數值的表示已如前述。為了表示文字符號信息，往往也采用一定位數的二進制數碼來表示，這個特定的二進制碼稱為代碼。建立這種代碼與文字、符號或特定對象之間的一一對應的關系稱為編碼。所謂二-十進制碼，指的是用四位二進制數來表示十進制數中的0～9十個數碼，簡稱BCD碼。由于四位二進制數碼有十六種不同的組合狀態，用以表示十進制數中的十個數碼時，只需選用其中十種組合，其余六種組合則不用（稱為無效組合）。因此，BCD碼的編碼方式有很多種。1.1數制和碼制1.1數制和碼制1.1數制和碼制邏輯代數又稱布爾代數，是研究邏輯電路的數學工具，它為分析和設計邏輯電路提供了理論基礎。邏輯代數所研究的內容，是邏輯函數與邏輯變量之間的關系。一、基本概念及基本邏輯運算(一)邏輯代數、邏輯變量自然界中，許多現象總是存在著對立的雙方，為了描述這種相互對立的邏輯關系，往往采用僅有兩個取值的變量來表示，這種二值變量就稱為邏輯變量。例如，電平的高低，燈泡的亮滅等現象都可以用邏輯變量來表示。邏輯變量和普通代數中的變量一樣，可以用字母Ａ、Ｂ、Ｃ、…Ｘ、Ｙ、Ｚ等來表示。但邏輯變量表示的是事物的兩種對立的狀態，只允許取兩個不同的值，分別是邏輯0和邏輯1。這里0和1不表示具體的數值，只表示事物相互對立的兩種狀態。邏輯代數就是用以描述邏輯關系，反映邏輯變量運算規律的數學，它是按照一定的邏輯規律進行運算的。

1.2邏輯代數(二)基本邏輯及其運算所謂邏輯關系是指一定的因果關系。基本的邏輯關系只有“與”、“或”、“非”三種。實現這三種邏輯關系的電路分別叫做“與門、“或門、“非門。在邏輯代數中有三種基本的邏輯運算，即“與”運算、“或”運算、“非”運算。其它邏輯運算就是通過這三種基本運算來實現的。1．與邏輯和與運算

只有當決定某一種結果的所有條件都具備時，這個結果才能發生，這種邏輯關系稱為與邏輯關系，簡稱與邏輯。通常，我們把結果發生或條件具備用邏輯１表示，結果不發生或條件不具備用邏輯0表示。在此電路中，燈亮用１表示，滅用0表示，開關接通用邏輯１表示，斷開用邏輯0表示，可得與運算的運算規則。與運算又稱邏輯乘。圖示為與邏輯的符號，也是與門的邏輯符號。Ａ、Ｂ叫輸入邏輯變量，Ｙ叫做輸出邏輯變量，“與”邏輯是當所有輸入均為“1”狀態時，輸出才為“1”狀態。用邏輯式表示為Ｙ=Ａ·Ｂ或Ｙ=ＡＢ。

1.2邏輯代數2．或邏輯和或運算當決定某一結果的Ｎ個條件中，只要有一個或一個以上的條件具備，結果就發生，這種邏輯關系，就稱為或邏輯關系，簡稱或邏輯。或運算又稱邏輯加，Ｙ＝Ａ＋Ｂ。3、非邏輯和非運算如果條件與結果的狀態總是相反，則這樣的邏輯關系叫做非邏輯關系，簡稱非邏輯，或邏輯非。邏輯變量Ａ的邏輯非，表達式為若條件滿足、結果發生用邏輯１表示，條件不滿足、結果不發生用邏輯0表示，則得非運算規律。數字電路中用來實現非邏輯關系的電路稱為非門。1.2邏輯代數二、邏輯函數及其表示方法(一)邏輯函數的定義在邏輯電路中，如果輸入變量Ａ、Ｂ、Ｃ…的取值確定后，輸出變量Ｙ的值也被唯一確定了。那么，我們就稱Ｙ是Ａ、Ｂ、Ｃ…的邏輯函數。邏輯函數的一般表達式可以寫作：Ｙ＝Ｆ(Ａ，Ｂ，Ｃ，…)上面三個表達式反映的是三個基本的邏輯函數，表示Ｙ是Ａ、Ｂ的與函數、或函數、非函數。1.2邏輯代數(二)邏輯函數的表示方法1．真值表：真值表是將輸入邏輯變量的各種可能的取值和相應的函數值排列在一起而組成的表格。例：如圖所示，它是一個用單刀雙擲開關來控制樓梯照明燈的電路。上樓時，先在樓下開燈，上樓后順手把燈關掉。要求用邏輯函數表示電燈的狀態Ｙ和開關的狀態Ａ，Ｂ之間的邏輯關系。解：電燈ＨＬ的狀態我們用Ｙ表示，Ｙ＝1表示燈亮，Ｙ＝0表示燈滅。開關的狀態我們用Ａ表示，Ａ＝1表示扳在上面，Ａ＝0表示扳在下面。開關的狀態我們用Ｂ表示，Ｂ＝1表示扳在上面，Ｂ＝0表示扳在下面。通過分析，我們知道，當Ａ和Ｂ都為1或都為0時，燈亮，即Ｙ＝１。其它情況下，燈滅，即Ｙ＝0。列出Ａ，Ｂ每種取值情況下的Ｙ值，就是該函數的真值表。1.2邏輯代數2．邏輯函數表達式邏輯函數表達式是用各變量的與、或、非邏輯運算的組合表達式來表示邏輯函數的，簡稱邏輯表達式、函數式、表達式。在上例中，電燈的狀態Ｙ與開關的狀態Ａ、Ｂ的關系可表示為：1.2邏輯代數3．邏輯圖用規定的邏輯符號連接構成的圖，稱為邏輯圖。由于邏輯符號也代表邏輯門，和電路器件是相對應的，所以，邏輯圖也稱為邏輯電路圖。1.2邏輯代數4．卡諾圖卡諾圖實際上是真值表的一種特定的圖示形式，是根據真值表按一定規則畫出的一種方格圖。兩變量函數的真值表和卡諾圖如下:1.2邏輯代數5．真值表、卡諾圖和函數式的對應關系根據真值表，可以畫出卡諾圖，也可以由真值表寫出邏輯函數式。由真值表寫邏輯函數式的方法如下：第一步，找出真值表中輸出函數為“１”的各行，其對應的變量組合中，變量取值為0用反變量，變量取值為１用原變量，用這些變量組成與項，構成基本乘積項。第二步，將各個基本乘積項相加，就可以得到對應的邏輯函數式。基本乘積項也叫做最小項，最小項是邏輯代數中的一個重要概念。最小項的特點是：其一，每項都包括了所有的輸入變量因子；其二，每個變量僅以原變量或反變量的形式出現一次。1.2邏輯代數例如：已知真值表如表1-3所示，在Ｚ=1的各行中，Ａ、Ｂ、Ｃ的取值分別為011、101、110和111，其基本乘積項分別為

（011）、

（101）、

（110）和

（111），所以邏輯式為函數的真值表1.2邏輯代數(三)邏輯函數相等的概念如果兩個邏輯函數具有相同的真值表，我們則稱這兩個邏輯函數是相等的，其條件是具有相同的邏輯變量，并且在變量的每種取值情況下，兩函數的函數值也相等。1.2邏輯代數三、邏輯代數中的基本公式和定律(一)基本公式1．變量和常量的關系2．與普通代數相似的定律

1)交換律1.2邏輯代數2)結合律3)分配律3．邏輯代數中的一些特殊定律1)重疊律2)反演律(摩根定律)3)非非律(否定律或還原律)1.2邏輯代數(二)幾個常用公式1.2邏輯代數四、邏輯函數的化簡與變換(一)化簡與變換的意義1．邏輯函數的五種表達式除了與或表達式外還有或與表達式、與非—與非表達式、或非—或非表達式、與或非表達式等。復合門是把與門，或門和非門結合起來作為一個門電路來使用。異或門邏輯符號1.2邏輯代數2．邏輯函數式的轉換同一個邏輯函數可以用不同的表達式表示。通過邏輯函數的轉換，同一邏輯函數可以用不同的邏輯門來實現。1.2邏輯代數3．化簡的意義和最簡的概念同一個函數可以有不同的表達式，即使對于某一類表達式而言，其表達式也不是唯一的，有的較復雜的，有的較簡單，相應的邏輯電路也較復雜或較簡單。最簡的與或表達式的條件是：在不改變邏輯關系的情況下，首先乘積項的個數最少，在此前提下，其次是每一個乘積項中變量的個數最少。化簡與或表達式的方法有兩種：代數法和圖解法。1.2邏輯代數(二)代數法化簡與或表達式（1）并項法。運用公式

，將兩項合并為一項，消去一個變量。如（2）吸收法。運用公式A+AB=A，消去多余的與項。如（3）消去法。利用公式

消去多余的因子。如（4）配項法。利用可將某項拆成兩項，然后再用上述方法進行化簡。如在化簡邏輯函數時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯數化為最簡。1.2邏輯代數（三）卡諾圖化簡法1）三變量卡諾圖2）四變量卡諾圖3）卡諾圖的相鄰性：卡諾圖的最大特點就是形象地表達了各最小項之間的邏輯相鄰性。在一個邏輯函數中，任意兩個最小項中只有一個變量不同（相反），那么，稱這兩個最小項在邏輯上具有邏輯相鄰性。具有邏輯相鄰性的兩個最小項可以合并為一項。在卡諾圖中，凡是挨在一起的小方格，或者相對于垂直中心線以及水平中心線對稱的小方格稱為幾何相鄰。凡具有幾何相鄰性的最小項必定具有邏輯相鄰性，可以合并。可以看出，行、列變量只有按循環碼排列，才能滿足卡諾圖這個重要的結論。1.2邏輯代數2.邏輯函數的卡諾圖：將邏輯函數值按對應的組合填入空白的卡諾圖中，就可得到該邏輯函數的卡諾圖（真值圖）。1.2邏輯代數3.用卡諾圖化簡邏輯函數可以證明，幾何相鄰的2n個（n為正整數）小方格所對用的最小項可以合并為一項，消去n個互補（互反）的變量，保留不變的量。相鄰的2個最小項可以合并，消去1個變量；相鄰的4個最小項可以合并，消去2個變量；相鄰的8個最小項可以合并，消去3個變量。如圖所示。用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟如下：首先應畫出邏輯函數的卡諾圖，然后將相鄰的2n個為1的小方格圈在一起，合并為一項，將所有為1的格圈完后，將每個圈所對應的項相加，就得到化簡后的邏輯函數的與或表達式。1.2邏輯代數圈“1”的原則如下：①只有相鄰的2n個1格才能圈在一起。②圈的個數應盡量少（項的數目少），圈應盡量大（項的因子少）。③1格可以被重復圈，但每個圈中至少應該有一個沒有被其他圈圈過的1格，否則這個圈是多余的，對應的項是多余項。為了滿足上述要求，一般先把獨立的1格圈起來，然后再把只有一個合并方向的1格圈成二格組，最后再圈其他的二格組、四格組和八格組。【例1-8】化簡邏輯函數1.2邏輯代數1.2邏輯代數1.2邏輯代數（四）具有約束的邏輯函數的化簡在有些邏輯函數中，輸入變量的某些取值組合不會出現，或者一旦出現，邏輯值可以是任意的。這樣的取值組合所對應的最小項稱為約束項、任意項或無關項。因為這些種組合不可能出現，也就是說它們對應的最小項的值永遠不會為１，其值恒為0。這些不可能出現的變量組合項，我們稱之為約束項或任意項，用“φ”來表示，也可以用“×”表示。對這種邏輯函數，可以利用約束項進行化簡，使得表達式簡化，因為約束項的值恒為0，在函數式中加入了約束項就等于加上0，所以在函數式中，加入約束項或不加上約束項不會影響函數的實際取值，進行化簡時，可以把約束項的值當作1（相當于函數式加上了該約束項），也可以看成0（相當于函數式沒加該約束項），所以約束項也叫任意項。1.2邏輯代數【例】用8421編碼表示的十進制數0~9，其中1010~1111六個狀態不可能出現，是任意項。要求當十進制為奇數時，輸出Y＝１。求Y的最簡與或表達式。解：根據真值表畫出卡諾圖，若不考慮任意項，如圖a所示，化簡后可得。若考慮任意項，將填入“×”的小方格的值某些當作0，某些當作1（1011、1101、1111所對應的值當作1）進行化簡，如圖b所示，其結果為。1.2邏輯代數一、數的進制和編碼日常生活中常用十進制數，在數字電路基本上使用二進制數，在計算機中也常使用二進制數，有時也使用十六進制數。將任意進制數轉換成十進制數，只要求出其各位加