第36頁（共36頁）2025年中考數學三輪復習之圖形的對稱一．選擇題（共10小題）1．（2025?方山縣一模）甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈．下列甲骨文中，可大致看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2025?永壽縣校級一模）折紙是一種將紙張折成各種形狀的藝術活動．下列折紙作品中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2025?石家莊一模）如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，P是BC邊上的動點（BP＞2），將△ABP沿AP翻折得△AB′P，射線PB'與射線AD交于點E．下列說法正確的個數是（）（1）當AB'⊥AB時，B'A＝B'E；（2）當點B′落在AD上時，四邊形ABPB'是菱形；（3）在點P運動的過程中，線段AE的最小值為4；（4）連接BB'，則四邊形ABPB′的面積始終等于12AP?BB'A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2025?蘇州模擬）在平面直角坐標系中，點A（3，﹣2），B（m，n）關于x軸對稱，將點B向左平移3個單位長度得到點C，則點C的坐標為（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）5．（2025?南崗區模擬）如圖，有一矩形紙片ABCD，AB＝6cm，AD＝4cm，將矩形紙片折疊，使邊AD落在邊AB上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右折疊，AE與BC交于點F，△CEF的面積為（）cm2．A．1 B．2 C．4 D．66．（2025?武漢模擬）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．（2025?官渡區校級模擬）中國文字博大精深，而且有許多是軸對稱圖形，在這四個美術字中，是軸對稱圖形的是（）A．盛 B．世 C．中 D．國8．（2025?碑林區校級二模）二十四節氣是古代勞動人民長期經驗的積累和智慧的結晶，它精確地反映了自然節律變化．請你用數學的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．（2025?鐵西區模擬）如圖，AD與BC交于點O，△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D、下列結論不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD10．（2025?常州模擬）點A（1，2025）關于y軸的對稱點是（）A．（﹣1，2025） B．（1，﹣2025） C．（﹣1，﹣2025） D．（2025，1）二．填空題（共5小題）11．（2025?武漢模擬）如圖，點E是邊長為2的正方形ABCD內一點，連接BE，AE，點P在線段DC上運動，連接EP，則AE+EP+BE的最小值是．12．（2025?方山縣一模）如圖，將AB沿矩形ABCD中過點A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點P（點P不與點B重合），點B的對稱點B'落在矩形的對角線BD上，AP與BD交于點O，連接PB'．若AB＝3，BC＝4，則BB'的長為．13．（2025?金安區校級一模）如圖①，在一張長方形紙ABCD中，E點在AD上，并且∠AEB＝60°，分別以BE，CE為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中∠A′ED′＝16°，則∠CED′的度數為°．14．（2025?茄子河區一模）如圖，把圖中的一個白色方格涂黑，和原來的兩個黑色方格恰好構成一個軸對稱圖形的概率是．15．（2025?秦都區校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，CH⊥BC交對角線BD于點H，點E、F分別在線段BH和射線HD上，且BE＝HF，連接CE、CF，則CE+CF的最小值為．三．解答題（共5小題）16．（2025?金安區校級一模）在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在y軸上找出一個點P，使得△ABP的周長最小，在圖中標出點P的位置，并直接寫出點P的坐標．17．（2025?南昌模擬）追本溯源題（1）來自于課本中的習題，請你完成填空，并完成題（2）：（1）如圖1，把一個長方形紙片ABCD按如圖方式折一下，得到四邊形ABEF是；（填“特殊的四邊形”的名稱）拓展應用（2）如圖2，將圖（1）中的長方形紙片過點D的直線折疊，使得點C恰好落在EF上的H處，DG為折痕．若AE∥HG，18．（2025?高新區校級模擬）矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5，點M在邊AD上，且DM＝1，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點M重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出折痕EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求線段EF的長．19．（2025?景德鎮模擬）追本溯源題（1）是北師大版初中數學九年級上冊第21頁例題，請你完成解答，提煉方法后，完成題（2）．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F為BC延長線上一點，且CE＝CF．請問BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．方法應用：（2）如圖2，將邊長為24的正方形ABCD沿著EF折疊，點A的對應點G恰在CD邊上，已知CG＝17，求折痕EF的長．20．（2025?蘇州模擬）如圖，在正方形ABCD中，F為BC為邊上的定點，E、G分別是AB、CD邊上的動點，AF和EG交于點H且AF⊥EG．（1）求證：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的長；②連結AG、EF，求AG+EF的最小值．

2025年中考數學三輪復習之圖形的對稱參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADCDBACBAA一．選擇題（共10小題）1．（2025?方山縣一模）甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈．下列甲骨文中，可大致看作軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】A【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項B、C、D的甲骨文均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形，不符合題意；選項A的甲骨文能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形，符合題意．故選：A．【點評】本題考查軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．2．（2025?永壽縣校級一模）折紙是一種將紙張折成各種形狀的藝術活動．下列折紙作品中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形；軸對稱的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】D【分析】如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．根據軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【解答】解：A、B、C中的圖形是軸對稱圖形，故A、B、C不符合題意；D中的圖形不是軸對稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．3．（2025?石家莊一模）如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，P是BC邊上的動點（BP＞2），將△ABP沿AP翻折得△AB′P，射線PB'與射線AD交于點E．下列說法正確的個數是（）（1）當AB'⊥AB時，B'A＝B'E；（2）當點B′落在AD上時，四邊形ABPB'是菱形；（3）在點P運動的過程中，線段AE的最小值為4；（4）連接BB'，則四邊形ABPB′的面積始終等于12AP?BB'A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質．【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】C【分析】（1）畫出圖形，求出∠B'AD＝∠AEB'＝30°，根據等角對等邊即可判斷其正確；（2）畫出圖形，證明出△ABP是等邊三角形，從而得到AB＝BP＝B'P＝AB'，根據四條邊相等的四邊形是菱形即可判斷其正確；（3）畫出反例的圖形，即可判斷其錯誤；（4）畫出圖形，連接BB'交AP于點O，根據S四邊形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP?OB+12AP?OB′=1【解答】解：（1）如圖所示，當AB′⊥AB時，∵AB'⊥AB，∴∠BAB'＝90°，∵將△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝120°﹣90°＝30°，∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝60°﹣30°＝30°，∴∠B'AD＝∠AEB'，∴B'A＝B'E，故（1）正確；（2）如圖所示，當B'落在AD上時，點E和B'重合，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵將△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，∴△ABP是等邊三角形，∴AB＝BP＝B'P＝AB'，∴四邊形ABPB′是菱形，故（2）正確；（3）如圖所示，當點P靠近點C時，B'在四邊形外部，此時∠AEB'＞90°，∴AE＜AB′＝4，故（3）錯誤；（4）如圖所示，連接BB'交AP于點O，∵將△ABP沿AP翻折得△AB′P，∴AP垂直平分BB'，∴S四邊形ABPB'＝S△ABP+S△AB'P=12AP?OB+12AP?OB′=1故（4）正確．綜上，正確的有3個，故選：C．【點評】本題考查翻折變換，解答中涉及軸對稱的性質，平行四邊形的性質，菱形的判定，舉反例，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．4．（2025?蘇州模擬）在平面直角坐標系中，點A（3，﹣2），B（m，n）關于x軸對稱，將點B向左平移3個單位長度得到點C，則點C的坐標為（）A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移．【專題】平面直角坐標系；符號意識．【答案】D【分析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點，可知點B與點A的橫坐標相同，縱坐標互為相反數，據此可得點B的坐標，再根據點的平移規律可得點C的坐標．【解答】解：∵點A（3，﹣2），B（m，n）關于x軸對稱，∴點B的坐標為（3，2），∴將點B向左平移3個單位長度得到點C，則點C的坐標為（0，2）．故選：D．【點評】本題考查關于x軸、y軸對稱的點的坐標，坐標與圖形變化﹣平移，熟練掌握對應點的坐標是求解本題的關鍵．5．（2025?南崗區模擬）如圖，有一矩形紙片ABCD，AB＝6cm，AD＝4cm，將矩形紙片折疊，使邊AD落在邊AB上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右折疊，AE與BC交于點F，△CEF的面積為（）cm2．A．1 B．2 C．4 D．6【考點】翻折變換（折疊問題）；三角形的面積；矩形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據矩形性質得∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝4cm，AB∥CD，再根據折疊的性質得∠DAE＝∠BAF＝45°，∠ADE＝90°，AD＝4，進而得BD＝2cm，證明四邊形DBCE是矩形得CE＝BD＝2cm，再根據AB∥CD得∠CEF＝∠BAF＝45°，則△CEF是等腰直角三角形，即CE＝CF＝2cm，據此即可得出△CEF的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，且AB＝6cm，AD＝4cm，∴∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝4cm，AB∥CD，由折疊的性質得：∠DAE＝∠BAF＝45°，∠ADE＝90°，AD＝4，∴CE＝BD＝2cm，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2（cm），∵∠ADE＝∠ABC＝∠C＝90°，∴四邊形DBCE是矩形，∵AB∥CD，∴AB∥CE，∴∠CEF＝∠BAF＝45°，又∵∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，即CE＝CF＝2cm，∴S△CEF=12CE?CF=12×2×2＝故選：B．【點評】此題主要考查了圖形的翻折變換及其性質，矩形的性質，三角形的面積，熟練掌握圖形的翻折變換及其性質，矩形的性質，三角形的面積公式是解決問題的關鍵．6．（2025?武漢模擬）現實世界中，對稱現象無處不在，中國的方塊字有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】A【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：B，C，D選項中的方塊字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項中的方塊字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．7．（2025?官渡區校級模擬）中國文字博大精深，而且有許多是軸對稱圖形，在這四個美術字中，是軸對稱圖形的是（）A．盛 B．世 C．中 D．國【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】C【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項A、B、D的美術字不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形．選項C的美術字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．8．（2025?碑林區校級二模）二十四節氣是古代勞動人民長期經驗的積累和智慧的結晶，它精確地反映了自然節律變化．請你用數學的眼光觀察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“白露”的作品，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀．【答案】B【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的方塊字都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的方塊字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．9．（2025?鐵西區模擬）如圖，AD與BC交于點O，△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，點A，B的對稱點分別是點C，D、下列結論不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD【考點】軸對稱的性質；全等三角形的判定．【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】A【分析】根據△ABO和△CDO關于直線PQ對稱得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐項判斷即可．【解答】解：如圖，連接AC、BD，∵△ABO和△CDO關于直線PQ對稱，∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，∴AC∥BD，故B、C、D選項正確，AD不一定垂直BC，故A選項不一定正確，故選：A．【點評】本題考查軸對稱的性質，關于某條直線對稱的兩個三角形全等，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．10．（2025?常州模擬）點A（1，2025）關于y軸的對稱點是（）A．（﹣1，2025） B．（1，﹣2025） C．（﹣1，﹣2025） D．（2025，1）【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．【專題】平移、旋轉與對稱；應用意識．【答案】A【分析】關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等，由此可得答案．【解答】解：點A（1，2025）關于y軸的對稱點是（﹣1，2025）．故選：A．【點評】本題考查關于x軸、y軸對稱的點的坐標，熟練掌握關于y軸對稱的點的坐標特征是解答本題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?武漢模擬）如圖，點E是邊長為2的正方形ABCD內一點，連接BE，AE，點P在線段DC上運動，連接EP，則AE+EP+BE的最小值是3+2【考點】軸對稱﹣最短路線問題；正方形的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】3+2【分析】如圖所示，將△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△A′BE′，連接EE′，過點A′作A′G⊥DC，交AB，CD于點F，G，則∠EBE′＝∠ABA′＝60°，FG＝CB＝2，BF＝CG，可證△BEE′是等邊三角形，得到AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP，當點A′，E′，E，P四點共線且A′P⊥CD時，取得最小值A′G，即可求解．【解答】解：如圖所示，將△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△A′BE′，連接EE′，過點A′作A′G⊥DC，交AB，CD于點F，G，則∠EBE′＝∠ABA′＝60°，FG＝CB＝2，∴△ABE≌△A′BE′，∴AE＝AE′，BE＝BE′，∴△BEE′是等邊三角形，∴BE＝EE′，∴AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP，當點A′，E′，E，P四點共線且A′P⊥CD時，取得最小值A′G，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為2，△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△A′BE′，∴A′B＝AB＝2，∠ABA′＝60°，∠BA′F＝30°，∴BF=∴A'∴A'∴AE+EP+BE的最小值是3+2故答案為：3+2【點評】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理的運用，將△ABE繞點B順時針旋轉60°得到△A′BE′，得到AE+BE+PE＝A′E′+E′E+EP是解題的關鍵．12．（2025?方山縣一模）如圖，將AB沿矩形ABCD中過點A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點P（點P不與點B重合），點B的對稱點B'落在矩形的對角線BD上，AP與BD交于點O，連接PB'．若AB＝3，BC＝4，則BB'的長為185【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質．【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力．【答案】185【分析】根據矩形的性質得到AD＝BC＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，根據勾股定理得到BD=AB2+AD2=5【解答】解：由題意可得：BD=由折疊的性質可知BB′⊥AP，BB′＝2OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BAP+∠ABD＝∠BDA+∠ABD．∴∠BAP＝∠ADB，∵sin∠∴OBAB=AB∴OB=∴BB'故答案為：185【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．13．（2025?金安區校級一模）如圖①，在一張長方形紙ABCD中，E點在AD上，并且∠AEB＝60°，分別以BE，CE為折痕進行折疊并壓平，如圖②，若圖②中∠A′ED′＝16°，則∠CED′的度數為38°．【考點】翻折變換（折疊問題）；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】38．【分析】由折疊可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，再利用角的和差得到∠DED′＝180°﹣120°+16°＝76°，進而可得答案．【解答】解：由折疊可得BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′，∵∠AEB＝60°，∴∠AEA′＝2∠AEB＝120°，∵∠A′ED′＝16°，∴∠DED′＝180°﹣120°+16°＝76°，∴∠CED′=12×76故答案為：38．【點評】本題考查角的計算，根據折疊的性質得到BE平分∠AEA′，CE平分∠DED′是解題關鍵．14．（2025?茄子河區一模）如圖，把圖中的一個白色方格涂黑，和原來的兩個黑色方格恰好構成一個軸對稱圖形的概率是57【考點】利用軸對稱設計圖案；概率公式．【專題】概率及其應用；平移、旋轉與對稱．【答案】57【分析】由在4×4正方形網格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有14種等可能的結果，使圖中黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的有5種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：由題意可得，共16﹣2＝14種等可能情況，其中構成軸對稱圖形的有如下10種情況：所以概率P=10故答案為：57【點評】本題主要考查了利用軸對稱設計圖案，概率公式的應用，概率＝所求情況數與總情況數之比，同時也考查了軸對稱的定義．15．（2025?秦都區校級模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，CH⊥BC交對角線BD于點H，點E、F分別在線段BH和射線HD上，且BE＝HF，連接CE、CF，則CE+CF的最小值為27．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】27【分析】由菱形的性質易得點A與點C關于BD所在直線對稱，連接AE、AC，則CE與AE相等，將CE+CF的最小值轉化為AE+CF的最小值，以AE、EF為一組鄰邊作平行四邊形AEFG，則AE+CF＝FG+CF，因此當點F在線段CG上的點F′時，CE+CF取得最小值，此時點E在點E′的位置．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∠CBH＝30°，AC⊥BF，點A與點C關于BD所在直線對稱，∴AE＝CE，∴CE+CF＝AE+CF，∴AC=∵CH⊥BC，∴CH=即(23∴BH＝4，以AE、EF為一組鄰邊作平行四邊形AEFG，∴AE＝FG，∴FG+CF＝AE+CF，∴當點F在線段CG上的點F′時，CE+CF取得最小值，∵HF＝BE，∴BH＝EF＝AG＝4，∵AG∥EF，AC⊥BF，∴∠CAG＝90°，∴CG=∴CE+CF的最小值為27故答案為：27．【點評】本題考查菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，解題的關鍵是以AE、EF為一組鄰邊作平行四邊形AEFG，找到最小距離和點．三．解答題（共5小題）16．（2025?金安區校級一模）在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，5），B（﹣3，1），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在y軸上找出一個點P，使得△ABP的周長最小，在圖中標出點P的位置，并直接寫出點P的坐標．【考點】作圖﹣軸對稱變換；軸對稱﹣最短路線問題．【專題】作圖題；平移、旋轉與對稱；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（0，4）．【分析】（1）根據軸對稱的性質畫出△A1B1C1；（2）根據軸對稱的性質，連接A1B，交y軸于點P，點P即為所求，求出直線A1B的解析式，然后再求出點P的坐標即可．【解答】解：（1）如圖，所作△A1B1C1即為所求．（2）如上圖，點P即為所作．連接AP，根據軸對稱可知，AP＝A1P，∴AP+BP+AB＝A1P+BP+AB，∴此時A1P+BP+AB最小，即AP+BP+AB最小，設直線A1B的解析式為y＝kx+b，由條件可得：k+解得：k=1∴直線A1B的解析式為y＝x+4，∴點P的坐標為（0，4）．【點評】本題考查了畫軸對稱圖形，根據軸對稱的性質求線段和的最值問題，坐標與圖象，求一次函數解析式，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．17．（2025?南昌模擬）追本溯源題（1）來自于課本中的習題，請你完成填空，并完成題（2）：（1）如圖1，把一個長方形紙片ABCD按如圖方式折一下，得到四邊形ABEF是正方形；（填“特殊的四邊形”的名稱）拓展應用（2）如圖2，將圖（1）中的長方形紙片過點D的直線折疊，使得點C恰好落在EF上的H處，DG為折痕．若AE∥HG，【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質．【專題】展開與折疊．【答案】（1）正方形；（2）8-【分析】（1）由長方形的性質得∠B＝∠BAD＝90°，由折疊的性質得∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，進而可證明四邊形ABEF是正方形；（2）先證明△HDF和△HEG為等腰三角形，在Rt△HDF中，求出DF＝HF＝4，在RtRt△HEG中，求出HG=2HE【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是長方形，∴∠B＝∠BAD＝90°．由折疊的性質得，∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF，∴四邊形ABEF是矩形，∴四邊形ABEF是正方形．故答案為：正方形；（2）∵四邊形ABEF為正方形，∴∠AEB＝45°．∵AB∥HG，∴∠HGE＝∠AEB＝45°，∴∠EHG＝45°，又∵△CDG沿著直線DG翻折到△HDG，∴CD＝HD，∠C＝∠DHG＝90°，∴∠FHD＝45°，∴△HDF和△HEG為等腰三角形，又∵四邊形ABCD是長方形，∴DC=∴HD=在Rt△HDF中，DF=∴HE=4在Rt△HEG中，HG=∴CG=8【點評】本題考查了折疊的性質，正方形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的判定，掌握折疊的性質是解答本題的關鍵．18．（2025?高新區校級模擬）矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝5，點M在邊AD上，且DM＝1，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點M重合，折痕與AD，BC分別交于點E，F．（1）請用無刻度的直尺和圓規作出折痕EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求線段EF的長．【考點】作圖﹣軸對稱變換；勾股定理；矩形的性質．【專題】推理能力．【答案】（1）畫圖見解析；（2）154【分析】（1）作線段BM的垂直平分線即可；（2）連接BE，設BM與EF交于點O，先求出BM的長，利用tan∠EMO=EOOM=ABAM求出EO，證明△【解答】解：（1）連接BM，作線段BM的垂直平分線，分別交AD，BC于點E，F，連接EF，EF即為所求，如圖：（2）如圖，連接BE，設BM與EF交于點O，∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝AD＝5，DM＝1，∠A＝90°，∴AM＝4，∴BM=由作圖知OB＝OM，EF⊥BM，∴OM=∴tan∠即EO5解得：EO=∵四邊形ABCD矩形中，AD∥BC，∴∠EMO＝∠FBO，∠MEO＝∠BFO，∵OM＝OB，∴△OEM≌△OFB，∴OF=∴EF=2【點評】本題考查了線段垂直平分線的畫法和矩形中的翻折問題，熟練掌握畫法和翻折中的計算方法是解題的關鍵．19．（2025?景德鎮模擬）追本溯源題（1）是北師大版初中數學九年級上冊第21頁例題，請你完成解答，提煉方法后，完成題（2）．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，F為BC延長線上一點，且CE＝CF．請問BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由．方法應用：（2）如圖2，將邊長為24的正方形ABCD沿著EF折疊，點A的對應點G恰在CD邊上，已知CG＝17，求折痕EF的長．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．【專題】展開與折疊；推理能力．【答案】（1）BE＝DF，理由見解析；（2）25．【分析】（1）根據正方形的性質，利用SAS證明△CEB≌△CFD即可解題；（2）連接AG，過點F作FH⊥AD于點H，則ABFH是矩形，然后根據勾股定理求出AG＝25，然后根據AAS證明△AGD≌△FEH即可解題．【解答】解：（1）BE＝DF，理由為：∵ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝∠DCF，又∵CE＝CF，∴△CEB≌△CFD（SAS），∴BE＝DF；（2）連接AG，過點F作FH⊥AD，點H為垂足，∵正方形ABCD的邊長為24，∴AB＝AD＝DC＝BC＝24，ABFH是矩形，∴DG＝DC﹣CG＝24﹣17＝7，AB＝FH＝24，∠FHE＝∠D＝90°，∴AG=∵將邊長為24的正方形ABCD沿著EF折疊，點A的對應點G恰在CD邊上，∴EF⊥AG，∴∠AEF+∠DAG＝∠AEF+∠EFH＝90°，∴∠DAG＝∠EFH，∴△AGD≌△FEH（ASA），∴EF＝AG＝25．【點評】本題考查的是正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，翻折變換，掌握正方形的性質是解題的關鍵．20．（2025?蘇州模擬）如圖，在正方形ABCD中，F為BC為邊上的定點，E、G分別是AB、CD邊上的動點，AF和EG交于點H且AF⊥EG．（1）求證：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的長；②連結AG、EF，求AG+EF的最小值．【考點】軸對稱﹣最短路線問題；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉與對稱；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）①37；②45．【分析】（1）過點G作GP⊥AB交于P，證明△ABF≌△GPE（AAS）即可；（2）①在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，求出AG=6②過點F作FQ∥EG，過點G作GQ∥EF，當A、G、Q三點共線時，AG+EF的值最小，證明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即為所求．【解答】（1）證明：如圖1，過點G作GP⊥AB交于P，∵AH⊥EG，∴∠AEH+∠DAH＝90°，∵∠PEG+∠PGC＝90°，∴∠EAH＝∠PGE，∵PG＝AB，∴△ABF≌△GPE（AAS），∴AF＝EG；（2）①∵BF＝2，∴PE＝2，∵AB＝6，BE＝3，∴AE＝3，∴AP＝1，在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6，∴AG=6②過點F作FQ∥EG，過點G作GQ∥EF，∴四邊形EFQG為平行四邊形，∴GQ＝EF，∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，∴當A、G、Q三點共線時，AG+EF的值最小，∵EG＝AF，EG＝FQ，∴AF＝FQ，∵AF⊥EG，∴AF⊥FQ，∴△AFQ是等腰直角三角形，∵AF=62+∴AQ＝45，∴AG+EF的最小值為45．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，正方形的性質，平行四邊形的性質，直角三角形的勾股定理是解題的關鍵．

考點卡片1．角的計算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加減運算．在進行度分秒的加減時，要將度與度，分與分，秒與秒相加減，分秒相加，逢60要進位，相減時，要借1化60．（3）度、分、秒的乘除運算．①乘法：度、分、秒分別相乘，結果逢60要進位．②除法：度、分、秒分別去除，把每一次的余數化作下一級單位進一步去除．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．4．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．5．等邊三角形的判定與性質（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當的判定方法，一般地，若從一般三角形出發可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發，則想法獲取一個60°的角判定．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．7．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．8．菱形的性質（1）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積=12ab．（a、9．菱形的判定與性質（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．10．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．11．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，