湖北省長陽縣第一高級中學2025年全國高三模擬考試（五）數學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則（）A． B． C． D．2．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．3．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．4．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．5．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．7．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．728．記為數列的前項和數列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．在中，D為的中點，E為上靠近點B的三等分點，且，相交于點P，則（）A． B．C． D．10．若的展開式中的系數為-45，則實數的值為（）A． B．2 C． D．11．已知函數,關于的方程R)有四個相異的實數根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．12．函數的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數的最小正周期是B．函數的圖象關于點成中心對稱C．函數在單調遞增D．函數的圖象向右平移后關于原點成中心對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的最大值與最小正周期相同，則在上的單調遞增區間為______.14．下表是關于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調查數據，人數如下表所示：不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現要在所有參與調查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人，則的值為______.15．已知，，，且，則的最小值為___________．16．若函數與函數，在公共點處有共同的切線，則實數的值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在ΔABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin18．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.19．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.20．（12分）一種游戲的規則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數學期望.（2）當游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當時，記，證明：數列為常數列，數列為等比數列.21．（12分）已知的內角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bcosA﹣asinB＝1．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.2、C【解析】

直線恒過定點，由此推導出，由此能求出點的坐標，從而能求出的值．【詳解】設拋物線的準線為，直線恒過定點，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點B為AP的中點、連接OB，則，∴，點B的橫坐標為，∴點B的坐標為，把代入直線，解得，故選：C．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數的求法，考查拋物線的性質，是中檔題，解題時要注意等價轉化思想的合理運用，屬于中檔題.3、C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.5、B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．6、A【解析】

用偶函數的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數為偶函數,圖象關于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據函數的性質,辨析函數的圖像,排除法,屬于中檔題.7、C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.8、A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數列為等差數列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.9、B【解析】

設，則，，由B，P，D三點共線，C，P，E三點共線,可知，,解得即可得出結果.【詳解】設，則，，因為B，P，D三點共線，C，P，E三點共線，所以，，所以，.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.10、D【解析】

將多項式的乘法式展開，結合二項式定理展開式通項，即可求得的值.【詳解】∵所以展開式中的系數為，∴解得.故選：D.【點睛】本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應用，指定項系數的求法，屬于基礎題.11、A【解析】=,當時時,單調遞減，時,單調遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調遞增且,方程R)有四個相異的實數根.令=則,,即.12、B【解析】

根據函數的圖象，求得函數，再根據正弦型函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】根據給定函數的圖象，可得點的橫坐標為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當時，，即函數的一個對稱中心為，即函數的圖象關于點成中心對稱．故選B．【點睛】本題主要考查了由三角函數的圖象求解函數的解析式，以及三角函數的圖象與性質，其中解答中根據函數的圖象求得三角函數的解析式，再根據三角函數的圖象與性質求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用三角函數的輔助角公式進行化簡，求出函數的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可．【詳解】∵，則函數的最大值為2，周期，的最大值與最小正周期相同，，得，則，當時，，則當時，得，即函數在，上的單調遞增區間為，故答案為：.【點睛】本題考查三角函數的性質、單調區間，利用輔助角公式求出函數的解析式是解決本題的關鍵，同時要注意單調區間為定義域的一個子區間．14、32【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調查的人數，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知，抽取的比例為，被調查的總人數為人，則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為：32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎題.15、【解析】

由，先將變形為，運用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運用函數單調性即可得到所求值.【詳解】解：因為，，，且，所以因為，所以，當且僅當時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點睛】此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調性求最值，考查化簡和運算能力，屬于中檔題.16、【解析】

函數的定義域為，求出導函數，利用曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線，解得，，聯立解得的值．【詳解】解：函數的定義域為，，，設曲線與曲線公共點為，由于在公共點處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯立，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數的導數的應用，切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）b=32【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示，再根據正弦定理可以將sinAsinC轉化為ac，于是可以求出b的值；（2）首先根據sinB+3cosB=2求出角B的值，根據第（1）問得到的b值，可以運用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R，于是可以將a+c轉化為2RsinA+2R試題解析：（1）由cosB應用余弦定理，可得a2化簡得2b=3則b=（2）∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因為b=32得34又因為ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關系定理可知綜上a+c∈(考點：1.正、余弦定理；2.正弦型函數求值域；3.重要不等式的應用.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，，如下圖所示：因為，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，，，，則，，.設平面的法向量，則即令，則，，故.設平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.20、（1）分布列見解析，數學期望為6；（2）①；②證明見解析【解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出對應的概率，進而可求出變量的分布列和數學期望；（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，分別求出兩種情況的概率，進而可求得；②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，可知當且時，，結合，可推出，從而可證明數列為常數列；結合，可推出，進而可證明數列為等比數列.【詳解】（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8.每次拋擲一次硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率也為，則，.所以變量的分布列為：45678故變量的數學期望為.（2）①得2分只需要拋擲一次正面向上或兩次反面向上，概率的和為.②得分分兩種情況，第一種為得分后拋擲一次正面向上，第二種為得分后拋擲一次反面向上，故且時，有，則時，，所以