解題秘籍03幾何背景下的線段最值問題（6種題型匯總+專項訓練+真題訓練）【題型匯總】【考情分析】線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查將軍飲馬、費馬點、胡不歸等問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數等相關知識，以及數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想.題型01垂線段最短圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則【答案】2【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2-QM2，由QM=2，則當PM最小時，【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM當x=0，y=4，當y=0，即x+4=0，解得：x=-4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴當PQ最小時即PM最小，∴當PM⊥AK時，取得最小值，即點P與點K重合，此時PM最小值為KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32-4∴PQ最小值為27【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵CF=BF∴F是BC的中點，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是3．故選：C【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形以及三角函數，確定AF的長就是MA+MF的最小值是關鍵．題型02將軍飲馬問題圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結論做點P關于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為【答案】5【分析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質．先取點A關于直線l的對稱點A'，連A'O交直線l于點C，連AC，得到AC=A'C，A'A⊥l，再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，得到當【詳解】解：取點A關于直線l的對稱點A'，連A'O交直線l于點C則可知AC=A'C∴PO+PA=PO+PA即當O,P,A'三點共線時，PO+PA的最小值為∵直線l垂直于y軸，∴A'∵A3,0，B∴AO=3,AA∴在Rt△A'故答案為：54．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數y2=3x的圖象交于點

(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動．當n為何值時，PA-PC【答案】(1)x>1(2)當n為-2時，|PA-PC|的值最大，最大值為2【分析】（1）由點A的縱坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出點A的坐標，再根據兩函數圖象的上下位置關系，即可得出當y1>y（2）由點A的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的函數解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點B、C的坐標，再根據三角形的三邊關系即可確定當點P與點B重合時，|PA-PC|的值最大，利用兩點間的距離公式即可求出此最大值．【詳解】（1）解：當y2=3∴點A的坐標為(1,3)，觀察函數圖象，可知：當x>1時，直線在雙曲線上方，∴若y1>y2>0（2）解：將A(1,3)代入y13=k+2，解得：k=1，∴直線AB的解析式為y1當x=0時，y1∴點C的坐標為(0,2)，∴AC=(0-1)當y1=x+2=0時，∴點B的坐標為(-2,0)．當點P與點B重合時，|PA-PC|的值最大，此時n=-2，|PA-PC|=AC=2∴當n為-2時，|PA-PC|的值最大，最大值為2．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、一次（反比例）函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的三邊關系，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出點A的坐標；（2）利用三角形的三邊關系確定點P的位置．5．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側，點A到直線l的距離AC=2，點B到直線l的距離BD=4，A、B兩點的水平距離CD=8，點P是直線l上的一個動點，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

【答案】（1）10；（2）32；（3）能實現，最小值為20【分析】（1）作點A關于直線l的對稱點A'，連接BA'交直線l于P，則AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'（2）如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，連接EH，G'E，G'H，則G'E=GE，根據平行四邊形的性質得到（3）作點P關于AD、BC的對稱點E、F，連接PE，PF分別交AD、BC于點O、H，則PE⊥AD，PF⊥BC，連接EF，與AD、BC的交點即為點M、N的位置，連接PM，PN，此時PM=EM，PN=FN，EF的長就是PM+PN+MN的最小值，過點E作EG⊥PF交FP的延長線于點G，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】.解：（1）如圖，作點A關于直線l的對稱點A'，連接BA'交直線l于P，則AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'B，過A'作A

∴BE=2+4=6，∴A即AP+BP的最小值是10；（2）如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1連接EH，G'E，G'

∵CH=EF=1，CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴GE+CF=G∵AB=4，BC=AD=2，G為AD的中點，∴DG'=AD+A由勾股定理得G'∴GE+CF≥32，即GE+CF的最小值為：3（3）管理人員的想法能實現，作點P關于AD、BC的對稱點E、F，連接PE，PF分別交AD、BC于點O、H，AP⊥AD，PF⊥BC，連接EF，與AD、BC的交點即為點M、N的位置，連接PM，PN，此時PM=EM，PN=FN，EF的長就是PM+PN+MN的最小值，過點E作EG⊥PF交FP的延長線于點G，

∵∠ACB=45°，∠ADB=60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH=45°，∠DPO=30°，∵PC=502m，∴PH=PC?sin∠BCP=50m∴OP=P∴PE=2OP=403m，∵∠CPH=45°，∠CPD=75°，∠DPO=30°，∴∠EPG=180°-∠CPH-∠CPD-∠DPO=30°，∵EG⊥PG，∴GE=1∴PG=P∴GF=PG+PF=160m在Rt△GEF中，EF=∴PM+PN+MN的最小值為2067【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了軸對稱-最短路線問題及矩形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．6．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經過點-1,6，與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（(1)求拋物線的表達式；(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．【答案】(1)y=-x(2)AM+MN+NF的最小值為412(3)符合條件的點Q的坐標為-1,-2或-19【分析】（1）利用正切函數求得OB=1，得到B1,0（2）求得A-4,0，利用待定系數法求得直線AC的解析式，設Pp,-p2-3p+4，求得PD最大，點P-2,6，再證明四邊形AMNE是平行四邊形，得到AM=EN，推出當（3）求得D-2,2，再利用平移的性質得到新拋物線的解析式y【詳解】（1）解：令x=0，則y=4，∴C0,4∴OC=4，∵tan∠CBA=4∴OCOB∴OB=1，∴B1,0將B1,0和-1,6代入y=ax2解得a=-1b=-3∴拋物線的表達式為y=-x（2）解：令y=0，則0=-x解得x=-4或x=1，∴A-4,0設直線AC的解析式為y=mx+4，代入A-4,0，得0=-4m+4解得m=1，∴直線AC的解析式為y=x+4，設Pp,-p2-3p+4（∴PD=-p∵-1<0，∴當p=-2時，PD最大，此時P-2,6∴AE=2，MN=OE=2，E-2,0∴AE=MN，AE∥連接EN，∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴AM=EN，∴AM+MN+NF=EN+MN+NF≥MN+EF，∴當E、N、F共線時，∵點F為線段BC的中點，∴F1∴EF=-2-∴AM+MN+NF的最小值為412（3）解：由（2）得點D的橫坐標為-2，代入y=x+4，得y=2，∴D-2,2∴新拋物線由y=-x2-3x+4向左平移2∴y'過點D作DQ1∥BC交拋物線∴∠Q同理求得直線BC的解析式為y=-4x+4，∵DQ∴直線DQ1的解析式為聯立得-4x-6=-x解得x1=-1，當x=-1時，y=-2，∴Q1作DQ1關于直線AC的對稱線得DQ2交拋物線∴∠Q設DQ1交x軸于點由旋轉的性質得到DG=DG過點D作DR∥x軸，作DH⊥x軸于點H，作G'當y=0時，0=-4x-6，解得x=-3∴G∵A-4,0，C∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵DR∥∴∠RDA=∠DAH=∠ADH=45°，∴∠G∵∠G'∴△GD∴G'H'∴G'同理直線DQ2的解析式為聯立-x解得x=-2或x=-19當x=-194時，∴Q2綜上，符合條件的點Q的坐標為-1,-2或-19【點睛】本題是二次函數綜合問題，考查二次函數的圖象及性質，待定系數法確定函數關系式，熟練掌握二次函數的圖象及性質，軸對稱的性質，直角三角形的性質，數形結合是解題的關鍵．7．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23【答案】(1)y=-(2)PA-PD存在最大值；最大值為10(3)點M的坐標為-1,0或12,154【分析】（1）把A-1,0，B3,0代入拋物線求出a、（2）先求出點C的坐標為0,3，連接PC、PD、PA，根據軸對稱的性質得出PC=PD，PA-PC=PA-PD，得出當PA-PC最大時，PA-PD最大，根據當點A、C、P三點在同一直線上時，PA-PC最大，即當點P在點P'時，PA-PD（3）過點M作ED∥y軸，過點C作CD⊥DE于點D，過點N作NE⊥DE于點E，設點M的坐標為：m,-m2+2m+3，得出DM=-m2+2m+3-3=-m2+2m，NE=m-1，證明△CDM∽△MEN【詳解】（1）解：把A-1,0，B3,0代入a-b+3=09a+3b+3=0解得：a=-1b=2∴拋物線的解析式為：y=-x（2）解：PA-PD存在最大值；把x=0代入y=-x2+2x+3∴點C的坐標為0,3，∵y=-x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，連接PC、PD、PA，如圖所示：∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，∴PC=PD，∴PA-PC=PA-PD，∴當PA-PC最大時，PA-PD最大，∴當點A、C、P三點在同一直線上時，PA-PC最大，即當點P在點P'時，PA-PD∴PA-PD最大值為：AC=1（3）解：過點M作ED∥y軸，過點C作CD⊥DE于點D，過點N作NE⊥DE于點∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∴tan∠MCN=設點M的坐標為：m,-m∴DM=-m2∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，∴∠DCM=∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴NEDM∴m-1-∴2-當m≤0時，-m2+2m≤02m解得：m1=-1，此時點M坐標為：-1,0；當0<m≤1時，-m2+2m>0-2m解得：m1=3此時點M坐標為：12當1<m≤2時，-m2+2m≥0-2m解得：m1=3此時點M坐標為：32當m>2時，-m2+2m<02m解得：m1=3，此時點M坐標為：3,0；綜上分析可知：點M坐標為：-1,0或12,154或【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，兩點間距離公式，解直角三角形的相關計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質，注意進行分類討論．題型03胡不歸問題【模型詳解】條件：已知A，B為定點，其中點A在定直線m上，點P在直線m上一動點，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.圖示：解題步驟：作射線AM使sin∠PAM=k（k＜1），且點M與點B位于直線m的兩側.2）過點P作PC⊥AM于點C，則PC=k?PA，此時k?PA+PB=PC+BP.3）過點B作BD⊥AM于點D，該垂線段長即為所求最小值，計算垂線段的解題大招：即當B，P，C三點共線時，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長度.模型總結：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關鍵是構造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數得到k?PA的等線段注意：若k>1，則提取系數，轉化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時只需要構造,作垂線即可求出最小值.8．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

【答案】6【分析】過點P作PD⊥AB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO，根據等邊三角形的性質和圓內接三角形的性質得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性質得到OE=12OA=2，進而求出BE=BO+EO=6【詳解】如圖所示，過點P作PD⊥AB，連接CO并延長交AB于點F，連接AO

∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+12BP故答案為：6．【點睛】此題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，含30°角直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．9．（22-23九年級上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發，運動路徑為A-D-C，在AD上的速度為4個單位/秒，在CD上的速度為1個單位/秒，則整個運動時間最少時，D的坐標為【答案】0,【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運動時間t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'∵運動時間t=AD∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，∴AB=AC=O∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴ADAB∴DH=1∴14∴當C，D，H共線且和CM重合時，運動時間最短，∴1∴CM=15∴AM=A∵AD'=4MD'則有：16∴m=71530∴A∴D0,故答案為0,15【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質，垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題．10．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(-3，0)兩點，與y軸交于點B(0，A．2 B．2 C．22 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數的圖象，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，垂線段最短等知識，關鍵在于把求22BP+AP最小值轉化為求PG+AP的最小值；連接BC，AP，過點P作PG⊥BC于點G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點H；由B、C的坐標得OB=OC，則有∠OBC=45°，從而PG=2【詳解】解：連接BC，AP，過點P作PG⊥BC于點G，連接AG，過點A作AH⊥BC于點∵C(-3，0)∴OC=OB，∴∠OBC=45°，∴PG=2∴22∴22BP+AP∵A(1，0)∴AC=1-(-3)=4，在Rt△ACH∵∠ACH=45°，∴AH=2∴22BP+AP故選：C．11．（2022·內蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．【答案】42【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×2∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42故答案為：42【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，解直角直角三角形，解題的關鍵是作輔助線．題型04費馬點費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短，得出最短長度.【進階】加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是l，如果現在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1，那么此類題目就叫做“加權費馬點”.【模型拓展】類型一單系數類當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉特殊角度：對應旋轉90°，對應旋轉120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉角度是90°旋轉角度是120°2）另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比類型二多系數類其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉中心呢？我們總結了以下方法：1.將最小系數提到括號外；2.中間大小的系數確定放縮比例；3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所在的三角形。12．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為【答案】33+3【分析】如圖，把△APD繞D順時針旋轉60°得到△A'P'D，連接PP'，AA'，證明△DPP'為等邊三角形，△AA'D為等邊三角形，可得PD=PP【詳解】解：如圖，把△APD繞D順時針旋轉60°得到△A'P'D∴AP=A'P'，∴△DPP'為等邊三角形，∴PD=PP'，當C，Q，P，P'，AAP+DP+PQ=PQ+PP∵?ABCD，AB=AC=5∴AB=CD=AC=5，而A'A=A∴A'C⊥AD，AK=DK=3，∴A'K=6∵CQ=CN=1∴A'∴AP+DP+PQ的最小值為33故答案為：3【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，平行四邊形的性質，勾股定理的應用，化為最簡二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．13．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數形結合是一種重要的數學思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結合以上兩材料求出x2

【答案】19【分析】本題考查坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，將原式轉化為x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，構造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標原點構造直角坐標系，設P為x,y，進而得到PC=x【詳解】解：原式=x可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y則PC=x2+y將△APC繞點C點逆時針旋轉60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值為19；∴x2+

14．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三角形的某個頂點）當△ABC的三個內角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現欲建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；（2）根據（1）的方法將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'P'C，即可得出可知當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點C順時針旋轉90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點之間線段最短可知，當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小．又∵已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．∴該三角形的“費馬點”為點A，故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點C順時針旋轉60°得到△A'P由（1）可知當B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉性質可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設成本=PA·a+PB·a+PC·∴當PA+PB+2將△APC繞，點C順時針旋轉90°得到△A'P'由旋轉性質可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當B，P，P'，A在同一條直線上時，P'A'+PB+P

過點A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉作出正確的輔助線是解本題的關鍵．15．（2023九年級下·全國·專題練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內部一點，求PA+2PB+5【答案】4【分析】延長DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH，AH．先證明△JBP∽△HBC，可得PJ=2PB，再證明△PBC∽△JBH，可得：HJ=5PC【詳解】解：延長DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH∵∠PBJ=∠CBH，BPBJ=∴PBBC∴△JBP∽△HBC，∴∠BPJ=∠BCH=90°，∴PJ=B∵∠PBC=∠JBH，PBBJ∴△PBC∽△JBH，∴PCJH∴HJ=∴PA+2PB+5∵PA+PJ+JH≥AH，∴PA+2PB+5∴PA+2PB+5PC的值最小，最小值為【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質，，正確理解費馬點問題，利用相似構造2PB與5PC16．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

【答案】17【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計算方法，掌握圖象旋轉的性質，勾股定理，最短路徑的計算方法是解題的關鍵．根據題意，將△AOC繞點C逆時針旋轉90°并放大2倍，得△CA'O'，連接OO'，根據邊的關系可得2OA=O'A'，5OC=O【詳解】解：如圖所示，將△AOC繞點C逆時針旋轉90°并放大2倍，得△CA'O

∴A'O'=2AO，∴在Rt△OCO'∴2OA+OB+5根據兩點之間線段最短，∴在△A'OB∵2OA+BO+5OC的最小值為45∴A'在Rt△ACA'中，∴AA∵∠ACA∴∠A延長A'C，作點B作BE⊥A∴∠BCE=60°，且BC=4，在Rt△BCE中，∠CBE=30°∴CE=12BC=2∴A'∴在Rt△A'∴45解得，AC=17故答案為：17-1．題型05阿氏圓問題使用場景已知兩個定點A，B，動點P在定圓上，求PA+kPB的最小值類型點A，B均在圓外，r=kOB(k<1)點A，B均在圓內，r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB,此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長線上取點D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB.此時PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長即為PA+kPB的最小值大招結論AD的長即為PA+kPB的最小值【模型總結】對于阿氏圓而言：當系數k＜1的時候，一般情況下，考慮向內構造.當系數k＞1的時候，一般情況下，考慮向外構造.【注意事項】針對求PA+kPB的最小值問題時，當軌跡為直線時，運用“胡不歸模型”求解；當軌跡為圓形時，運用“阿氏圓模型”求解.17．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．在CA上截取CM，使得CM=1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MP=13PA，可得1【詳解】解：如圖，在CA上截取CM，使得CM=1，連接PM，PC，BM．∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC∴PCCA∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA∴MP=1∴13∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∠BCM=90°，CM=1，CB=22∴BM=C∴13∴13AP+BP的最小值為故選：C．18．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動點，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點A與點F重合，連接DF，CF，則DF+1A．92 B．132 C．4 D【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，找到最小距離是解題的關鍵．在BC上取點G，使BG=32，連接FG，DG，證明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，則DF+12FC=DF+GF≥DG，當D、F、【詳解】解：如圖，在BC上取點G，使BG=32，連接FG，∵△ABE沿BE邊翻折到△FBE，∴BF=AB=3，又∵BC=6，∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG=∠CBF，∴△FBG∽△CBF，∴GFCF∴FG=1∴DF+1當D、F、G三點共線時，DF+1在Rt△CDG中，CD=AB=3CG=BC-BG=4.5，∠BCD=90°，∴DG=C即DF+12FC故選：D．19．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點E，F分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的EF上任意一點，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是【答案】17．【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明△PAT∽△BAP，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根據PC+PT【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT?AB，∴PAAT＝AB∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB＝APAB＝∴PT＝12PB∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝AT2+A∴12PB+PC≥17∴12PB+PC的最小值為17故答案為17．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵．20．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點C在OA上，且OC=2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．【答案】4【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題．延長OB到T，使得BT=OB，連接MT，CT．利用相似三角形的性質證明MT=2DM，求CM+2DM的最小值問題轉化為求CM+MT的最小值．利用兩點之間線段最短得到CM+MT≥CT，利用勾股定理求出CT即可解題．【詳解】解：延長OB到T，使得BT=OB，連接MT，CT．∵OA=6，∴OM=OB=6，∵點D是OB的中點，∴OD=DB=3，OT=12，∴OM∴OMOD∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽∴DMMT∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，∵OC=2AC，∴OC=4，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OT=12∴CT=O∴CM+2DM≥410∴CM+2DM的最小值為410故答案為：41021．（20-21九年級上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝【答案】(1)37(2)2(3)13【分析】（1）利用勾股定理即可求得本題答案；（2）連接CP，在CA上取點D，使CD=23，則有CDCP=CPCA=13，可證△PCD∽△ACP（3）延長OA到點E，使CE=6，連接PE,OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，當E,P,B三點共線時，得到最小值．【詳解】（1）解：如圖連接AD，∵AP+12BP=AP+PD∴當AP+AD最小，當點A,P,D在同一條直線時，AP+AD最小，∴AP+12BP在Rt△ACD中，CD＝1，∴AD=A∴AP+12BP故答案為：37；（2）解：如圖連接CP，在CA上取點D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD=1∴13∴13AP+BP的最小值為故答案為：237（3）解：如圖延長OA到點E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，連接PE,OP，∵OA=3，OB＝∴OAOP∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴當E,P,B三點共線時，取得最小值：BE=O故答案為：13．【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形判定及性質，最值得確定．22．（2025九年級下·全國·專題練習）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為．【答案】3【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，圓的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．在AB上取點E，連接PE，使BE=32，證△PBE∽△ABP，得PE=12PA，在BD延長線上取BF=9，連接EF,PF，證△PBD∽△FBP，得PF=3PD，即PA+6PD=2【詳解】解：在AB上取點E，連接PE，使BE=3∵AB=2BC=6，∴BPAB∵∠PBE=∠ABP，∴△PBE∽△ABP，∴PEPA∴PE=1在BD延長線上取BF=9，連接EF,PF．∵BD=1，則BFPB又∵∠PBD=∠FBP，∴△PBD∽△FBP，∴PFPD∴PF=3PD，∴PA+6PD=21∴當P為EF和圓的交點時PE+PF最小，即PA+6PD最小，且值為2EF，∵EF=B∴PA+6PD的最小值為2EF=337故答案為：33723．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是OD、OC上的兩個動點，且EF=4，P是EF的中點，連接OP、PC、

【答案】1452/【分析】在OD上取一點G，使得OG=12,連接PG、CG．根據菱形的性質可知OC=6,OD=8，則OGOP=OPOD=14，結合∠GOP=∠POD，可得【詳解】解：如圖，在OD上取一點G，使得OG=12，連接

∵四邊形ABCD為菱形，AC=12,BD=16，∴OC=12AC=6∵EF=4，P是EF的中點，∴OP=1∴OGOP又∵∠GOP=∠POD，∴△POG∽△DOP，∴GPPD=1∵PC+PG≥CG，∴當點G、P、C在同一直線上時，PC+1此時PC+14故答案為：1452【點睛】本題主要考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握“胡不歸”問題模型，正確畫出輔助線，構造相似三角形，根據相似三角形的性質和勾股定理求解．24．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE=4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+14【答案】145【分析】如圖，在CB上取一點F，使得CF=12，連接PF，AF，利用相似三角形的性質證明PF=14PB【詳解】解：如圖，在CB上取一點F，使得CF=12，連接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB故答案為1452【點睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．題型06瓜豆模型【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k，A點圖示：結論：1)當α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構成的夾角為α（定值）.【總結】1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據點線最值，點圓最值來求線段最值；2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經之比等于相似比，根據主動點的軌跡長直接求得25．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點0，設EF與AC交于點G．根據菱形的性質可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當AF⊥BF時，AF的長最小．再證明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再證明△AGE∽△ACB，EG=1【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點O，設EF與AC交于點G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點F在∠ABC的平分線上運動，∴當AF⊥BF時，AF的長最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴BEAB∴BE=1在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴EGBC∴EG=1∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴AF=A故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，準確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關鍵．26．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

【答案】522【分析】由題意分析可知，點F為主動點，G為從動點，所以以點E為旋轉中心構造全等關系，得到點G的運動軌跡，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得CG最小值．【詳解】將△EFB繞點E旋轉60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，

∴BE=HE，∠BEH=60°∴△EBH為等邊三角形，∠BEH=60°，BE=HE=2則有點G在垂直于HE的直線HN上，過C作CM⊥HN，當G與點M重合時即CM即為CG的最小值，如圖，過E作EP⊥CM，易得四邊形HEPM為矩形，∴∠HEP=∠EPG=∠EPC=90°，HE=MP=2∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=42∴CE=BC-BE=42∴∠CEP=30°，∴CP=12∴CM=MP+CP=HE+1故答案為：52【點睛】此題考查了旋轉的性質，線段最值問題，解題的關鍵是分清主動點和從動點，通過旋轉構造全等，從而判斷出點G的運動軌跡，之后運用垂線段最短，構造圖形計算，是最值問題中比較典型的類型．27．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．【答案】D【分析】以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．利用相似三角形的性質證明JC=2，推出點C的運動軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，根據AC≤AJ+JC=3【詳解】解：以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．∵AM=BM，∴JM=AM=MB，∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，∴∠MBJ=∠PBC=45°∴BJ=BMcos45°∴∠MBP=∠JBC，JBMB∴△JBC∽△MBP，∴JCPM∵PM=1，∴JC=2∴點C的運動軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，∵AJ=2∴AC≤AJ+JC=32故線段AC長度的最大值為32故選：D．【點睛】本題主要考查的是旋轉的性質、相似三角形的性質和判定，解直角三角形，點與圓的位置關系，三角形三邊關系，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．28．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、A．103 B．31010 C．13【答案】D【分析】此題考查了解直角三角形，根據阿氏圓的定義，分別固定BP，分別確定A點的運動軌跡為阿氏圓O，C點的運動軌跡為阿氏圓O'，，由此可知，當PC最最小時，PBPC【詳解】解：固定BP，則BAAP∴A點的運動軌跡為阿氏圓O，設OP=a，則AO=2a，BO=4a，則PB=BO-OP=3a，∵∠ABC=90°，ABBC∴C點的運動軌跡為阿氏圓O'∴∠OBO∴O'∴當PC最小時，PBPCPO∴PBPC故選：D．【專項訓練】【將軍飲馬】1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點C3，0，頂點A、B6，

(1)分別求反比例函數的表達式和直線AB所對應的一次函數的表達式；(2)在x軸上是否存在一點P，使△ABP周長的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小,最小值是2【分析】（1）過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到點A的坐標是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數y=kx第一象限的圖象上得到33-m=6m，解得m=1，得到點（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點P，連接AP，利用軸對稱的性質得到AP=A'P，A'2,-3，則AP+PB=A'【詳解】（1）解：過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BD⊥x軸于點D，則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD-OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC-EC=3-m，∴點A的坐標是3-m,3，∵A、B6，m恰好落在反比例函數y=∴33-m解得m=1，∴點A的坐標是2,3，點B的坐標是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函數的解析式是y=6設直線AB所對應的一次函數的表達式為y=px+q，把點A和點B的坐標代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=-∴直線AB所對應的一次函數的表達式為y=-1（2）延長AE至點A'，使得EA'=AE，連接A'B交

∴點A與點A'關于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2-62+∴此時△ABP的周長為AP+PB+AB=AB+A設直線A'B的解析式是則2n+t=-36n+t=1解得n=1t=-5∴直線A'B的解析式是當y=0時，0=x-5，解得x=5，即點P的坐標是5,0，此時AP+PB+AB=AB+A綜上可知，在x軸上存在一點P5,0，使△ABP周長的值最小，最小值是2【點睛】此題考查了反比例函數和一次函數的圖象和性質、用到了待定系數法求函數解析式、勾股定理求兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等知識，數形結合和準確計算是解題的關鍵．2.（2025·湖南婁底·一模）如圖，點A是坐標原點，點B在x軸的正半軸上，點C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．(1)求點C的坐標；(2)點P是y軸上的一個動點，當點P處于何位置時，PB+PC的值最小？【答案】(1)6,2(2)當點P運動到0,435【分析】（1）過點C作CE⊥x軸交x軸于點E，證明∠BAC=∠ACB，得出BC=AB=4，解直角三角形得出BE=BC·cos60°=4×12=2，（2）作點B關于y軸的對稱點為D，則D-4，0，連接CD，CD與y軸交于點P，連接PB，根據兩點之間線段最短，得出此時點P即為所求作的點，先求出直線y=3【詳解】（1）解：過點C作CE⊥x軸交x軸于點E，如圖所示：∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°，∠CBE=180°-120°=60°，∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=4，∴BE=BC·cos60°=4×CE=BC·sin∴AE=AB+BE=4+2=6，∴點C的坐標為6,23（2）解：如圖，作點B關于y軸的對稱點為D，則D-4，0，連接CD，CD與y軸交于點P根據軸對稱可知：PB=PD，∴PB+PC=PD+PC，∴當PD+PC最小時，PB+PC最小，∵兩點之間線段最短，∴此時點P即為所求作的點，設直線CD的解析式為：y=kx+b，則-4k+b=06k+b=23解得：k=∴y=3當x=0時，y=∴當點P運動到0,435【點睛】本題主要考查了一次函數的幾何綜合，解直角三角形的相關計算，求一次函數解析式，軸對稱的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握待定系數法，作出輔助線．【費馬點】1．（2024·湖北·模擬預測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數形結合是一種重要的數學思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結合以上兩材料求出x2

【答案】19【分析】本題考查坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，將原式轉化為x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，構造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標原點構造直角坐標系，設P為x,y，進而得到PC=x【詳解】解：原式=x可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y則PC=x2+y將△APC繞點C點逆時針旋轉60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值為19；∴x2+

【胡不歸】1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E是BC邊上一個動點，連接AE，AE的垂直平分線MN交AE于點M，交BD于點

(1)求證：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．【答案】(1)見詳解(2)2【分析】（1）根據菱形的性質證明△ABN≌△CBN，再結合MN是AE的垂直平分線，即可證明EN=CN；（2）過點N作NF⊥BC于點F，連接NF,AF，∠DBC=30°，則NF=12BN，故2EN+BN=2EN+1【詳解】（1）證明：連接AN，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°∵BN=BN，∴△ABN≌△CBN，∴AN=CN，∵MN是AE的垂直平分線，∴AN=NE，∴EN=CN；（2）解：過點N作NF⊥BC于點F，連接NF,AF，

∵∠DBC=30°，∴NF=1∵AN=EN，∴2EN+BN=2EN+當點A、N、F三點共線時，取得最小值，如圖：

即AF⊥BC，∴在Rt△ABF中，AF=AB?∴2EN+BN的最小值為23【點睛】本題考查了菱形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，解直角三角形，正確添加輔助線是解決本題的關鍵．【阿氏圓】1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E為BC，AC上的動點，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在線段DE的運動過程中，CD的長由2到23，求這一變化過程中，點P(3)連結PA，PB，求【答案】(1)16(2)1(3)145【分析】（1）先利用勾股定理求出AB=10，根據DE∥AB，證明（2）連接CP，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出CP=2，再根據當CD=2時，△DCP為等邊三角形，∠DCP=60°；當CD=23時，∠DCP=30°，得到弧的圓心角為30°（3）在CB上取一點F，使得CF=12，連接PF，AF，利用相似三角形的性質證明PF=14PB【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=A∵DE∥AB∴△CDE∽∴CDBC=DE∴CD=16（2）解：連接CP，∵∠C=90°，P為DE的中點，DE=4，∴CP=1∴點P運動的路線是以C為圓心，2為半徑的一段圓弧，當CD=2時，△DCP為等邊三角形，∠DCP=60°；當CD=23時，∠DCP=30°，得到弧的圓心角為30°則P運動的路程即為圓心角為30°的弧的長度，即為30×2π（3）解：如圖，在CB上取一點F，使得CF=12，連接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB【點睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題．2．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，6），拋物線的頂點坐標為E（2，8），連結BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點P，使得BP＋12EP【答案】（1）y=-12x2+2x+6；（2）直角三角形，見解析；（3【分析】（1）用待定系數法求函數解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=22（即CF