湖北省宜昌市示范高中協作體2025屆高三下5月月考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點，若為線段中點且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．2．設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數為奇函數，則（）A． B．1 C．2 D．34．已知是雙曲線的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．若復數滿足（是虛數單位），則（）A． B． C． D．6．一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框中應填入的條件是（）A． B． C． D．7．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．8．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數是上的減函數，當最小時，若函數恰有兩個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．已知甲、乙兩人獨立出行，各租用共享單車一次（假定費用只可能為、、元）．甲、乙租車費用為元的概率分別是、，甲、乙租車費用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為（）A． B． C． D．12．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數的圖像上存在點，滿足約束條件，則實數的最大值為__________．14．已知，則展開式中的系數為__15．在中，已知，，則A的值是______.16．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發費用（百萬元）和產品銷量（萬臺）的具體數據：月份56789101112研發費用（百萬元）2361021131518產品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據數據可知與之間存在線性相關關系，求出與的線性回歸方程（系數精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當時，不設獎；當時，每位員工每日獎勵200元；當時，每位員工每日獎勵300元；當時，每位員工每日獎勵400元.現已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態分布（其中是2018年5-12月產品銷售平均數的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數大約多少元.參考數據：，，，，參考公式：相關系數，其回歸直線中的，若隨機變量服從正態分布，則，.18．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：.19．（12分）已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上.（Ⅰ）求的極坐標方程和曲線的參數方程；（Ⅱ）求曲線的內接矩形的周長的最大值.20．（12分）為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數據繪制成2×2聯表，是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關？男女總計合格不合格總計（Ⅱ）從上述樣本中，成績在60分以下（不含60分）的男女學生問卷中任意選2個，記來自男生的個數為，求的分布列及數學期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）已知函數，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.22．（10分）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設，代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點坐標之間的關系，從而得到的等式，求出離心率．【詳解】，設，則，兩式相減得，∴，．故選：B．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題方法是點差法，即出現雙曲線的弦中點坐標時，可設弦兩端點坐標代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點坐標之間的關系．2、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得，解絕對值不等式可得，由于為的子集，據此可知“”是“”的必要不充分條件．故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學生數學運算，邏輯推理能力，屬于基礎題.3、B【解析】

根據整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數.而為奇函數，為偶函數，所以為偶函數，故，也即，化簡得，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查根據函數的奇偶性求參數值，屬于基礎題.4、B【解析】

先利用對稱得，根據可得，由幾何性質可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關鍵，屬于中檔題.5、B【解析】

利用復數乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復數的乘法運算，考查復數模的計算，屬于基礎題.6、D【解析】

首先判斷循環結構類型，得到判斷框內的語句性質，然后對循環體進行分析，找出循環規律，判斷輸出結果與循環次數以及的關系，最終得出選項．【詳解】經判斷此循環為“直到型”結構，判斷框為跳出循環的語句，第一次循環：；第二次循環：；第三次循環：，此時退出循環，根據判斷框內為跳出循環的語句，，故選D．【點睛】題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題．解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可．7、D【解析】

設出坐標，聯立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導數求最值．【詳解】設，，聯立，得則，則由，得設，則，則點到直線的距離從而．令當時，；當時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查利用導數求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構造函數關系的方式，然后結合導數或者利用函數值域的方法來求解最值.8、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．9、A【解析】

首先根據為上的減函數，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數零點個數轉化為函數圖象與直線交點的個數問題，畫出圖形，數形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數，則有，可得，所以當最小時，，函數恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數與的圖像有兩個交點．畫出函數的簡圖如下，而函數恒過定點，數形結合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關函數的問題，涉及到的知識點有分段函數在定義域上單調減求參數的取值范圍，根據函數零點個數求參數的取值范圍，數形結合思想的應用，屬于中檔題目.10、B【解析】

根據空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【詳解】A選項，若，，，，則或與相交；故A錯；B選項，若，，則，又，是兩個不重合的平面，則，故B正確；C選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故C錯；D選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故D錯；故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于常考題型.11、B【解析】

甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨立事件的概率公式計算即得．【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為．故選：B．【點睛】本題考查獨立性事件的概率．掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎．12、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當與交于點B(2,1)，當直線過B點時，m取得最大值為1.點睛：線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.14、1．【解析】

由題意求定積分得到的值，再根據乘方的意義，排列組合數的計算公式，求出展開式中的系數．【詳解】∵已知，則，

它表示4個因式的乘積．

故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項．

故展開式中的系數．

故答案為：1．【點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數的計算公式，屬于中檔題．15、【解析】

根據正弦定理，由可得，由可得，將代入求解即得.【詳解】，，即，，，則，，，，則.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎題.16、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，據此計算得到答案.【詳解】根據所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學生的推理能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態分布計算概率，進而估計總體情況，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數研究含參數的函數單調性；（2）根據（1）中求得的的單調性，得出在處取得最大值為，構造函數，利用導數，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調遞減，∴，即，則在單調遞減∴，∴，∴.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，涉及分類討論和構造新函數，通過導數證明不等式，考查轉化思想和計算能力.19、（Ⅰ）曲線的參數方程為：(為參數)；的極坐標方程為；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用轉換關系，把參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；(

II

)利用三角函數關系式的恒等變換和正弦型函數的性質的應用，即可求出結果.【詳解】(Ⅰ)由題意：曲線的直角坐標方程為：，所以曲線的參數方程為(為參數)，因為直線的直角坐標方程為：，又因曲線的左焦點為，將其代入中，得到，所以的極坐標方程為.（Ⅱ）設橢圓的內接矩形的頂點為，，，，所以橢圓的內接矩形的周長為：，所以當時，即時，橢圓的內接矩形的周長取得最大值16.【點睛】本題考查了曲線的參數方程，極坐標方程與普通方程間的互化，三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的性質的應用，極徑的應用，考查學生的求解運算能力和轉化能力，屬于基礎題型.20、（Ⅰ）填表見解析，有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】

（Ⅰ）根據莖