第33頁（共33頁）2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之三角形一．選擇題（共10小題）1．（2025?灞橋區(qū)校級四模）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF：BF＝3：2，連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若CM＝16，則線段BC的長為（）A．13 B．14 C．12 D．102．（2025?永壽縣校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB交BC于點E．若CE＝10，BE＝6，則△CDE的周長為（）A．18 B．20 C．22 D．243．（2025?金安區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E是邊AB上的點，連接DE，CE，∠ECD＝45°，那么下列結(jié)論中：①∠AED＝∠ECB；②BC＝CE；③BE=2AD；④∠ADEA．1 B．2 C．3 D．44．（2025?鄭州模擬）如圖，線段DG，EM，F(xiàn)N兩兩相交于B，C，A三點?則∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度數(shù)是（）A．180° B．360° C．540° D．720°5．（2025?越秀區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為（）A．423 B．22 C．823 6．（2025?四川模擬）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝26°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．42° D．52°7．（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，AB∥CD，M、N為直線AB上的兩點，連接CN，ME⊥CN于點E，點F在CN上，連接DF，CF＝DF，若∠EMN＝70°，則∠D的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．45°8．（2025?方山縣一模）如圖，點P是△ABC的重心，AB＝6，連接AP，BP并延長，分別交BC，AC于點D，E，連接DE，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2025?蠡縣一模）珍珍用三根木棍首尾相接組成了一個周長為整數(shù)的三角形，其中兩根木棍的長如圖所示，則該三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形10．（2025?陜西模擬）如圖，AD，AE分別是△ABC的高線和中線．若△ABC的面積為12，AD＝4，則BE的長為（）A．1.5 B．3 C．4 D．6二．填空題（共5小題）11．（2025?石家莊模擬）如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為1，點B，C，D是4×4的正方形網(wǎng)格上的格點，以點A為圓心，AD長為半徑畫圓交數(shù)軸于點P，Q，則點Q所表示的數(shù)為．12．（2025?鄭州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分別以各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為．13．（2025?烏魯木齊一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．14．（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，AD、CE為等邊△ABC的兩條高，且AD與CE相交于點P，則圖中的直角三角形共有個．15．（2025?津南區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AB＜BC，E是BC邊上的一動點，連接DE、AE，過點D作DF⊥AE交BC于點G，垂足為點F，連接BF．（1）當(dāng)點G恰為BC中點時，則BF＝．（2）當(dāng)DE平分∠FEC時，若DE=10，則AF：FE＝三．解答題（共5小題）16．（2025?秦淮區(qū)校級模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AC=12AB17．（2025?哈爾濱模擬）點D，E分別在AB，AC上，連接BE，CD，AD＝AE，BD＝CE．（1）如圖1，求證：∠B＝∠C；（2）如圖2，連接BC，若點D為AB的中點，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出面積為△ABC面積一半的所有三角形．18．（2025?寧波模擬）如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點E，點D在BC上，連結(jié)AD交CE于點F，BC＝13，CE＝12．（1）求BE的長；（2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的長．19．（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AC＝AE，E是△ABC外一點，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．（1）求證：BC＝DE；（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度數(shù)．20．（2025?望城區(qū)一模）已知：如圖，AD是△ABC的中線，點M在AD上，點N在AD的延長線上，且DM＝DN．（1）求證：△BDN≌△CDM；（2）若∠AMC＝80°，則∠N＝°．

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CDCBCDABBB一．選擇題（共10小題）1．（2025?灞橋區(qū)校級四模）如圖，DE是△ABC的中位線，點F在DB上，DF：BF＝3：2，連接EF并延長，與CB的延長線相交于點M．若CM＝16，則線段BC的長為（）A．13 B．14 C．12 D．10【考點】三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】三角形；圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE=12BC，進(jìn)而證得△DEF∽△BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12∴△DEF∽△BMF，∴DEBM∴BM=23DE=∵CM＝BC+BM＝16，∴BC＝12，故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確記憶修改知識點是解題關(guān)鍵．2．（2025?永壽縣校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB交BC于點E．若CE＝10，BE＝6，則△CDE的周長為（）A．18 B．20 C．22 D．24【考點】勾股定理；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)證得△CDE是直角三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義證得BE＝DE，利用勾股定理求出CD的長，問題即可得解．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠ABD＝∠EDB，∵∠A＝90°，∴∠CDE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∵BE＝6，∴DE＝6，在Rt△CDE中，CE＝10，由勾股定理得CD=∴△CDE的周長是CD+DE+CE＝8+6+10＝24，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2025?金安區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E是邊AB上的點，連接DE，CE，∠ECD＝45°，那么下列結(jié)論中：①∠AED＝∠ECB；②BC＝CE；③BE=2AD；④∠ADEA．1 B．2 C．3 D．4【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＞AB，∵點E是邊AB上的點，∴BC＞CE，所以結(jié)論②錯誤；∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BC=∵AD∥BC，∠ECD＝45°，∴∠DAC＝∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ECD﹣∠ECA＝∠ACB﹣∠ECA，∴∠ACD＝∠BCE，∴△DAC∽△EBC，∴ACBC∵∠ACB＝∠ECD＝45°，∴△ABC∽△DEC，∴∠EDC＝∠BAC＝90°，∴A，D在以EC為直徑的圓上，∴∠AED＝∠ACD，∠ADE＝∠ACE，所以結(jié)論④正確；∵∠ACD＝∠ECB，∴∠AED＝∠ECB，所以結(jié)論①正確；∵△DAC∽△EBC，∴BEAD∴BE=2AD綜上所述，正確的有3個，所以只有選項C正確，符合題意，故選：C．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△DEC．4．（2025?鄭州模擬）如圖，線段DG，EM，F(xiàn)N兩兩相交于B，C，A三點?則∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度數(shù)是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【考點】三角形內(nèi)角和定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可．【解答】解：在△ABC和△CGF中，∵∠ACB＝∠GCF，∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；在△ABC和△ANM中，∵∠BAC＝∠MAN，∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；在△ABC和△BDE中，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）＝2×180°＝360°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形內(nèi)角和是180°．5．（2025?越秀區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線交AD于點E，則AE的長為（）A．423 B．22 C．823 【考點】含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)垂直先求出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分別用三角函數(shù)求出AD、BD、DE的長，進(jìn)而求出AE的長．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，∴∠C＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC＝ACsin45°=22AC＝4在Rt△ADB中，AD＝42，∠ABD＝60°，∴BD＝ADtan30°=33AD∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，在Rt△EBD中，BD=463，∠EBD∴DE＝BDtan30°=33BD∴AE＝AD﹣DE=8故選：C．【點評】本題考查含30度角的直角三角形，掌握此性質(zhì)定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．6．（2025?四川模擬）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠A＝26°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．26° B．38° C．42° D．52°【考點】直角三角形斜邊上的中線；三角形的外角性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出求出即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故選：D．【點評】本題考查了對三角形的外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的理解和運用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．7．（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，AB∥CD，M、N為直線AB上的兩點，連接CN，ME⊥CN于點E，點F在CN上，連接DF，CF＝DF，若∠EMN＝70°，則∠D的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．45°【考點】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，再依據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠D與∠C的關(guān)系，進(jìn)而求出∠D．【解答】解：∵M(jìn)E⊥CN，∴∠MEN＝90°．∴∠MNE＝180°﹣∠EMN﹣∠MEN＝180°﹣70°﹣90°＝20°．∵AB∥CD（已知），∴∠C＝∠MNE＝20°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵CF＝DF，∴∠D＝∠C＝20°（等邊對等角），所以∠D的度數(shù)為20°．故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角之間的關(guān)系來求解∠D的度數(shù)．8．（2025?方山縣一模）如圖，點P是△ABC的重心，AB＝6，連接AP，BP并延長，分別交BC，AC于點D，E，連接DE，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】三角形的重心．【專題】三角形；運算能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形重心的定義，得出點D，E分別為BC和AC的中點，再結(jié)合中位線的定義及中位線定理即可解決問題．【解答】解：由題知，因為點P是△ABC的重心，則AD，BE是△ABC的兩條中線，所以E點為AC的中點，D為BC的中點，所以DE是△ABC的中位線，又因為AB＝6，所以DE=故選：B．【點評】本題主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的定義及中位線定理是解題的關(guān)鍵．9．（2025?蠡縣一模）珍珍用三根木棍首尾相接組成了一個周長為整數(shù)的三角形，其中兩根木棍的長如圖所示，則該三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【考點】勾股定理的逆定理；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三條邊的范圍，再根據(jù)周長為整數(shù)得到答案．【解答】解：設(shè)第三條邊為xcm，∵兩條邊長分別為1cm，4cm，∴4﹣1＜x＜4+1，∴3＜x＜5，∵周長為整數(shù)，∴x＝4，故該三角形為等腰三角形，故選：B．【點評】本題主要考查構(gòu)成三角形的條件，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2025?陜西模擬）如圖，AD，AE分別是△ABC的高線和中線．若△ABC的面積為12，AD＝4，則BE的長為（）A．1.5 B．3 C．4 D．6【考點】三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高．【專題】三角形；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求得S△【解答】解：∵AE是△ABC的中線，∴BE＝CE，∵△ABC的面積為12，∴S△∵AD分別是△ABC的高線，AD＝4，∴12∴BE=故選：B．【點評】本題考查三角形的中線性質(zhì)，三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?石家莊模擬）如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為1，點B，C，D是4×4的正方形網(wǎng)格上的格點，以點A為圓心，AD長為半徑畫圓交數(shù)軸于點P，Q，則點Q所表示的數(shù)為1-10【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸．【專題】實數(shù)；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】1-10【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，即為AP與AQ的長，再根據(jù)兩點間的距離公式便可求出1和P以及1和Q之間的距離，進(jìn)而可求出點Q表示的數(shù)．【解答】解：由勾股定理可得，AD=1則AP＝AQ=10∵點A表示的數(shù)是1，Q點所表示的數(shù)為1-10故答案為：1-【點評】本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，掌握兩點間的距離公式為：兩點間的距離＝較大的數(shù)﹣較小的數(shù)，是解題的關(guān)鍵．12．（2025?鄭州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分別以各邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為6．【考點】勾股定理；圓的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】6．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB長，兩個小半圓面積和直角三角形的面積之和減去大半圓面積即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=∵兩個小半圓面積和直角三角形的面積之和減去大半圓面積，∴圖中陰影部分的面積為==1＝6，故答案為：6．【點評】此題考查了勾股定理、圓面積公式等知識，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．13．（2025?烏魯木齊一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝1．【考點】角平分線的性質(zhì)．【專題】三角形；運算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點D作DF⊥AC，垂足為F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面積進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：過點D作DF⊥AC，垂足為F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，∴S△ACD=12AC=12×＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2025?秦都區(qū)校級模擬）如圖，AD、CE為等邊△ABC的兩條高，且AD與CE相交于點P，則圖中的直角三角形共有6個．【考點】三角形．【專題】三角形；運算能力．【答案】6，【分析】根據(jù)AD、CE為等邊△ABC的兩條高得到∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，即可得到△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形即可得到答案．【解答】解：由題意可得：∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形，共有6個．故答案為：6．【點評】本題考查三角形的分類及高線，正確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．15．（2025?津南區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AB＜BC，E是BC邊上的一動點，連接DE、AE，過點D作DF⊥AE交BC于點G，垂足為點F，連接BF．（1）當(dāng)點G恰為BC中點時，則BF＝3．（2）當(dāng)DE平分∠FEC時，若DE=10，則AF：FE＝4：1【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運算能力．【答案】（1）3；（2）4：1．【分析】（1）延長DG與BA交于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB＝CD＝3，AB∥CD，從而可得∠CDG＝∠H，∠DCG＝∠HBG，再根據(jù)線段的中點定義可得BG＝CG，然后利用AAS證明△DCG≌△HBG，從而利用全等三角形的性質(zhì)可得BH＝DC＝3，進(jìn)而可得AB＝BH＝3，再根據(jù)垂直定義可得∠AFH＝90°，最后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DCE＝90°，AD∥BC，再利用角平分線的性質(zhì)可得DF＝DC＝3，∠DEF＝∠DEC，從而可得∠ADE＝∠DEF，進(jìn)而可得AD＝AE，然后在Rt△DFE中，利用勾股定理求出EF＝1，再設(shè)AF＝x，則AD＝AE＝x+1，從而在Rt△ADF中，利用勾股定理進(jìn)行計算可求出AF的長，即可解答．【解答】解：（1）延長DG與BA交于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠CDG＝∠H，∠DCG＝∠HBG，∵點G為BC中點，∴BG＝CG，∴△DCG≌△HBG（AAS），∴BH＝DC＝3，∴AB＝BH＝3，∵DG⊥AE，∴∠AFH＝90°，∴BF＝AB=12AH＝故答案為：3；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCE＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠FEC，DC⊥CE，DF⊥AE，∴DF＝DC＝3，∠DEF＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DEF，∴AD＝AE，在Rt△DFE中，DE=10∴EF=DE設(shè)AF＝x，∴AD＝AE＝AF+EF＝x+1，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AF＝4，∴AF：EF＝4：1，故答案為：4：1．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?秦淮區(qū)校級模擬）已知：如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AC=12【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】證明見解答過程．【分析】在AB上截取AD＝AC，連接CD，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，進(jìn)而求出BD＝AD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出∠BCD＝30°，則∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，據(jù)此即可得證．【解答】證明：如圖，在AB上截取AD＝AC，連接CD，∵∠A＝60°，∴△ACD是等邊是三角形，∴CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，∵AC=∴AD=12∴BD＝AD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∴△ABC為直角三角形．【點評】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2025?哈爾濱模擬）點D，E分別在AB，AC上，連接BE，CD，AD＝AE，BD＝CE．（1）如圖1，求證：∠B＝∠C；（2）如圖2，連接BC，若點D為AB的中點，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出面積為△ABC面積一半的所有三角形．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積．【專題】三角形；圖形的全等；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）△ACD，△BCD，△ABE，△CBE．【分析】（1）由AD＝AE，BD＝CE，推導(dǎo)出AB＝AC，而∠A＝∠A，即可根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACD，則∠B＝∠C；（2）由點D為AB的中點，得AD＝BD=12AB，則S△ACD＝S△BCD=12S△ABC，由全等三角形的性質(zhì)得S△ABE＝S△ACD=12S△ABC，所以S△CBE=12S△ABC，所以△ACD，△【解答】（1）證明：∵點D，E分別在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE，∴AD+BD＝AE+CE，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．（2）解：△ACD，△BCD，△ABE，△CBE，理由：∵點D為AB的中點，∴AD＝BD=12∴S△ACD＝S△BCD=12S△由（1）得△ABE≌△ACD，∴S△ABE＝S△ACD=12S△∴S△CBE＝S△ABC-12S△ABC=12∴△ACD，△BCD，△ABE，△CBE分別等于△ABC面積一半．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明△ABE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．18．（2025?寧波模擬）如圖，在△ABC中，CE⊥AB于點E，點D在BC上，連結(jié)AD交CE于點F，BC＝13，CE＝12．（1）求BE的長；（2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的長．【考點】勾股定理；等腰直角三角形；解一元一次方程．【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力．【答案】（1）5；（2）72【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得答案；（2）根據(jù)題意可得AE＝EF，再設(shè)AE＝x，可表示CF＝12﹣x，AB＝5+x，然后根據(jù)AB＝CF得出方程，求出解即可．【解答】解：（1）由題意可知：CE⊥AB，BC＝13，CE＝12，在Rt△EBC中，由勾股定理得：BE=（2）在Rt△AFE中，∠AFE＝45°，∴AE＝EF．設(shè)AE＝x，則CF＝12﹣x，AB＝5+x，∵AB＝CF，∴5+x＝12﹣x，解得x=∴AE=【點評】本題主要考查了勾股定理，解一元一次方程，等腰直角三角形，熟練運用勾股定理解決問題是解答本題的關(guān)鍵．19．（2025?天心區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AC＝AE，E是△ABC外一點，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．（1）求證：BC＝DE；（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度數(shù)．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）75°．【分析】（1）根據(jù)條件證△BAC≌△DAE即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和Rt△DAE∠BAC∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE；（2）解：∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∵∠BAD＝30°，∠BAD+∠B+∠BDA＝180°，∴∠B+∠BDA＝150°，∴∠B＝75°．【點評】本題綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì)．掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．20．（2025?望城區(qū)一模）已知：如圖，AD是△ABC的中線，點M在AD上，點N在AD的延長線上，且DM＝DN．（1）求證：△BDN≌△CDM；（2）若∠AMC＝80°，則∠N＝100°．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）100．【分析】（1）求出BD＝DC，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)鄰補角定義求出∠DMC＝100°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，在△BDN和△CDM中，DN=∴△BDN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°，∴∠DMC＝100°，∵△BDN≌△CDM，∴∠N＝∠DMC＝100°，故答案為：100．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．實數(shù)與數(shù)軸（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（2）在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．（3）利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小．2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號．（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)．3．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．4．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．5．三角形（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．（4）三角形具有穩(wěn)定性．6．三角形的角平分線、中線和高（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．7．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．8．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點．（2）重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等．③重心到三角形3個頂點距離的和最小．（等邊三角形）9．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．10．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．11．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．12．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．13．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE14．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．15．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．16．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．17．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．18．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕兀魪囊话闳切纬霭l(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．19．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意