第31講圖形的軸對稱、平移、旋轉目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一軸對稱題型01軸對稱圖形的識別題型02根據成軸對稱圖形的特征進行判斷題型03根據成軸對稱圖形的特征進行求解題型04軸對稱中的光線反射問題題型05折疊問題類型一三角形折疊問題類型二四邊形折疊問題類型三圓的折疊問題類型四拋物線與幾何圖形綜合題型06求對稱軸條數題型07畫軸對稱圖形題型08設計軸對稱圖案題型09求某點關于坐標軸對稱點的坐標題型10與軸對稱有關的規律探究問題題型11軸對稱的綜合問題考點二圖形的平移題型01生活中的平移現象題型02利用平移的性質求解題型03利用平移解決實際生活問題題型04作平移圖形題型05求點沿x軸、y軸平移后的坐標題型06由平移方式確定點的坐標題型07由平移前后點的坐標判斷平移方式題型08已知圖形的平移求點的坐標題型09與平移有關的規律問題題型10平移的綜合問題考點三圖形的旋轉題型01找旋轉中心、旋轉角、對應點題型02根據旋轉的性質求解題型03根據旋轉的性質說明線段或角相等題型04畫旋轉圖形題型05求旋轉對稱圖形的旋轉角度題型06旋轉中的規律問題題型07求繞原點旋轉90°點的坐標題型08求繞某點（非原點）旋轉90°點的坐標題型09求繞原點旋轉一定角度點的坐標題型10旋轉綜合題類型一線段問題類型二面積問題類型三角度問題題型11判斷中心對稱圖形題型12畫已知圖形關于某點的對稱圖形題型13根據中心對稱的性質求面積、長度、角度題型14利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案

考點要求新課標要求命題預測軸對稱通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質:成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形.理解軸對稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質.認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形.該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主，年年都有考查，分值在8-12分左右．預計2024年各地中考還將繼續考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結合出現．在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題:對稱和旋轉則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現，在解答題中，也會考察對稱和旋轉的作圖，以及與特殊幾何圖形結合的綜合壓軸題，此時常需要結合幾何圖形或問題類型去分類討論.平移通過具體實例認識平移，探索它的基本性質:一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等.認識并欣賞平移在自然界和現實生活中的應用.運用圖形的軸對稱、旋轉、平移進行圖案設計.旋轉通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.探索它的基本性質:一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質:成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質.認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形.考點一軸對稱軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.區別1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合.2）軸對稱對稱點在兩個圖形上.3）軸對稱只有一條對稱軸.1）軸對稱圖形是指本身折疊重合.2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上.3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸.聯系1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反過來,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.性質1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.判定1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱.2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線.常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.做軸對稱圖形的一般步驟：1）作某點關于某直線的對稱點的一般步驟：①過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足，并延長；②在延長線上從垂足出發截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點.2）作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點（如線段的端點、線與線的交點）②作.作各個特殊點關于已知直線的對稱點③連.按原圖對應連接各對稱點折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【解題思路】凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討1.對稱軸1.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.2.軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的存在多條對稱軸（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數條對稱軸等）.3.成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作由另一個圖形經過軸對稱變換得到的，一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎,經軸對稱變換得到的.4.軸對稱的性質是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據之一,例如:若已知兩個圖形關于某直線成軸對稱,則它們的對應邊相等,對應角相等.題型01軸對稱圖形的識別【例1】（2022·江蘇鹽城·校聯考一模）北京2022年冬奧會會徽如圖所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022·廣東深圳·南山實驗教育麒麟中學校聯考模擬預測）下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·廣東·統考模擬預測）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．題型02根據成軸對稱圖形的特征進行判斷【例2】（2023·天津·校聯考一模）如圖，△ABC與△A1B1C1，關于直線MN對稱，P為MN上任一點（P不與A．AP=A1P B．△ABCC．MN垂直平分線段AA1 D．直線AB,A【變式2-1】（2023·廣東深圳·統考二模）如圖，這條活靈活現的“小魚”是由若干條線段組成的，它是一個軸對稱圖形，對稱軸為直線l，則下列結論不一定正確的是（

）A．點C和點D到直線l的距離相等 B．BC=BDC．∠CAB=∠DAB D．四邊形ADBC是菱形【變式2-2】（2019·湖北武漢·統考模擬預測）每個網格中均有兩個圖形，其中一個圖形關于另一個圖形軸對稱的是（）A．

B．

C．

D．

題型03根據成軸對稱圖形的特征進行求解【例3】（2021·山東臨沂·統考一模）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．3 B．2 C．23 【變式3-1】（2023·山東棗莊·統考三模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動；若EF=1，則GE+CF的最小值為【變式3-2】（2022·山東聊城·統考一模）如圖，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q為AB的中點，P為對角線BD上的任意一點，則AP+PQ的最小值為．【變式3-3】（2020·新疆烏魯木齊·校考一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為．

題型04軸對稱中的光線反射問題【例4】（2023·河北廊坊·校考一模）通過光的反射定律知道，入射光線與反射光線關于法線成軸對稱（圖1）．在圖2中，光線自點P射入，經鏡面EF反射后經過的點是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【變式4-1】（2022·陜西咸陽·統考三模）如圖，在水平地面AB上放一個平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式4-2】（2022·浙江臺州·統考一模）根據光學中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，α,β是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面α反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面α的夾角的度數為x°，光線n與光線k的夾角的度數為y°．則x與y之間的數量關系是．題型05折疊問題類型一三角形折疊問題【例5】（2023·新疆·統考一模）“做數學”可以幫助我們積累數學活動經驗．如圖，已知三角形紙片ABC，第1次折疊使點B落在BC邊上的點B'處，折痕AD交BC于點D；第2次折疊使點A落在點D處，折痕MN交AB'于點P．若BC=12，則【變式5-1】（2022·浙江衢州·統考模擬預測）如圖，三角形紙片ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，將這張紙片沿直線DE翻折，點A與點F重合．若DE∥BC，AF＝EF，則四邊形ADFE的面積為．【變式5-2】（2022·廣東珠海·珠海市文園中學校考三模）如圖所示，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點B落在點B′處，若EB′恰好與BC平行，且∠B＝80°，則∠CDE＝°．【變式5-3】（2020·浙江麗水·統考模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連結EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當點P落在BC上時，求∠AEP的度數．②如圖3，連結AP，當PF⊥AC時，求AP的長．【變式5-4】（2023·新疆和田·統考一模）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點O為BC的中點，點D是線段OC上的動點（點D不與點O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到Δ

(1)當AE⊥BC時，∠AEB=___________°；(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數量關系，并給出證明；(3)設AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關于x的函數解析式．類型二四邊形折疊問題【例6】（2019·山東菏澤·統考三模）如圖，將?ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，交BC于點F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，則∠E為()

A．102° B．112° C．122° D．92°【變式6-1】（2022·山東棗莊·統考一模）如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．將紙片折疊，使點B落在AD邊上的點G處，折痕為EF．若∠BFE=45°，則BF的長為（

）A．5 B．35 C．53 【變式6-2】（2022·浙江臺州·模擬預測）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（）A．2 B．2+12 C．5+1【變式6-3】（2021·廣東深圳·校聯考一模）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置．若∠AEDA．65° B．110° C．115° D．130°【變式6-4】（2022·河南鄭州·一模）綜合與實踐，問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數量關系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應點為C'，連接DC'并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應點為A'，使A'B⊥CD于點H，折痕交AD于點M，連接A'M，交CD于點N．該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM【變式6-5】（2021·江蘇常州·統考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點P恰好在邊BC上，連接AP，求APDE（2）如圖②，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F，求BF的長．類型三圓的折疊問題【例7】（2023·山東濟寧·校考二模）將一個半徑為1的圓形紙片，如下圖連續對折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開，則虛線①所對的圓弧長和展開后得到的多邊形的內角和分別為（

）

A．π2，540° B．π4，720° C．π4，1080° D．【變式7-1】（2023·廣東廣州·統考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，∠BAC=20°，將劣弧AC沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點D，則∠ACD的度數等于(

)．A．40° B．50° C．80° D．100°【變式7-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯考二模）如圖，AC、AD是⊙O中關于直徑AB對稱的兩條弦，以弦AC、AD為折線將弧AC，弧AD折疊后過圓心O，若⊙O的半徑r=4，則圓中陰影部分的面積為．

【變式7-3】（2023·河北邯鄲·統考一模）如圖所示，在扇形AOB中，半徑OA=4，點P在OA上，連接PB，將△OBP沿PB折疊得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1(1)求∠APO(2)求AP的長．【變式7-4】（2023·安徽合肥·校考一模）如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點O恰好落在AB上的點C處，圖中陰影部分的面積為（

）A．3π?33 B．3π?9類型四拋物線與幾何圖形綜合【例8】（2021·陜西西安·交大附中分校校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝?13x2+233x+3的圖象與x軸交于點A、點B．與（1）求拋物線與x軸的兩交點坐標．（2）連接AC、BC．判斷△ABC的形狀，說明理由．（3）過點C作直線l//x軸，點P是拋物線上對稱軸右側一動點，過點P作直線PQ//y軸交直線l于點Q，連接CP．若將△CPQ沿CP對折，點Q的對應點為點M．是否存在這樣的點P，使點M落在坐標軸上？若存在，求出此時點Q的坐標．若不存在，請說明理由．【變式8-1】（2021·江蘇常州·常州實驗初中校考二模）如圖，二次函數y=?x2+bx+2的圖象與y軸交于點C，拋物線的頂點為A，對稱軸是經過點H（2，0）且平行于y軸的一條直線．點P是對稱軸上位于點A下方的一點，連接CP并延長交拋物線于點B，連接CA（1）填空：b=______，點A的坐標是______；（2）當∠ACB=45°時，求點P的坐標；（3）將△CAB沿CB翻折后得到△CDB（點A的對應點為點D），問點D能否恰好落在坐標軸上?若能，請直接寫出點P的坐標，若不能，請說明理由．【變式8-2】（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，二次函數y=12x2+bx+c與x軸交于O0,0，A4,0兩點，頂點為C，連接OC、AC，若點B是線段OA上一動點，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點A落在點A'的位置，線段A'C與

(1)求二次函數的表達式；(2)①求證：△OCD∽△A'BD(3)當S△OCD=8S【變式8-3】（2023·陜西渭南·統考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx?6與x軸正半軸交于點A6,0，與y軸交于點B，點C在直線AB上，過點C作CD⊥x軸于點D2,0，將△ACD沿CD(1)求拋物線的函數表達式；(2)若點P是拋物線上的點，是否存在點P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．題型06求對稱軸條數【例9】（2023·廣東廣州·統考一模）圖中的圖形為軸對稱圖形，該圖形的對稱軸的條數為（

）

A．1 B．2 C．3 D．5【變式9-1】（2022·山東青島·統考一模）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數最多的是（

）A． B． C． D．【變式9-2】（2020·黑龍江哈爾濱·統考模擬預測）下列圖形：其中是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【變式9-3】（2023·北京海淀·校聯考模擬預測）下列圖形中，對稱軸條數最少的是（

）A． B． C． D．題型07畫軸對稱圖形【例10】（2021·廣東中山·校聯考一模）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點和線段EF的端點均在小正方形的頂點上．(1)在方格紙中面出△ADC，使△ADC與△ABC關于直線AC對稱（點D在小正方形的頂點上）；(2)在方格紙中畫出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點G，點H均在小正方形的頂點上），且平行四邊形EFGH的面積為4．連接DH，請直接寫出線段DH的長．【變式10-1】（2023·陜西西安·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標為A2，4，B(1)在圖中作出△ABC關于y軸對稱的△A(2)若△ABC與△DEF關于點P成中心對稱，則點P的坐標是___．【變式10-2】（2022·福建莆田·統考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為斜邊AB中點．(1)尺規作圖：求作一點E，使得點B，E關于直線CD對稱；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）(2)連接DE，求證：∠CDE=2∠A．【變式10-3】（2022·廣西南寧·統考二模）如圖，在直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．(1)請畫出與△ABC關于x軸對稱的△A(2)以點O為位似中心，將△ABC縮小為原來的12，得到△A2B2(3)在y軸上存在點P，使得△OA1P題型08設計軸對稱圖案【例11】（2020·河北·模擬預測）如圖，在小正三角形組成的網格中，已有6個小正三角形涂黑，還需涂黑n個小正三角形，使它們與原來涂黑的小正三角形組成的新圖案恰有三條對稱軸，則n的最小值為（）A．10 B．6 C．3 D．2【變式11-1】（2022·安徽合肥·統考二模）如圖，在4×4正方形網絡中，選取一個白色的小正方形并涂黑，使構成的黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的概率是．【變式11-2】（2020·山東棗莊·統考二模）在數學活動課上，王老師要求學生將圖1所示的3×3正方形方格紙，剪掉其中兩個方格，使之成為軸對稱圖形．規定：凡通過旋轉能重合的圖形視為同一種圖形，如圖2的四幅圖就視為同一種設計方案（陰影部分為要剪掉部分）請在圖中畫出4種不同的設計方案，將每種方案中要剪掉的兩個方格涂黑（每個3×3的正方形方格畫一種，例圖除外）【變式11-3】（2022·山西大同·統考二模）閱讀理解，并解答問題：觀察發現：如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發現這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過程設計的，其中虛線所在的直線是正方形的對稱軸．問題解決：用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫一種拼法．(1)圖3中所畫拼圖拼成的圖案是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；(2)圖4中所畫拼圖拼成的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【變式11-4】（2022·浙江寧波·統考一模）在4×4的方格中，選擇6個小方格涂上陰影，請仔細觀察圖1中的六個圖案的對稱性，按要求回答．(1)請在六個圖案中，選出三個具有相同對稱性的圖案．選出的三個圖案是（填寫序號）；它們都是圖形（填寫“中心對稱”或“軸對稱”）；(2)請在圖2中，將1個小方格涂上陰影，使整個4×4的方格也具有（1）中所選圖案相同的對稱性．題型09求某點關于坐標軸對稱點的坐標【例12】（2022·湖南岳陽·統考一模）在平面直角坐標系xOy中，點M(?4,2)關于x軸對稱的點的坐標是（

）A．(?4,2) B．(4,2) C．(?4,?2) D．(4,?2)【變式12-1】（2023·浙江湖州·模擬預測）在平面直角坐標系中，將點A(-3，-2)向右平移5個單位長度得到點B，則點B關于y軸對稱點B'的坐標為（

A．(2，2) B．(-2，2) C．(-2，-2) D．(2，-2)【變式12-2】（2019·四川成都·校聯考一模）若點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣3，2）關于y軸對稱，則m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1題型10與軸對稱有關的規律探究問題【例13】（2022·云南·云大附中校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．規定“把?ABCD先沿y軸翻折，再向下平移1個單位”為一次變換．如此這樣，連續經過2022次變換后，?ABCD的頂點D的坐標變為（）A．（3，﹣2019） B．（﹣3，﹣2019）C．（3，﹣2018） D．（﹣3，﹣2018）【變式13-1】（2022·河南商丘·校考一模）如圖，等邊△ABC的頂點A1,1，B3,1，規定把△ABC“先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，這樣連續經過2022次變換后，等邊△ABC的頂點C的坐標為（A．2023,3+1 C．2024,3+1 【變式13-2】（2021·河北·統考三模）如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環往復的軸對稱變換，若原來點A坐標是(1,2)，則經過第2021次變換后點A的對應點的坐標為（

）A．(1,?2) B．(?1,?2) C．(?1,2) D．(1,2)【變式13-3】（2021·山東青島·山東省青島實驗初級中學校考模擬預測）如圖，已知正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點M，頂點A、B、C的坐標分別為(1,3)、(1,1)、(3,1)，規定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續經過2020次變換后，點M的坐標變為（

）

A．(2022,2) B．(2022,?2)C．(2020,2) D．(2020,?2)題型11軸對稱的綜合問題【例14】（2023·廣西玉林·一模）如圖，已知直線y=kx+2k交x、y軸于A、B兩點，以AB為邊作等邊△ABC(A、B、C三點逆時針排列)，D、E兩點坐標分別為(?6,0)、(?1,0)，連接CD、CE，則CD+CE的最小值為（

）A．6 B．5+3 C．6.5 D．【變式14-1】（2022·江蘇鎮江·統考模擬預測）△ABC是邊長為4的等邊三角形，其中點P為高AD上的一個動點，連接BP，將BP繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接PE、DE、CE，則△BDE周長的最小值是（

）A．2+23 B．2+3 【變式14-2】（2022·廣東·校聯考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點P是線段AC上一動點，點M在線段AB上，當AM＝13AB時，PB＋PM的最小值為（

A．33 B．27 C．23＋2 D．33＋3【變式14-3】（2022·福建廈門·福建省廈門第二中學校考模擬預測）如圖，在正五邊形ABCDE中，點F是CD的中點，點G在線段AF上運動，連接EG，DG，當△DEG的周長最小時，則∠EGD=（

）A．36° B．60° C．72° D．108°【變式14-4】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0），點Q是直線y=3x上的一個動點，以AQ為邊，在AQ的右側作等邊△APQ，使得點P落在第一象限，連接OP，則OP+APA．6 B．43 C．8 D．63考點二圖形的平移平移的概念：在平面內，一個圖形由一個位置沿某個方向移動到另一個位置，這樣的圖形運動叫做平移．平移不改變圖形的形狀和大小．平移的三大要素：1）平移的起點，2）平移的方向，3）平移的距離．平移的性質：1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個圖形全等.2）平移前后對應線段平行且相等、對應角相等.3）任意兩組對應點的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應點之間的距離就是平移的距離.作圖步驟：1）根據題意，確定平移的方向和平移的距離；2）找出原圖形的關鍵點；3）按平移方向和平移距離平移各個關鍵點，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到平移后的圖形．題型01生活中的平移現象【例1】（2022·貴州貴陽·統考二模）下列現象中屬于平移的是（

）①方向盤的轉動；②打氣筒打氣時，活塞的運動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運動A．①② B．②③ C．①②④ D．②【變式1-1】（2023·江蘇宿遷·統考三模）數學來源于生活，下列圖案是由平移形成的是（

）A．

B．

C．

D．

題型02利用平移的性質求解【例2】（2022·福建·統考模擬預測）如圖，現有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A'B'C'，點A．96 B．963 C．192 D．【變式2-1】（2023·河北廊坊·統考二模）“方勝”是中國古代婦女的一種發飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對角線BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一個“方勝”圖案，則點D，B'之間的距離為（

）A．1cm B．2cm C．(2－1)cm D．(22－1)cm【變式2-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'【變式2-3】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，4），B（3，4），將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對應點是C，O的對應點是E，函數y=kx(k≠0)的圖像經過點C和DE的中點F，則k【變式2-4】（2023·江蘇徐州·統考一模）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，則陰影部分的面積為cm2題型03利用平移解決實際生活問題【例3】（2023·山東淄博·統考二模）如圖，在長為37米，寬為26米的長方形地塊上，有縱橫交錯的幾條小路，寬均為1米，其它部分均種植花草，則種植花草的面積平方米．【變式3-1】（2023·河北滄州·校考模擬預測）在長方形ABCD中，放入6個形狀，大小都相同的長方形，所標尺寸如圖所示，則圖中陰影部分面積是cm2；若平移這六個長方形，則圖中剩余的陰影部分面積【變式3-2】（2022·河北秦皇島·統考一模）某景區有一座步行橋（如圖），需要把陰影部分涂刷油漆．(1)求涂刷油漆的面積；(2)若a=901，b=1，請用科學記數法表示涂刷油漆的面積．【變式3-3】（2023·貴州遵義·統考一模）如圖1，計劃在長為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設道路①、②的寬為x米，剩余部分為綠化．(1)道路①的面積為___________平方米；道路②的面積為___________平方米（都用含x的代數式表示）．(2)如圖2，根據實際情況，將計劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為x米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．題型04作平移圖形【例4】（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，在2×6的方格紙中，已知格點P，請按要求畫格點圖形（頂點均在格點上）．(1)在圖1中畫一個銳角三角形，使P為其中一邊的中點，再畫出該三角形向右平移2個單位后的圖形．(2)在圖2中畫一個以P為一個頂點的鈍角三角形，使三邊長都不相等，再畫出該三角形繞點P旋轉180°后的圖形．【變式4-1】（2022·安徽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4個單位后得到對應的△A1B1C1，請畫出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC繞原點O旋轉180°后得到對應的△A2B2C2，請畫出旋轉后的△A2B2C2；（3）觀察圖形可知，△A1B1C1與△A2B2C2關于點（，）中心對稱．

【變式4-2】（2023·陜西銅川·統考一模）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A(?2，3)，B(?3，0)，C(?1，?1)．將△ABC平移后得到△A(1)點A、A'(2)請在圖中畫出△A題型05求點沿x軸、y軸平移后的坐標【例5】（2023·湖南長沙·校考二模）在平面直角坐標系中，將點A(a,b)向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正好與原點重合，那么點A的坐標是（）A．(3,2) B．(3,?2) C．(?3,?2) D．(?3,2)【變式5-1】（2022·河北秦皇島·統考一模）將點A（-3，-2）沿水平方向向左平移5個單位長度得到點A'，若點A'在直線y=x+b上，則b的值為（

）A．6 B．4 C．-6 D．-4題型06由平移方式確定點的坐標【例6】（2023·廣西·模擬預測）如圖，點A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點D的坐標是（

）

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【變式6-1】（2021·江西·統考一模）如圖，P（m，n）為△ABC內一點，△ABC經過平移得到△A′B′C′，平移后點P與其對應點P'關于x軸對稱，若點B的坐標為（﹣2，1），則點B的對應點B′的坐標為（

）A．（﹣2，1﹣2n） B．（﹣2，1﹣n） C．（﹣2，﹣1） D．（m，﹣1）【變式6-2】（2021·廣東中山·校聯考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(1,2)，將線段OA向右平移4個單位長度，得到線段BC，點A的對應點C的坐標是．【變式6-3】（2023·山東德州·統考一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，則點B的坐標為．【變式6-4】（2023·山東臨沂·統考一模）如圖，平面直角坐標系中，線段AB端點坐標分別為A?5,0，B0,?3，若將線段AB平移至線段A1B1，且A1?3,m題型07由平移前后點的坐標判斷平移方式【例7】（2022·山東淄博·統考二模）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標分別是(?1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y軸右側的一盞燈籠，使得y軸兩側的燈籠對稱，則平移的方法可以是（

）A．將B向左平移4.5個單位 B．將C向左平移4個單位C．將D向左平移5.5個單位 D．將C向左平移3.5個單位【變式7-1】（2022·浙江臺州·統考二模）如圖，平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為A1,1，B4,1，D2,3，要把頂點A平移到頂點C的位置，則其平移方式可以是：先向右平移題型08已知圖形的平移求點的坐標【例8】（2021·河北·模擬預測）如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°．邊BC在x軸上，頂點A,B的坐標分別為?2,6和7,0．將正方形OCDE沿x軸向右平移當點E落在AB邊上時，點D的坐標為（

）A．32,2 B．2,2 C．114【變式8-1】（2023·遼寧大連·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若頂點A（﹣3，4）的對應點是A1（2，5），則點B（﹣4，2）的對應點B1的坐標是．【變式8-2】（2023·吉林長春·校聯考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，B的坐標分別是A0,2，B2,?1．平移△ABC得到△A'B'C'，若點A的對應點A'題型09與平移有關的規律問題【例9】（2019·河南新鄉·校聯考二模）如圖，等邊△ABC的頂點A1,1，B3,1，規定把△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，這樣連續經過2019次變換后，等邊△ABC的頂點C的坐標為（A．?2016,3+1 B．C．?2017,3+1 【變式9-1】（2023·湖南婁底·校聯考一模）定義：在平面直角坐標系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點按順時針方向旋轉θ角度，這樣的圖形運動叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長為1，點A在第一象限，點B與原點O重合，點C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B1C1

【變式9-2】（2018·青海·統考一模）如圖，等邊三角形的頂點A（1，1）、B（3，1），規定把等邊△ABC“先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換，如果這樣連續經過2018次變換后，等邊△ABC的頂點C的坐標為．題型10平移的綜合問題【例10】（2022·內蒙古呼和浩特·統考三模）如圖，△ABC和△A'B'C'是邊長分別為5和2的等邊三角形，點B'、C'、B、C都在直線l上，△ABC固定不動，將△A'B'C'在直線l上自左向右平移．開始時，點C'與點B重合，當點B'移動到與點C重合時停止．設△A'B'C'移動的距離為x，兩個三角形重疊部分的面積為y，請寫出y與x之間的函數關系式．【變式10-1】（2023·天津·模擬預測）在平面直角坐標系中，O為原點，點A（6,0），點B在y軸的正半軸上，∠ABO=（Ⅰ）如圖①，求點E的坐標；（Ⅱ）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形C'O'D'E'，點C，O，D，E的對應點分別為C①如圖②，當矩形C'O'D'E'②當3?【變式10-2】（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）如圖①，直線y=?x?1交x軸于點A，經過點A的拋物線y1=?x2+bx+c交直線y=?x?1

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標．(2)當PA=PB時，求點P的縱坐標m的值．(3)過點P作x軸的平行線，交拋物線y1=?x2+bx+c于點E、F，交線段AB于點Q，當點Q將線段AB(4)將線段AC先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段MN，若拋物線y2=a(?x2+bx+c)(a≠0)與線段【變式10-3】（2023·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B1，(1)直接寫出拋物線的解析式；(2)如圖1，D為線段AC上的點，過點D的直線EF∥OC，交拋物線于E點，交AO于F點，設點D的橫坐標為t，且?3<t<0，試比較線段ED與DF的大小；(3)如圖2，直線l:y=kxk>0沿y軸翻折得到直線l'，平移直線l與拋物線相交于N，P兩點，平移直線l'與拋物線相交于N，Q兩點，M為PQ的中點，設點N的橫坐標為n，點M的橫坐標為m，求n考點三圖形的旋轉定義：在平面內，一個圖形繞一個定點沿某個方向(順時針或逆時針)轉過一個角度，這樣的圖形運動叫旋轉．這個定點叫做旋轉中心，轉過的這個角叫做旋轉角．三大要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度．性質：1）對應點到旋轉中心的距離相等；2）每對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；3）旋轉前后的圖形全等．作圖步驟：1）根據題意，確定旋轉中心、旋轉方向及旋轉角；2）找出原圖形的關鍵點；3）連接關鍵點與旋轉中心，按旋轉方向與旋轉角將它們旋轉，得到各關鍵點的對應點；4）按原圖形依次連接對應點，得到旋轉后的圖形．1.1.圖形的旋轉由旋轉中心、旋轉方向與旋轉的角度所決定.2.旋轉中心可以是圖形外的一點，也可以是圖形上的一點，還可以是圖形內的一點.3.對應點之間的運動軌跡是一段圓弧，對應點到旋轉中心的線段就是這段圓弧所在圓的半徑.4.旋轉是一種全等變換，旋轉改變的是圖形的位置，圖形的大小關系不發生改變，所以在解答有關旋轉的問題時，要注意挖掘相等線段、角，因此特殊三角形性質的運用、銳角三角函數建立的邊角關系起著關鍵的作用．中心對稱與中心對稱圖形：中心對稱中心對稱圖形圖形定義如果一個圖形繞某點旋轉180°后與另一個圖形重合，我們就把這兩個圖形叫做成中心對稱.如果一個圖形繞某一點旋轉180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.區別中心對稱是指兩個圖形的關系中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形聯系兩者可以相互轉化，如果把中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這“一個圖形”就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形相互對稱的兩部分看成兩個圖形，那么這“兩個圖形”中心對稱.中心對稱的性質：1）中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；中心對稱的兩個圖形是全等圖形.作與已知圖形成中心對稱的圖形的一般步驟：1）作已知圖形各頂點（或決定圖形形狀的關鍵點）關于對稱中心的對稱點——連接關鍵點和對稱中心，并延長一倍確定關鍵點的對稱點.2）把各對稱點按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關于對稱中心對稱的圖形.找對稱中心的方法和步驟：方法1：連接兩個對應點，取對應點連線的中點，則中點為對稱中心.方法2：連接兩個對應點，在連接兩個對應點，兩組對應點連線的交點為對稱中心.題型01找旋轉中心、旋轉角、對應點【例1】（2019·山東·山東省青島第二十六中學校考中考模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格線的格點上，將三角形ABC繞點P旋轉90°，得到△A′B′C′，則點P的坐標為（）A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1）【變式1-1】（2023·遼寧鞍山·統考一模）如圖，△ADE是由△ABC繞點A旋轉得到的，若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，則旋轉角的度數為（

）A．60° B．50° C．40° D．10°【變式1-2】（2022·四川瀘州·統考一模）如圖，△ABC繞點C旋轉，點B轉到點E的位置，則下列說法正確的是（）A．點B與點D是對應點 B．∠BCD等于旋轉角C．點A與點E是對應點 D．△ABC≌△DEC【變式1-3】（2023·江蘇鎮江·統考一模）第二十四屆北京冬奧會入場式引導牌上的圖案融入了中國結和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉角α0°<α<360°后能夠與它本身重合，則角α可以為題型02根據旋轉的性質求解【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△EDC，使點B的對應點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數是（用含α的代數式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α【變式2-1】（2023·遼寧沈陽·統考三模）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結論一定正確的是（

）A．AB=AN B．AB∥NC C．∠AMN=∠ACN 【變式2-2】（2023·山東菏澤·統考二模）如圖，在ΔABC中，AB<AC，將△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△ADE，點D在BC邊上，DE交AC于點F．下列結論：①△AFE～△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正確結論的序號是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【變式2-3】（2023·山東棗莊·校聯考二模）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點逆時針旋轉50°得到△AB′C′，以下結論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【變式2-4】（2021·黑龍江哈爾濱·統考模擬預測）如圖，在ΔABC中，∠BAC=108°，將ΔABC繞點A按逆時針方向旋轉得到ΔAB'C'．若點B'恰好落在BC邊上，且AA．18° B．20° C．24° D．28°題型03根據旋轉的性質說明線段或角相等【例3】（2022·廣西賀州·統考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將△ABC繞點A逆時針轉60°得到△AB'CA．3+1 B．23+2 C．3【變式3-1】（2022·河南安陽·統考一模）如圖，矩形ABCD的頂點A1,0，D0,2，B5,2，將矩形以原點為旋轉中心，順時針旋轉75°之后點CA．4,?2 B．42,?22 C．4【變式3-2】（2021·江蘇泰州·校考一模）如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把ΔADE繞點A順時針旋轉90°到ΔABF的位置．若四邊形AECF的面積為20，DE=2，則AE的長為（

）A．4 B．25 C．6 D．【變式3-3】（2022·黑龍江哈爾濱·統考一模）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉80°得△DBE，點D，E分別為點A，C的對應頂點，連接AD，若AD∥BC，則∠DBE為（

）A．80° B．50° C．55° D．100°題型04畫旋轉圖形【例4】（2023·新疆·二模）如圖，在方格紙中，將Rt△AOB繞點B按順時針方向旋轉90°后得到RtA． B． C．D．【變式4-1】（2022·廣東韶關·統考一模）在如圖所示的直角坐標系中，解答下列問題：(1)分別寫出A、B兩點的坐標；(2)將△ABC繞點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后的△AB1C1【變式4-2】（2023·陜西·模擬預測）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A1,?1，B2,?5，(1)將△ABC先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到△A1B1C(2)畫出△A1B1C1繞點(3)在（2）的條件下，求點A1旋轉到點A2的過程中所經過的路徑長（結果保留【變式4-3】（2023·廣東深圳·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A?1,1，B?4,0，C?2,2．將△ABC繞原點O順時針旋轉90°(1)請寫出A1、B1、C1三點的坐標：A1_________，(2)求點B旋轉到點B1題型05求旋轉對稱圖形的旋轉角度【例5】（2023·廣東珠海·校考一模）美麗的冬奧雪花呈現出浪漫空靈的氣質．如圖，雪花圖案是一個中心對稱圖形，也可以看成自身的一部分圍繞它的中心依次旋轉一定角度得到的，這個角的度數可以是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【變式5-1】（2020·吉林·統考三模）如圖，該圖案繞它的中心至少旋轉m度能與自身完全重合，則m的值是（

）A．45 B．90 C．135 D．180【變式5-2】（2023·江蘇鎮江·校聯考一模）如圖，點A、B、C、D、E是圓O上的五等分點，該圖形繞點O至少旋轉度后與自身重合．題型06旋轉中的規律問題【例6】（2021·山東濟寧·統考一模）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續地翻轉，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【變式6-1】（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=3x+3與兩坐標軸交于A、B兩點，以AB為邊作等邊△ABC，將等邊△ABC沿射線AB方向作連續無滑動地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞B點順時針旋轉120°，使點C落在直線l上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點C順時針旋轉120°，使點A落在直線l上……當等邊三角形翻滾2023次后點A

A．2023,20233 B．2022,20243 C．2021,20223【變式6-2】（2022·山東菏澤·統考二模）如圖，在正方形ABCD中，頂點A?5,0，C5,10，點F是BC的中點，CD與y軸交于點E，AF與BE交于點G，將正方形ABCD繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點G的坐標為（A．4,3 B．3,4 C．?4,?3 D．?3,?4【變式6-3】（2022·江蘇常州·校考二模）如圖，一個機器人最初面向北站立，按程序：每次移動都向前直走5m，然后逆時針轉動一個角度，每次轉動的角度增加10°．第一次直走5m后轉動10°，第二次直走5m后轉動20°，第三次直走5m后轉動30°，如此下去．那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米．【變式6-4】（2020·河北·統考模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF的邊AB與x軸重合，點F在y軸的正半軸上，已知，正六邊形的邊長為1，沿x軸向右無滑動滾動，當邊BC落到x軸上時，我們記為一次滾動完成，此時正六邊形記為A1（1）點D的坐標為；（2）當正六邊形滾動2020次后，點D運動過的軌跡長．

【變式6-5】（2021·貴州銅仁·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為：A(?2,0)，B(1,2)，C(1,?2)．已知N(?1,0)，作點N關于點A的對稱點N1，點N1關于點B的對稱點N2，點N2關于點C的對稱點N3，點N3關于點A的對稱點N4，點N4關于點【變式6-6】（2022·江蘇淮安·統考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，AB⊥y軸，垂足為B，將△ABO繞點A逆時針旋轉到△AB1O1的位置，使點B的對應點B1落在直線y=?34x上，再將△AB1O1繞點B1逆時針旋轉到△A1B1題型07求繞原點旋轉90°點的坐標【例7】（2020·安徽黃山·黃山市徽州區第二中學校考一模）如圖，Rt△OAB的頂點A（-2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（

）A．(2,2) B．(2,2) C．(2,2) D．(2,2)【變式7-1】（2023·安徽馬鞍山·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB為等腰三角形，OA=AB=5，點B到x軸的距離為4，若將△OAB繞點O逆時針旋轉90°，得到△OA'B'，則點題型08求繞某點（非原點）旋轉90°點的坐標【例8】（2021·山東淄博·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=﹣12x+2上的一個動點，將Q繞點P(1，0)順時針旋轉90°，得到點Q'，連接OQ

A．455 B．5 C．52【變式8-1】（2022·山東濟南·統考二模）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標是?1,0，現將△ABC繞A點按逆時針方向旋轉90°，則旋轉后點C的坐標是（

）A．2,?3 B．?2,3 C．?2,2 D．?3,2【變式8-2】（2023·山東淄博·統考一模）規定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉90°，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續變換．例如：如圖，點O(0,0)按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到O1(1,0)，再將O1(1,0)繞原點順時針旋轉90°得到O2(0,?1)，再將O2

題型09求繞原點旋轉一定角度點的坐標【例9】（2022·河南·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標為A（0，2），B（﹣1，0），將△ABO繞點O按順時針旋轉得到△A1B1O，若AB⊥OB1，則點A1的坐標為（）A．（255,455） B．（455,【變式9-1】（2021·河南南陽·統考一模）如圖，矩形OABC的頂點O（0，0），B（－2，23），若矩形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉60°，則第145秒時，矩形的對角線交點D的坐標為（

）A．（－1，3） B．（－1，－3） C．（－2，0） D．（1，－3）題型10旋轉綜合題類型一線段問題【例10】（2022·安徽·校聯考三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點C為圓心，2為半徑作圓，P是⊙C上的任意一點，將點P繞點D按逆時針方向旋轉90°，得到點Q，連接BQ，則BQ的最大值是（

）A．6 B．42+2 C．22【變式10-1】（2022·江蘇無錫·校聯考一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，點P是AC邊上的一個動點，將線段BP繞點B順時針旋轉60°得到線段BQ，連接CQ．則在點P運動過程中，線段CQ的最小值為（

）A．43 B．53 C．10 D．5【變式10-2】（2023·陜西·模擬預測）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為．【變式10-3】（2022·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是邊AB上一點，AE=2，F是直線BC上一動點，將線EF繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG，連接CG，DG，則CG+DG的最小值是．類型二面積問題【例11】（2021·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）如圖所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5，連接BD、CE，將△ADE繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，當∠DBA最大時，S【變式11-1】（2022·浙江寧波·校聯考一模）如圖，一副三角板如圖1放置，AB=CD=6，頂點E重合，將△DEC繞其頂點E旋轉，如圖2，在旋轉過程中，當∠AED=75°，連接AD，BC，此時四邊形ABCD的面積是【變式11-2】（2023·河南南陽·校聯考三模）如圖，點P是正方形ABCD內一點，且點P到點A、B、C的距離分別為22、1、10，則正方形ABCD的面積為．【變式11-3】（2022·遼寧鞍山·模擬預測）如圖，正方形ABCD中，點E，F，G分別為邊AB，BC，AD上的點，且AE=BF=DG，連接EF，GE，GF．(1)△BEF可以看成是△AGE繞點M逆時針旋轉α角所得，請在圖中畫出點M，并直接寫出α角的度數；(2)當點E位于何處時，△EFG的面積取得最小值？請說明你的理由；(3)試判斷直線CD與△EFG外接圓的位置關系，并說明你的理由．類型三角度問題【例12】（2023·廣東廣州·執信中學校考一模）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，將BC繞點B順時針旋轉θ0<θ<90°，得到BP，連結CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結AP，則∠PAH的度數（A．30° B．45° C．60° D．隨若θ的變化而變化【變式12-1】（2022·山東煙臺·統考一模）如圖，正方形ABCD中∠PAQ分別交BC，CD于點E，F，連接EF．(1)如圖①，若∠1=28°，∠2=73°，試求∠3的度數；(2)如圖②，以點A為旋轉中心，旋轉∠PAQ，旋轉時保持∠PAQ=45°．當點E，F分別在邊BC，CD上時，AE和AF是角平分線嗎？如果是，請說出是哪兩個角的平分線并給予證明；如果不是，請說明理由；(3)如圖③，在②的條件下，當點E，F分別在BC，CD的延長線上時，②中的結論是否成立？只需回答結論，不需說明理由．【變式12-2】（2022·山東濟南·統考一模）圖1是邊長分別為a和ba>b的兩個等邊三角形紙片△ABC和△CDE疊放在一起（C與C(1)操作：固定△ABC，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉20°，連結AD，BE，如圖2，則∠ECA=______度，并直接寫出線段BE與AD的數量關系____．(2)操作：若將圖1中的△CDE，繞點C按順時針方向旋轉120°，使點B、C、D在同一條直線上，連結AD、BE，如圖3．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結論？若是，請證明；若不是，請直接寫出BE與AD之間的數量關系；②求∠APB的度數．(3)若將圖1中的△CDE，繞點C按逆時針方向旋轉一個角α0<α<360°，當α等于多少度時，△BCD【變式12-3】（2022·山東煙臺·統考二模）問題背景：如圖，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α0°<α<180°，點P為平面內不與點A，C重合的任意一點，連接CP，將線段CP繞點P順時針旋轉α，得線段PD，連接CD，AP．點E，F分別為BC，CD的中點，設直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究EFAP的值AB和(1)【問題發現】如圖1，α=60°時，EFAP=，β=(2)如圖2，α=90°時，EFAP=，β=(3)【類比探究】如圖3，α=120°時，請探究出EFAP的值和β(4)【拓展延伸】通過以上的探究請直接寫出你發現的規律：EFAP=（用含m、n的式子表示）；β=（用含題型11判斷中心對稱圖形【例13】（2023·河南焦作·統考一模）2022年4月16日，神舟十三號載人飛船圓滿完成全部既定任務，順利返回地球家園．六個月的飛天之旅展現了中國航天科技的新高度下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2023·四川綿陽·統考一模）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（

）A．B．C．D．【變式13-2】（2021·北京豐臺·統考二模）下列交通標志中，是中心對稱圖形的是（

）A．禁止駛入B．靠左側道路行駛C．向左和向右轉彎D．環島行駛題型12畫已知圖形關于某點的對稱圖形【例14】（2021·浙江寧波·統考模擬預測）如圖，在正方形網格中，△ABC的頂點在格點上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中，作△ABC關于點O對稱的△A（2）在圖2中，作△ABC繞點A順時針旋轉一定角度后，頂點仍在格點上的△A【變式14-1】（2022·安徽安慶·校考一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，給出了格點△ABC（頂點是網格線的交點)．(1)畫出△ABC關于點C成中心對稱的△A'B'C（其中A'是點A的對應點，B'是點B的對應點）；(2)用無刻度的直尺作出一個格點O，使得OA=OB．【變式14-2】（2017·山東棗莊·統考一模）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．(1)請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△ABC；(2)請畫出△ABC關于原點對稱的△ABC；(3)在軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，請畫出△PAB，并直接寫出P的坐標．題型13根據中心對稱的性質求面積、長度、角度【例15】（2022·河北秦皇島·統考一模）如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若BC=3，OD=4．則AB的長可能是（

）A．3 B．4 C．7 D．11【變式15-1】（2019·山東德州·校聯考二模）點O是平行四邊形ABCD的對稱中心，AD＞AB，E、F分別是AB邊上的點，且EF＝12AB；G、H分別是BC邊上的點，且GH＝13BC；若S1,S2分別表示?EOF和?GOH的面積，則S1,S2【變式15-2】（2022·陜西·校聯考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E，F分別為AD，BC上的點，AE＝2，且EF過矩形ABCD的對稱中心O．若點P，Q分別在AB，CD邊上，且EF，PQ將矩形【變式15-3】（2022·廣西·統考二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，當菱形的兩條對角線長分別為12和16時，則陰影部分面積為．題型14利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案【例16】（2022·吉林長春·校考一模）如圖，在4×4的方格紙中，ΔABC圖1

圖2

圖3(1)在圖1中，畫出一個與ΔABC(2)在圖2中，畫出一個與ΔABC成軸對稱且與Δ(3)在圖3中，選擇格點D，畫出以A，B，C，D為頂點的平行四邊形．【變式16-1】（2022·山西大同·統考二模）閱讀理解，并解答問題：觀察發現：如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發現這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過程設計的，其中虛線所在的直線是正方形的對稱軸．問題解決：用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫一種拼法．(1)圖3中所畫拼圖拼成的圖案是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；(2)圖4中所畫拼圖拼成的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【變式16-2】（2023·浙江金華·校聯考模擬預測）規定：在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉對稱圖形，且有兩個旋轉角．根據以上規定，回答問題：（1）下列圖形是旋轉對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；A．矩形

B．正五邊形

C．菱形

D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角是60度的有：________（填序號）；

（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉對稱圖形；②等腰三角形是旋轉對稱圖形；③圓是旋轉對稱圖形，其中真命題的個數有（

）個；A．0

B．1

C．2

D．3（4）如圖2的旋轉對稱圖形由等腰直角三角形和圓構成，旋轉角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．第31講圖形的軸對稱、平移、旋轉目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一軸對稱題型01軸對稱圖形的識別題型02根據成軸對稱圖形的特征進行判斷題型03根據成軸對稱圖形的特征進行求解題型04軸對稱中的光線反射問題題型05折疊問題類型一三角形折疊問題類型二四邊形折疊問題類型三圓的折疊問題類型四拋物線與幾何圖形綜合題型06求對稱軸條數題型07畫軸對稱圖形題型08設計軸對稱圖案題型09求某點關于坐標軸對稱點的坐標題型10與軸對稱有關的規律探究問題題型11軸對稱的綜合問題考點二圖形的平移題型01生活中的平移現象題型02利用平移的性質求解題型03利用平移解決實際生活問題題型04作平移圖形題型05求點沿x軸、y軸平移后的坐標題型06由平移方式確定點的坐標題型07由平移前后點的坐標判斷平移方式題型08已知圖形的平移求點的坐標題型09與平移有關的規律問題題型10平移的綜合問題考點三圖形的旋轉題型01找旋轉中心、旋轉角、對應點題型02根據旋轉的性質求解題型03根據旋轉的性質說明線段或角相等題型04畫旋轉圖形題型05求旋轉對稱圖形的旋轉角度題型06旋轉中的規律問題題型07求繞原點旋轉90°點的坐標題型08求繞某點（非原點）旋轉90°點的坐標題型09求繞原點旋轉一定角度點的坐標題型10旋轉綜合題類型一線段問題類型二面積問題類型三角度問題題型11判斷中心對稱圖形題型12畫已知圖形關于某點的對稱圖形題型13根據中心對稱的性質求面積、長度、角度題型14利用平移、軸對稱、旋轉、中心對稱設計圖案考點要求新課標要求命題預測軸對稱通過具體實例理解軸對稱的概念，探索它的基本性質:成軸對稱的兩個圖形中對應點的連線被對稱軸垂直平分.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關于給定對稱軸的對稱圖形.理解軸對稱圖形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形、圓的軸對稱性質.認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形.該板塊知識以考查平面幾何的三大變換的基本運用為主，年年都有考查，分值在8-12分左右．預計2024年各地中考還將繼續考查這些知識點，考查形式主要有選填題、作圖題、也可能綜合題結合出現．在三種變換中，平移相對較為簡單，多以選擇題形式考察，偶爾也會考察作圖題:對稱和旋轉則難度較大，通常作為選擇、填空題的壓軸題出現，在解答題中，也會考察對稱和旋轉的作圖，以及與特殊幾何圖形結合的綜合壓軸題，此時常需要結合幾何圖形或問題類型去分類討論.平移通過具體實例認識平移，探索它的基本性質:一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等.認識并欣賞平移在自然界和現實生活中的應用.運用圖形的軸對稱、旋轉、平移進行圖案設計.旋轉通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉.探索它的基本性質:一個圖形和旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質:成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質.認識并欣賞自然界和現實生活中的中心對稱圖形.考點一軸對稱軸對稱與軸對稱圖形軸對稱軸對稱圖形圖形定義把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.區別1）軸對稱是指兩個圖形折疊重合.2）軸對稱對稱點在兩個圖形上.3）軸對稱只有一條對稱軸.1）軸對稱圖形是指本身折疊重合.2）軸對稱圖形對稱點在一個圖形上.3）軸對稱圖形至少有一條對稱軸.聯系1)定義中都有一條直線,都要沿著這條直線折疊重合.2)如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形；反過來,如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分(即看成兩個圖形),那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.性質1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.2）兩個圖形關于某直線對稱那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線.判定1）兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱.2）兩個圖形關于某條直線成軸對稱,那么對稱軸是對折重合的折痕線.常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形等.做軸對稱圖形的一般步驟：1）作某點關于某直線的對稱點的一般步驟：①過已知點作已知直線（對稱軸）的垂線，標出垂足，并延長；②在延長線上從垂足出發截取與已知點到垂足的距離相等的線段，那么截點就是這點關于該直線的對稱點.2）作已知圖形關于某直線的對稱圖形的一般步驟：①找.在原圖形上找特殊點（如線段的端點、線與線的交點）②作.作各個特殊點關于已知直線的對稱點③連.按原圖對應連接各對稱點折疊的性質：折疊的實質是軸對稱，折疊前后的兩圖形全等，對應邊和對應角相等．【解題思路】凡是在幾何圖形中出現“折疊”這個字眼時，第一反應即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關的條件量．解決折疊問題時，首先清楚折疊和軸對稱能夠提供我們隱含的且可利用的條件，分析角之間、線段之間的關系，借助勾股定理建立關系式求出答案，所求問題具有不確定性時，常常采用分類討論的數學思想方法．11.對稱軸是一條直線，不是一條射線，也不是一條線段.2.軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的存在多條對稱軸（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數條對稱軸等）.3.成軸對稱的兩個圖形中的任何一個都可以看作由另一個圖形經過軸對稱變換得到的，一個軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎,經軸對稱變換得到的.4.軸對稱的性質是證明線段相等、線段垂直及角相等的依據之一,例如:若已知兩個圖形關于某直線成軸對稱,則它們的對應邊相等,對應角相等.