安徽省蚌埠四校2025屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題理試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．關(guān)于函數(shù)，有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有（）A．36種 B．44種 C．48種 D．54種3．已知，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．4．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A． B． C． D．6．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù)，如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于，那么下列結(jié)論中，一定正確的是A． B．C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為（）A． B． C． D．8．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．10．記個(gè)兩兩無(wú)交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間11．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為（）A． B． C． D．12．如圖，將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形，將平行四邊形沿對(duì)角線折起，使平面平面，則直線與所成角余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為________．14．已知，則=___________，_____________________________15．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則的取值范圍是_____．16．在等比數(shù)列中，，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)構(gòu)成曲線，證明：過(guò)原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).18．（12分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn)；②求證：對(duì)任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC.（1）證明：平面平面（2）求二面角的余弦值.20．（12分）設(shè)函數(shù)，（）.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a、m的值；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論.21．（12分）己知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若函數(shù)，求證：函數(shù)存在極小值.22．（10分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出．【詳解】①因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期，①正確；②因?yàn)椋栽谏喜粏握{(diào)遞增，②錯(cuò)誤；③因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，又是的一個(gè)周期，所以可以只考慮時(shí)，的值域．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．2、B【解析】

分三種情況，任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位；任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位；任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案．【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F，如果任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在第二位，剩下四個(gè)位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C，此時(shí)共有排列方法：；如果任務(wù)A排在第二位時(shí)，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側(cè)，排列方法有，可能都在A、E的右側(cè)，排列方法有；如果任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側(cè)；所以不同的執(zhí)行方案共有種．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．3、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)椋裕C上可得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：由，得，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn)，面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和知識(shí)方法的遷移能力，屬于難題.7、A【解析】

由得,然后分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.8、A【解析】

易得，過(guò)B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過(guò)B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問(wèn)題，在作雙曲線離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.9、C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎(chǔ)題.10、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí)，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題11、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問(wèn)題．12、C【解析】

利用建系，假設(shè)長(zhǎng)度，表示向量與，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】由平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面所以，又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)，所以則所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值，一般采用這兩種方法：（1）將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面，然后利用解三角形知識(shí)求解；（2）建系，利用空間向量，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人，根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解，涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.14、?196?3【解析】

由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)得：，令x=1，則1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解．【詳解】由二項(xiàng)式(1?2x)7展開式的通項(xiàng)得，則，令x=1,則，所以a0+a1+…+a7=?3，故答案為：?196，?3.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)，屬于中等題.15、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進(jìn)而可得，即曲線的方程為，進(jìn)而只需證明對(duì)任意，方程有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)，分、和三種情況，分別證明函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，時(shí)，；時(shí)，，即時(shí)，；時(shí)，，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點(diǎn)，則，，，曲線的方程為.故只需證明對(duì)任意，方程有唯一解.令，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.，，，存在滿足時(shí)，使得.又單調(diào)遞增，所以為唯一解.②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，滿足，則恒成立，在上單調(diào)遞增.，，存在使得，又在上單調(diào)遞增，為唯一解.③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，滿足，此時(shí)有兩個(gè)不同的解，不妨設(shè)，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當(dāng)時(shí)，的極大值為.，，，，，..下面來(lái)證明，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，，時(shí)，，，故成立.，存在，使得.又在單調(diào)遞增，為唯一解.所以，對(duì)任意，方程有唯一解，即過(guò)原點(diǎn)任意的直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于難題.18、（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可；②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn)；②證明：假設(shè)存在，使得直線是曲線的切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且，則切線在點(diǎn)切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時(shí)，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，遞減，故當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故在處取得極大值，不合題意；時(shí)，則在遞減，在，遞增，①當(dāng)時(shí)，，故在遞減，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，易證，令，，令，故，則，故在遞增，則，即時(shí)，，故在，內(nèi)存在，使得，故在，上遞減，在，遞增，故在處取得極小值．②由（1）知，，故在遞減，在遞增，故時(shí)，，遞增，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，故在處取極小值，符合題意，綜上，實(shí)數(shù)的范圍是且．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）證明平面即平面平面得證；（2）分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面（2）解：由題可得兩兩垂直，所以分別以所在直線為x軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由.得令，得又平面，所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、（1），；（2）；（3）不能，證明見解析【解析】

（1）求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）構(gòu)造，則原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可，值得注意的是，可以通過(guò)代特殊值，由求出的范圍，再研究該范圍下單調(diào)性；（3）構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo)，研究單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1），，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，，解得.（2）記，整理得，由題知，對(duì)任意恒成立，對(duì)任意恒成立，即時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，，，即在單調(diào)遞增，此時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，以下給出證明：記，，則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零