浙江溫州市2025年3月高三開學考試數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在上的圖象大致為（）A． B． C． D．2．若單位向量，夾角為，，且，則實數（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－13．《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍.其中記載有求“囷蓋”的術：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.該術相當于給出了由圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為（）A． B． C． D．4．關于函數，有下述三個結論：①函數的一個周期為；②函數在上單調遞增；③函數的值域為.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③5．集合，，則=()A． B．C． D．6．已知數列中，，且當為奇數時，；當為偶數時，．則此數列的前項的和為（）A． B． C． D．7．已知函數（e為自然對數底數），若關于x的不等式有且只有一個正整數解，則實數m的最大值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若的內角滿足，則的值為（）A． B． C． D．10．設復數滿足，則（）A．1 B．-1 C． D．11．已知的部分圖象如圖所示，則的表達式是（）A． B．C． D．12．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則_____________.14．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．15．已知實數，滿足約束條件，則的最大值是__________.16．如圖是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，，則的面積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數a，b，c滿足.求證.18．（12分）已知中，，，是上一點．（1）若，求的長；（2）若，，求的值．19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設點，直線與曲線相交于，，求的值．20．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.21．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉與該曲線相交于點N，求的最大值.22．（10分）已知數列，，數列滿足，n．（1）若，，求數列的前2n項和；（2）若數列為等差數列，且對任意n，恒成立．①當數列為等差數列時，求證：數列，的公差相等；②數列能否為等比數列？若能，請寫出所有滿足條件的數列；若不能，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據函數的奇偶性及函數在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數為奇函數.所以函數圖象關于原點對稱，排除選項A，B；當時，，，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性的判定及奇偶函數圖像的對稱性，屬于中檔題.2．D【解析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數量積的運算，求得實數的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數量積的運算，屬于基礎題.3．C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達，即，解出即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為r，則，又，故，所以，.故選：C.【點睛】本題利用古代數學問題考查圓錐體積計算的實際應用，考查學生的運算求解能力、創新能力.4．C【解析】

①用周期函數的定義驗證.②當時，，，再利用單調性判斷.③根據平移變換，函數的值域等價于函數的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調遞增，故②正確；函數的值域等價于函數的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.5．C【解析】

先化簡集合A,B，結合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點睛】本道題考查了集合的運算，考查了一元二次不等式解法，關鍵化簡集合A,B，難度較小．6．A【解析】

根據分組求和法，利用等差數列的前項和公式求出前項的奇數項的和，利用等比數列的前項和公式求出前項的偶數項的和，進而可求解.【詳解】當為奇數時，，則數列奇數項是以為首項，以為公差的等差數列，當為偶數時，，則數列中每個偶數項加是以為首項，以為公比的等比數列.所以.故選：A【點睛】本題考查了數列分組求和、等差數列的前項和公式、等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.7．A【解析】

若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，利用導數求出的最小值，分別畫出與的圖象，結合圖象可得.【詳解】解：，∴，設，∴，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，∴，當時，，當，，函數恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數值，∴且，即，且∴，故實數m的最大值為，故選：A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數解問題，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了數形結合思想，考查了數學運算能力.8．B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.9．A【解析】

由，得到，得出，再結合三角函數的基本關系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數的性質，以及三角函數的基本關系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.10．B【解析】

利用復數的四則運算即可求解.【詳解】由.故選：B【點睛】本題考查了復數的四則運算，需掌握復數的運算法則，屬于基礎題.11．D【解析】

由圖象求出以及函數的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點的坐標代入函數的解析式，結合的取值范圍求出的值，由此可得出函數的解析式.【詳解】由圖象可得，函數的最小正周期為，.將點代入函數的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題考查利用圖象求三角函數解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12．C【解析】

根據在關于對稱的區間上概率相等的性質求解．【詳解】，，，．故選：C．【點睛】本題考查正態分布的應用．掌握正態曲線的性質是解題基礎．隨機變量服從正態分布，則．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，屬于基礎題.14．【解析】

根據題意，畫出可行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為．故答案為：9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.15．【解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當直線經過時，最大，且，故的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查線性規劃中非線性目標函數的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎題.16．【解析】

根據個全等的三角形，得到，設，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以.在三角形中，.設，則.由余弦定理得，解得.所以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數，且時為增函數，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結論．【詳解】解：（1）法一：（當且僅當時取等號），又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數，且時為增函數，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．18．（1）（2）【解析】

（1）運用三角形面積公式求出的長度，然后再運用余弦定理求出的長.（2）運用正弦定理分別表示出和，結合已知條件計算出結果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結合三角形熟練運用各公式是解題關鍵，此類題目是常考題型，能夠運用公式進行邊角互化，需要掌握解題方法.19．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（為參數）直接消去參數，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結合，可得曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）把代入，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系及參數的幾何意義求解．【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數），消去參數，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為；（Ⅱ）把代入，得．設，兩點對應的參數分別為，則，．不妨設，，∴．【點睛】本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查參數方程化普通方程，明確直線參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵，是中檔題．20．特征值為1，特征向量為．【解析】

設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關鍵是明確其運算規則，側重考查數學運算的核心素養.21．（1）點M的極坐標為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設點M在極坐標系中的坐標，由，得，∵∴或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設，.由，得，.故時，的最大值為.【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.22．（1）（2）①見解析②數列不能為等比數列，見解析【解析】

（1）根據數列通項公式的特點，奇數項為等差數列，偶數項為等比數列，選用分組求和的方法進行求解；（2）①設數列的公差為，數列的公差為，當n為奇數時，得出；當n為偶數時，得出，從而可證數列，的公差相等；②利用反證法，先假設可以為等比數列，結合題意得出矛盾，進而得出數列不能為等比數列．【詳解】（1）因為，，所以，且，由題意可知，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，數列是首項和公比均為4的等比數