概率與數理統計教案-?一、教學內容本次課程主要講解隨機變量的數字特征，包括數學期望、方差、協方差和相關系數等內容。二、教學目標1.讓學生理解隨機變量數學期望、方差、協方差和相關系數的概念。2.掌握離散型和連續型隨機變量數學期望、方差的計算方法。3.熟悉常見分布的數學期望和方差公式。4.理解協方差和相關系數的性質及意義，能運用這些概念分析變量間的關系。三、教學重難點1.重點數學期望和方差的定義與計算。常見分布的數學期望和方差。2.難點隨機變量函數的數學期望計算。協方差和相關系數的理解與應用。四、教學方法講授法、舉例法、練習法相結合。通過詳細講解概念和公式，結合具體例子幫助學生理解，再安排適量練習鞏固所學知識。五、教學過程（一）導入（5分鐘）通過回顧上節課隨機變量的分布，引出本節課要研究的隨機變量的數字特征。例如，我們知道了隨機變量X的分布列，但這還不夠直觀地了解它的整體特征，就像描述一個班級學生的成績，只知道每個學生的分數還不夠，還需要知道平均成績等數字特征，從而引出數學期望的概念。（二）數學期望（25分鐘）1.離散型隨機變量的數學期望定義：設離散型隨機變量X的分布列為\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)，若級數\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)絕對收斂，則稱級數\(\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)的值為隨機變量X的數學期望，記為\(E(X)\)，即\(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k\)。舉例：拋擲一枚均勻的骰子，設X表示出現的點數，求\(E(X)\)。首先寫出X的分布列：\(P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=\frac{1}{6}\)。然后根據數學期望的定義計算：\(E(X)=1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}+4\times\frac{1}{6}+5\times\frac{1}{6}+6\times\frac{1}{6}=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5\)。2.連續型隨機變量的數學期望定義：設連續型隨機變量X的概率密度函數為\(f(x)\)，若積分\(\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)絕對收斂，則稱積分\(\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)的值為隨機變量X的數學期望，記為\(E(X)\)，即\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。舉例：設隨機變量X的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)。根據定義計算：\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}\)。3.隨機變量函數的數學期望定理：設\(Y\)是隨機變量\(X\)的函數\(Y=g(X)\)（\(g\)是連續函數）。若\(X\)是離散型隨機變量，分布列為\(P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots\)，且\(\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k\)絕對收斂，則\(E(Y)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k\)。若\(X\)是連續型隨機變量，概率密度函數為\(f(x)\)，且\(\int_{\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)絕對收斂，則\(E(Y)=E[g(X)]=\int_{\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx\)。舉例：已知\(X\)的分布列如下：\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，求\(Y=X^2\)的數學期望\(E(Y)\)。方法一：先求出\(Y\)的分布列，\(Y\)取值為\(0\)和\(1\)，\(P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(Y=1)=P(X=1)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。再根據離散型隨機變量數學期望公式計算：\(E(Y)=0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)。方法二：直接利用隨機變量函數的數學期望公式，\(E(Y)=E(X^2)=(1)^2\times\frac{1}{4}+0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。（三）常見分布的數學期望（20分鐘）1.01分布設\(X\)服從參數為\(p\)的\(01\)分布，其分布列為\(P(X=1)=p\)，\(P(X=0)=1p\)。則\(E(X)=1\timesp+0\times(1p)=p\)。2.二項分布\(B(n,p)\)設\(X\simB(n,p)\)，其分布列為\(P(X=k)=C_n^kp^k(1p)^{nk},k=0,1,\cdots,n\)。根據二項式定理\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{nk}\)，\(E(X)=\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1p)^{nk}\)。對\(kC_n^k=nC_{n1}^{k1}\)進行變形可得：\(E(X)=\sum_{k=0}^{n}kC_n^kp^k(1p)^{nk}=np\sum_{k=1}^{n}C_{n1}^{k1}p^{k1}(1p)^{nk}=np(p+(1p))^{n1}=np\)。3.泊松分布\(P(\lambda)\)設\(X\simP(\lambda)\)，其分布列為\(P(X=k)=\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!},k=0,1,\cdots\)。\(E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambda\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{\lambda}\lambda^{k1}}{(k1)!}\)。令\(m=k1\)，則\(E(X)=\lambda\sum_{m=0}^{\infty}\frac{e^{\lambda}\lambda^{m}}{m!}=\lambda\)。4.均勻分布\(U(a,b)\)設\(X\simU(a,b)\)，其概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{ba},&a\ltx\ltb\\0,&其他\end{cases}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{a}^{b}x\cdot\frac{1}{ba}dx=\frac{1}{ba}\cdot\frac{x^2}{2}\big|_a^b=\frac{a+b}{2}\)。5.指數分布\(E(\lambda)\)設\(X\simE(\lambda)\)，其概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}\lambdae^{\lambdax},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{\lambdax}dx\)。利用分部積分法，令\(u=x\)，\(dv=\lambdae^{\lambdax}dx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^{\lambdax}\)。可得\(E(X)=\int_{0}^{\infty}x\lambdae^{\lambdax}dx=xe^{\lambdax}\big|_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}e^{\lambdax}dx=\frac{1}{\lambda}\)。6.正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)設\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，其概率密度函數為\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{(x\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\)。令\(t=\frac{x\mu}{\sigma}\)，則\(x=\mu+\sigmat\)，\(dx=\sigmadt\)。\(E(X)=\int_{\infty}^{\infty}(\mu+\sigmat)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}\sigmadt=\mu\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt+\sigma\int_{\infty}^{\infty}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt\)。因為\(\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt=1\)，\(\int_{\infty}^{\infty}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt=0\)，所以\(E(X)=\mu\)。（四）方差（25分鐘）1.定義設\(X\)是一個隨機變量，若\(E[(XE(X))^2]\)存在，則稱\(E[(XE(X))^2]\)為\(X\)的方差，記為\(D(X)\)或\(Var(X)\)，即\(D(X)=E[(XE(X))^2]\)。其算術平方根\(\sqrt{D(X)}\)稱為標準差或均方差，記為\(\sigma(X)\)。2.計算方法對于離散型隨機變量\(X\)，\(D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}(x_kE(X))^2p_k\)。對于連續型隨機變量\(X\)，\(D(X)=\int_{\infty}^{\infty}(xE(X))^2f(x)dx\)。常用公式：\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2\)。證明：\(D(X)=E[(XE(X))^2]=E(X^22XE(X)+[E(X)]^2)=E(X^2)2E(X)E(X)+[E(X)]^2=E(X^2)[E(X)]^2\)。3.舉例已知\(X\)的分布列如下：\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，\(P(X=0)=\frac{1}{2}\)，\(P(X=1)=\frac{1}{4}\)，求\(D(X)\)。先求\(E(X)\)：\(E(X)=(1)\times\frac{1}{4}+0\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{4}=0\)。再求\(E(X^2)\)：\(E(X^2)=(1)^2\times\frac{1}{4}+0^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。最后根據公式\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\frac{1}{2}0^2=\frac{1}{2}\)。4.常見分布的方差01分布：\(D(X)=p(1p)\)。證明：\(E(X)=p\)，\(E(X^2)=1^2\timesp+0^2\times(1p)=p\)，所以\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=pp^2=p(1p)\)。二項分布\(B(n,p)\)：\(D(X)=np(1p)\)。證明：\(E(X)=np\)，\(E(X^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2C_n^kp^k(1p)^{nk}\)。由\(k^2C_n^k=n(n1)C_{n2}^{k2}+nC_{n1}^{k1}\)可得：\(E(X^2)=n(n1)p^2+(np)^2\)，則\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=n(n1)p^2+(np)^2(np)^2=np(1p)\)。泊松分布\(P(\lambda)\)：\(D(X)=\lambda\)。證明：\(E(X)=\lambda\)，\(E(X^2)=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}\)。由\(k^2\frac{e^{\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambdak\frac{e^{\lambda}\lambda^{k1}}{(k1)!}\)可得\(E(X^2)=\lambda^2+\lambda\)，所以\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\lambda^2+\lambda\lambda^2=\lambda\)。均勻分布\(U(a,b)\)：\(D(X)=\frac{(ba)^2}{12}\)。證明：\(E(X)=\f