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安徽省蚌埠四校2025屆高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題理試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.2.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種3.已知,則下列關(guān)系正確的是()A. B. C. D.4.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.6.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,平面與此正方體相交.對(duì)于實(shí)數(shù),如果正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中恰好有個(gè)點(diǎn)到平面的距離等于,那么下列結(jié)論中,一定正確的是A. B.C. D.7.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.8.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.9.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.10.記個(gè)兩兩無(wú)交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間11.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為()A. B. C. D.12.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為________.14.已知,則=___________,_____________________________15.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.16.在等比數(shù)列中,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若恒成立,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)構(gòu)成曲線,證明:過(guò)原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).18.(12分)設(shè),函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)設(shè)函數(shù).①若,試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點(diǎn);②求證:對(duì)任意的,直線都不是的切線;(2)設(shè)函數(shù),試判斷函數(shù)是否存在極小值,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)如圖,在三棱柱中,平面ABC.(1)證明:平面平面(2)求二面角的余弦值.20.(12分)設(shè)函數(shù),().(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求實(shí)數(shù)a、m的值;(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根?證明你的結(jié)論.21.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.22.(10分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,求使成立的的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)周期,①正確;②因?yàn)椋栽谏喜粏握{(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)椋允桥己瘮?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.2、B【解析】

分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.3、A【解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系,再由換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【詳解】因?yàn)椋裕C上可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了換底公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù),即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖(1)恰好有3個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(2)恰好有4個(gè)點(diǎn)到平面的距離為;如圖(3)恰好有6個(gè)點(diǎn)到平面的距離為.所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題以空間幾何體為載體考查點(diǎn),面的位置關(guān)系,考查空間想象能力,考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和知識(shí)方法的遷移能力,屬于難題.7、A【解析】

由得,然后分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因?yàn)?所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算.8、A【解析】

易得,過(guò)B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過(guò)B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問(wèn)題,在作雙曲線離心率問(wèn)題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.9、C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.10、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題11、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問(wèn)題.12、C【解析】

利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.14、?196?3【解析】

由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)得:,令x=1,則1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1-2)7=-2,所以a0+a1+…+a7=-3,得解.【詳解】由二項(xiàng)式(1?2x)7展開式的通項(xiàng)得,則,令x=1,則,所以a0+a1+…+a7=?3,故答案為:?196,?3.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng),屬于中等題.15、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析【解析】

(1)由恒成立,可得恒成立,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,則,,進(jìn)而可得,即曲線的方程為,進(jìn)而只需證明對(duì)任意,方程有唯一解,然后構(gòu)造函數(shù),分、和三種情況,分別證明函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn),即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,則.令,則,,,在上單調(diào)遞增,又,時(shí),;時(shí),,即時(shí),;時(shí),,時(shí),單調(diào)遞減;時(shí),單調(diào)遞增,時(shí),取最小值,.(2)證明:由,令,由,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的極值點(diǎn),則,,,曲線的方程為.故只需證明對(duì)任意,方程有唯一解.令,則,①當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增.,,,存在滿足時(shí),使得.又單調(diào)遞增,所以為唯一解.②當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,則恒成立,在上單調(diào)遞增.,,存在使得,又在上單調(diào)遞增,為唯一解.③當(dāng)時(shí),二次函數(shù),滿足,此時(shí)有兩個(gè)不同的解,不妨設(shè),,,列表如下:00↗極大值↘極小值↗由表可知,當(dāng)時(shí),的極大值為.,,,,,..下面來(lái)證明,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增,,時(shí),,,故成立.,存在,使得.又在單調(diào)遞增,為唯一解.所以,對(duì)任意,方程有唯一解,即過(guò)原點(diǎn)任意的直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查不等式恒成立問(wèn)題,考查利用單調(diào)性研究圖象交點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力,屬于難題.18、(1)①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明見解析;(2)且;【解析】

(1)①令,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷即可;②設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出切線方程,得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;(2)求出的解析式,通過(guò)討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,確定的范圍即可.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),函數(shù),令,,則,,故,又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線,故函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點(diǎn);②證明:假設(shè)存在,使得直線是曲線的切線,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,且,則切線在點(diǎn)切線方程為,即,從而,且,消去,得,故滿足等式,令,所以,故函數(shù)在和上單調(diào)遞增,又函數(shù)在時(shí),故方程有唯一解,又,故不存在,即證;(2)由得,,,令,則,,當(dāng)時(shí),遞減,故當(dāng)時(shí),,遞增,當(dāng)時(shí),,遞減,故在處取得極大值,不合題意;時(shí),則在遞減,在,遞增,①當(dāng)時(shí),,故在遞減,可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,易證,令,,令,故,則,故在遞增,則,即時(shí),,故在,內(nèi)存在,使得,故在,上遞減,在,遞增,故在處取得極小值.②由(1)知,,故在遞減,在遞增,故時(shí),,遞增,不合題意;③當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,遞減,當(dāng)時(shí),,遞增,故在處取極小值,符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)證明平面即平面平面得證;(2)分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,再利用向量方法求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BC,所以因?yàn)?所以.即又.所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(2)解:由題可得兩兩垂直,所以分別以所在直線為x軸,y軸.軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則,所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由.得令,得又平面,所以平面的一個(gè)法向量為.所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明,考查二面角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、(1),;(2);(3)不能,證明見解析【解析】

(1)求出,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價(jià)于對(duì)任意恒成立,即時(shí),,利用導(dǎo)數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過(guò)代特殊值,由求出的范圍,再研究該范圍下單調(diào)性;(3)構(gòu)造并進(jìn)行求導(dǎo),研究單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】(1),,曲線在點(diǎn)處的切線方程為,,解得.(2)記,整理得,由題知,對(duì)任意恒成立,對(duì)任意恒成立,即時(shí),,,解得,當(dāng)時(shí),對(duì)任意,,,,,即在單調(diào)遞增,此時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)關(guān)于的方程不可能有三個(gè)不同的實(shí)根,以下給出證明:記,,則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)零

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