遼寧省沈陽市2025年高三數學試題3月25日第4周測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．2．已知，若方程有唯一解，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．3．我國古代數學巨著《九章算術》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數是（）A．2 B．3 C．4 D．14．函數的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．5．已知定義在上的函數，若函數為偶函數，且對任意，，都有，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知f(x)=是定義在R上的奇函數，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)7．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變；再把所得圖象向上平移個單位長度，得到函數的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．8．已知公差不為0的等差數列的前項的和為，，且成等比數列，則（）A．56 B．72 C．88 D．409．木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）A． B． C． D．10．已知函數，若所有點，所構成的平面區域面積為，則（）A． B． C．1 D．11．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．函數的大致圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在的零點個數為________．14．將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落.小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是，則小球落入袋中的概率為__________．15．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．16．已知函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（某工廠生產零件A，工人甲生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.（1）試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞；（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽．決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產一件零件A，如果一方生產的零件A品級優干另一方生產的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當一方總分為4分時，比賽結束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．①寫出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．18．（12分）某企業現有A．B兩套設備生產某種產品，現從A，B兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本，檢測某一項質量指標值，若該項質量指標值落在內的產品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設備抽取的樣本頻數分布表.圖1：A設備生產的樣本頻率分布直方圖表1：B設備生產的樣本頻數分布表質量指標值頻數2184814162（1）請估計A．B設備生產的產品質量指標的平均值；（2）企業將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質量指標值落在內的定為一等品，每件利潤240元；質量指標值落在或內的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據圖1、表1的數據，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.企業由于投入資金的限制，需要根據A，B兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的期望值調整生產規模，請根據以上數據，從經濟效益的角度考慮企業應該對哪一套設備加大生產規模？19．（12分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據已知條件完成下面列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在直角坐標系中，長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動，點為線段上的點，且滿足.記點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點為曲線上的兩個動點，記，判斷是否存在常數使得點到直線的距離為定值？若存在，求出常數的值和這個定值；若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是由向量數量積為0得出垂直關系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關系．2、B【解析】

求出的表達式，畫出函數圖象，結合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當即圖象相切時，根據，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點睛】本題考查函數的零點問題，考查函數方程的轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．3、B【解析】

將問題轉化為等比數列問題，最終變為求解等比數列基本量的問題.【詳解】根據實際問題可以轉化為等比數列問題，在等比數列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數列的實際應用，難度較易.熟悉等比數列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.4、A【解析】

求出函數在處的導數后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題屬于基礎題.5、A【解析】

根據題意，分析可得函數的圖象關于對稱且在上為減函數，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數為偶函數，所以函數的圖象關于對稱，因為對任意，，都有，所以函數在上為減函數，則，解得：.即實數的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查函數的對稱性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.6、C【解析】

由奇函數的性質可得，進而可知在R上為增函數，轉化條件得，解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數.又，所以，解得.故選：C.【點睛】本題考查了函數單調性和奇偶性的應用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.7、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數的解析式化簡，然后利用圖象變換規律得出函數的解析式為，可得函數的值域為，結合條件，可得出、均為函數的最大值，于是得出為函數最小正周期的整數倍，由此可得出正確選項.【詳解】函數，將函數的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個單位，得函數的圖象，易知函數的值域為.若，則且，均為函數的最大值，由，解得；其中、是三角函數最高點的橫坐標，的值為函數的最小正周期的整數倍，且．故選C．【點睛】本題考查三角函數圖象變換，同時也考查了正弦型函數與周期相關的問題，解題的關鍵在于確定、均為函數的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數列的前n項和公式，考查等差數列基本量的計算，是一道容易題.9、C【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線，截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學生空間想象,數學運算能力,難度一般.10、D【解析】

依題意，可得，在上單調遞增，于是可得在上的值域為，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因為，，所以，在上單調遞增，則在上的值域為，因為所有點所構成的平面區域面積為，所以，解得，故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，理解題意，得到是關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．11、B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.12、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當時，，，所以，故可排除B，C；當時，，故可排除D．故選：A．【點睛】本題考查了函數圖象，屬基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出的范圍，再由函數值為零，得到的取值可得零點個數．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個零點．【點睛】本題主要考查三角函數的性質和函數的零點，屬于基礎題．14、【解析】記小球落入袋中的概率，則，又小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球將落入袋，所以有，則．故本題應填．15、【解析】

設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.16、【解析】

兩函數圖象上存在關于軸對稱的點的等價命題是方程在區間上有解，化簡方程在區間上有解，構造函數，求導，求出單調區間，利用函數性質得解.【詳解】解：根據題意，若函數與的圖象上存在關于軸對稱的點，則方程在區間上有解，即方程在區間上有解，設函數，其導數，又由，可得：當時，為減函數，當時，為增函數，故函數有最小值，又由；比較可得：，故函數有最大值，故函數在區間上的值域為；若方程在區間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【點睛】本題利用導數研究函數在某區間上最值求參數的問題,函數零點問題的拓展.由于函數的零點就是方程的根，在研究方程的有關問題時，可以將方程問題轉化為函數問題解決.此類問題的切入點是借助函數的零點，結合函數的圖象，采用數形結合思想加以解決.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）乙的技術更好，見解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；（2）①直接根據概率的意義可得P0，P8；②設每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數列，根據可得答案.【詳解】（1）記甲乙各生產一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元，隨機變量，的分布列分別為10521052所以，，所以，即乙的技術更好（2）①表示的是甲得分時，甲最終獲勝的概率，所以，表示的是甲得4分時，甲最終獲勝的概率，所以；②設每輪比賽甲得分為，則每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得時，最終獲勝有以下三種情況：（1）下一輪得1分并最終獲勝，概率為；（2）下一輪得0分并最終獲勝，概率為；（3）下一輪得分并最終獲勝，概率為；所以，所以是等差數列，則，即決賽甲獲勝的概率是.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查數列遞推關系的應用，是一道難度較大的題目.18、（1）30.2，29；（2）B設備【解析】

（1）平均數的估計值為組中值與頻率乘積的和；（2）要注意指標值落在內的產品才視為合格品，列出A、B設備利潤分布列，算出期望即可作出決策.【詳解】（1）A設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數41640121810.根據樣本質量指標平均值估計A設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.B設備生產的樣本的頻數分布表如下質量指標值頻數2184814162根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.（2）A設備生產一件產品的利潤記為X，B設備生產一件產品的利潤記為Y，X240180120PY240180120P若以生產一件產品的利潤作為決策依據，企業應加大B設備的生產規模.【點睛】本題考查平均數的估計值、離散隨機變量的期望，并利用期望作決策，是一個概率與統計綜合題，本題是一道中檔題.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算．【詳解】解：（Ⅰ）因為，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為，，，所以，從而.【點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．20、（1）列聯表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分數在、之間的學生人數，可得列聯表.根據列聯表計算的值，結合參考臨界值表可得到結論；（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數在之間的學生人數為，在之間的學生人數為，所以低于60分的學生人數為120.因此列聯表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗，