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文檔簡介
山東省濟寧市鄒城一中2025屆第二學期高三數學試題統練(二)注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.62.已知點,是函數的函數圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實數 B.,a為任意非零實數C.a、b均為任意實數 D.不存在滿足條件的實數a,b3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.已知復數滿足(是虛數單位),則=()A. B. C. D.5.已知集合,,則()A. B.C.或 D.6.《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.7.已知三棱錐的外接球半徑為2,且球心為線段的中點,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.8.等比數列若則()A.±6 B.6 C.-6 D.9.已知與分別為函數與函數的圖象上一點,則線段的最小值為()A. B. C. D.610.若集合,,則下列結論正確的是()A. B. C. D.11.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合;②雙曲線E與過點的冪函數的圖象交于點Q,且該冪函數在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點.則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.12.已知奇函數是上的減函數,若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則________.14.已知數列滿足,則________.15.在的二項展開式中,所有項的系數的和為________16.設復數滿足,其中是虛數單位,若是的共軛復數,則____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.18.(12分)在平面直角坐標系xoy中,曲線C的方程為.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)寫出曲線C的極坐標方程,并求出直線l與曲線C的交點M,N的極坐標;(2)設P是橢圓上的動點,求面積的最大值.19.(12分)某調查機構為了了解某產品年產量x(噸)對價格y(千克/噸)和利潤z的影響,對近五年該產品的年產量和價格統計如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產品的成本為12千元,假設該產品可全部賣出,預測當年產量為多少時,年利潤w取到最大值?參考公式:20.(12分)如圖,三棱錐中,點,分別為,的中點,且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.21.(12分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點,使面,若存在確定點位置,若不存在,請說明理由;(2)當為中點時,求二面角的余弦值.22.(10分)數列滿足.(1)求數列的通項公式;(2)設,為的前n項和,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
先求出,再由,利用向量數量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因為,所以有,得,故選:C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題,涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式,向量垂直的坐標表示,屬于基礎題目.2.A【解析】
求得的導函數,結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數.【詳解】依題意,在點處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數.故選:A【點睛】本題考查導數的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題.3.A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.4.A【解析】
把已知等式變形,再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算,考查復數的基本概念,是基礎題.5.D【解析】
首先求出集合,再根據補集的定義計算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點睛】本題考查補集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎題.6.C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數學問題考查圓錐體積計算的實際應用,考查學生的運算求解能力、創新能力.7.C【解析】
由題可推斷出和都是直角三角形,設球心為,要使三棱錐的體積最大,則需滿足,結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形,由球心到各點距離相等可得,,故是直角三角形,設,則有,又,所以,當且僅當時,取最大值4,要使三棱錐體積最大,則需使高,此時,故選:C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑,半徑與球心位置求解錐體體積最值問題,屬于基礎題8.B【解析】
根據等比中項性質代入可得解,由等比數列項的性質確定值即可.【詳解】由等比數列中等比中項性質可知,,所以,而由等比數列性質可知奇數項符號相同,所以,故選:B.【點睛】本題考查了等比數列中等比中項的簡單應用,注意項的符號特征,屬于基礎題.9.C【解析】
利用導數法和兩直線平行性質,將線段的最小值轉化成切點到直線距離.【詳解】已知與分別為函數與函數的圖象上一點,可知拋物線存在某條切線與直線平行,則,設拋物線的切點為,則由可得,,所以切點為,則切點到直線的距離為線段的最小值,則.故選:C.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用,以及點到直線的距離公式的應用,考查轉化思想和計算能力.10.D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關系,考查了學生概念理解,數學運算能力,屬于基礎題.11.B【解析】
由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數為,設出切點通過導數求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點為,F關于原點的對稱點;,,所以,,設,則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數解析式,直線的斜率公式及導數的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.12.B【解析】
根據函數的奇偶性和單調性得到可行域,畫出可行域和目標函數,根據目標函數的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數是上的減函數,則,且,畫出可行域和目標函數,,即,表示直線與軸截距的相反數,根據平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數的單調性和奇偶性,線性規劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.10【解析】
根據垂直得到,代入計算得到答案.【詳解】,則,解得,故,故.故答案為:.【點睛】本題考查了根據向量垂直求參數,向量模,意在考查學生的計算能力.14.【解析】
項和轉化可得,討論是否滿足,分段表示即得解【詳解】當時,由已知,可得,∵,①故,②由①-②得,∴.顯然當時不滿足上式,∴故答案為:【點睛】本題考查了利用求,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算,分類討論的能力,屬于中檔題.15.1【解析】
設,令,的值即為所有項的系數之和。【詳解】設,令,所有項的系數的和為。【點睛】本題主要考查二項式展開式所有項的系數的和的求法─賦值法。一般地,對于,展開式各項系數之和為,注意與“二項式系數之和”區分。16.【解析】
由于,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)0【解析】
(1)根據題意,設直線,與聯立,得,再由弦長公式,求解.(2)設,根據直線的斜率為1,則,得到,再由,所以線段中點的縱坐標為,然后直線的方程與直線的方程聯立解得交點H的縱坐標,說明直線軸,直線的斜率為0.【詳解】(1)依題意,,則直線,聯立得;設,則,解得,故拋物線的方程為.(2),因為直線的斜率為1,則,所以,因為,所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為,即①直線的方程為,即②聯立①②解得即點的縱坐標為,即直線軸,故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在,結論也顯然成立,綜上所述,直線的斜率為0.【點睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系,還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想,屬于中檔題.18.(1),,;(2).【解析】
(1)利用公式即可求得曲線的極坐標方程;聯立直線和曲線的極坐標方程,即可求得交點坐標;(2)設出點坐標的參數形式,將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.【詳解】(1)曲線的極坐標方程:聯立,得,又因為都滿足兩方程,故兩曲線的交點為,.(2)易知,直線.設點,則點到直線的距離(其中).面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化,涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題,屬綜合中檔題.19.(1)(2)當時,年利潤最大.【解析】
(1)方法一:令,先求得關于的回歸直線方程,由此求得關于的回歸直線方程.方法二:根據回歸直線方程計算公式,計算出回歸直線方程.方法一的好處在計算的數值較小.(2)求得w的表達式,根據二次函數的性質作出預測.【詳解】(1)方法一:取,則得與的數據關系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關于的線性回歸方程是即,故關于的線性回歸方程是.方法二:因為,,,,,所以,故關于的線性回歸方程是,(2)年利潤,根據二次函數的性質可知:當時,年利潤最大.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進行預測,考查運算求解能力,屬于中檔題.20.證明見解析;證明見解析.【解析】
利用線面平行的判定定理求證即可;為中點,為中點,可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點,為中點,,又平面,平面,平面;證明:為中點,為中點,,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應用,屬于基礎題.21.(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需滿足即可,從而得到點E為中點;(2)求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數量積,求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值.【詳解】(1)法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需即可,所以由,即存在點E為PC中點.法二:建立如圖所示的空間直角坐標系D-XYZ,由題意知PD=CD=
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