材料力學教案

山東大學土建與水利學院

工程力學系

目錄

第一篇基本內(nèi)容

第一章緒論

第二章桿件的內(nèi)力截面法

第三章桿件的應力與強度計算

第四章桿件的變形簡單超靜定問題

第五章應力狀態(tài)分析強度理論

第六章組合變形

第七章壓桿穩(wěn)定

第八章交變應力與疲勞極限

第二篇加深與擴展內(nèi)容

第九章能量法

第十章超靜定結(jié)構(gòu)

第十一章動載荷

第十二章扭轉(zhuǎn)與彎曲的幾個補充問題

第十三章應力與應變分析

第十四章含裂紋構(gòu)件的斷裂

第十五章平面圖形的幾何性質(zhì)

第1章緒論

一、基本要求

1.了解材料力學的任務；

2.理解對變形固體的基本假設；

3.理解內(nèi)力、應力、應變等基本概念;

4.了解桿件變形的基本形式。

二、內(nèi)容提要

1.材料力學的任務

1）術(shù)語

載荷作用于結(jié)構(gòu)上的主動力統(tǒng)稱為載荷或荷載

結(jié)構(gòu)建筑物或機械承受載荷時起骨架作用的部分

構(gòu)件結(jié)構(gòu)的組成部分

2）構(gòu)件的三項基本要求

足夠的強度：構(gòu)件在外載作用下，抵抗破壞的能力。

足夠的剛度：構(gòu)件在外載作用下，抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性要求：構(gòu)件在壓力載荷作用下保持原有平衡狀態(tài)的能力。

3）材料力學的任務

（1）研究構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性；

（2）研究材料的刀學性；

（3）合理解決安全與經(jīng)濟之間的矛盾。

4）材料力學的的研究方法

（I）理論分析

（2）實驗研究

2.變形固體的基本假設

1）變形固體固體因受外力作用而變形，故稱為變形固體。材料力學研究

對象是變形固體。

2）變形固體的基本假設

連續(xù)性假設：假設組成固體的物質(zhì)不留空隙地充滿了整個體積，故固體在其

整個體積內(nèi)是連續(xù)的。可把力學量表示為固體點的位置坐標的連續(xù)函數(shù)。

均勻性假設：假設固體內(nèi)到處有相同的力學性能。從而可用局部反映整體。

各向同性假設：假設沿任何方向固體的力學性能都相同。

小變形

3.基本概念

1）內(nèi)力在外力作用下，物體內(nèi)部各部分之間相互作用力的變化量稱為附

加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。

2）截面法用截面假想地把構(gòu)件分成兩部分,

以顯示并確定內(nèi)力的方法。

用截面法求內(nèi)力的步驟為：

圖1.1

（1）截開在欲求內(nèi)力的截面處假想將桿件分為兩部分，留下一部分（一

般為外力較少的一部分）為研究對象。

（2）代替用內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用力；

（3）平衡由留下部分的平衡條件，確定未知的內(nèi)力。

3）應力單位面積上的內(nèi)力。

平均應力pm=—（1.1）

AL-.-i?kFclF

全應力p=limpni=lim——=——

MTOA4->O^4dA

（1.2）

正應力垂直于截面的應力分量，用符號。表示。

切應力相切于截面的應力分量，用符號工表示。

應力的量綱：

國際單位制：Pa（N/n?）、MPa、GPa

工程單位制:kgf/m\kgf/cm2

4）變形在載荷作用下，構(gòu)件的尺寸和形狀發(fā)生變化

稱為變形。

5）應變

線應變單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是

構(gòu)件上一點沿某一方向變形量的大小。平均線應變

MN'-MN

(1.3)

MNA5

MN-MN「△〃…、

線應變￡=lim---------=lim——(1.4)

MNTQMNA。AS

切應變一點單元體兩棱直角的改變量。

/=lim工-NZ/W(1.5)

2

4.桿件變形的基本形式

1）桿件：長度遠大于橫向尺寸的構(gòu)件，稱為桿件。圖1.4桿件

主要幾何因素是橫截面和軸線，其中橫截直是與軸線垂直的截面；軸線是

橫截面形心的連線。

直桿軸線為直線的桿。

曲桿軸線為曲線的桿。形心軸線

等直桿橫截面的形狀和大小不變的直桿。D

橫橫曲

2）桿件的基本變形形式

形心釉觀

（1）拉伸（或壓縮）（圖1.6（a））

受力：作用于桿件兩端的外力大小相等，方向相

圖1.5

反，且與桿件軸線重合。變形：桿件變形是沿軸線的方向伸長或縮短。

(2)剪切(圖1.6(b))

受力：桿件兩側(cè)作用大小相等，方向相反，作用線相距很近的外力。變形:

桿件的兩部分沿外力作用方向發(fā)生相對錯動，由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅巍?/p>

■1I--TJ-

圖1.6

(3)扭轉(zhuǎn)(圖1.6(c))

受力：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶。

變形：桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動。

(4)彎曲(圖1.6(d))

受力：在包含桿軸的縱向平面內(nèi)作用一對大小相等、方向相反的力偶或在垂

直于桿件

軸線方向作用橫向力。

變形：桿件軸線由直線變?yōu)榍€。

組合變形：桿件同時發(fā)生幾種基本變形，稱為組合變形。

第2章桿件的內(nèi)力、截面法

一、基本要求

1.了解軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲的概念；

2.掌握用截面法計算基本變形桿件截面上的內(nèi)力;

3.熟練掌握基本變形桿件內(nèi)力圖的繪制方法。

二、內(nèi)容提要

1.軸向拉伸和壓縮

1)軸向拉伸或壓縮的概念

受力特點：外力或合外力與軸線重合；

變形特點：桿件產(chǎn)生沿軸線方向的伸長或縮短。

計算簡圖為：

圖2-1

2)軸力

軸向拉壓時,桿件截面上分布內(nèi)力系的合力的作用線與桿件軸線重合，稱為

軸力。一般用乙表示，單位為牛頓(N)。

軸力的正負號規(guī)定：拉為正，壓為負。

3）圖

表示軸力沿桿件軸線變化規(guī)律的圖線。該圖一般以平行于桿件軸線的橫坐標

X軸表示橫截叫立置，縱軸表示對應橫截面上軸力的大小。正的軸力畫在X軸上

方，負的軸力畫在X軸下方。

2.扭轉(zhuǎn)

1）扭轉(zhuǎn)的概念

受力特點：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反

的外力偶。

變形特點：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。

軸：以扭轉(zhuǎn)為主要變形的桿件稱為軸。

計算簡圖為:

圖2-2

2）外力偶矩

傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速〃與傳遞的功

率。來計算。

當功率尸單位為千瓦（kW）,轉(zhuǎn)速為〃（r/min）時，外力偶矩為

%=9549-（N.m）

n

當功率P單位為馬力（PS）,轉(zhuǎn)速為〃（r/min）時，外力偶矩為

M°=7024-（N.m）

n

3）扭矩、扭矩圖

當外力偶矩已知，利用截面法可求任一橫截面上的內(nèi)力偶矩一扭矩，用7表

Zjxo

扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋法則，r矢量背離截面為正，指向截面為負

（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負）。

表示扭矩隨桿件軸線變化規(guī)律的圖線稱為扭矩圖。扭矩圖作法與軸力圖相

似。正的扭矩畫在X軸上方，負的扭矩畫在X軸下方。

3.彎曲內(nèi)力

1）基本概念縱向?qū)ΨQ面

變曲變形：桿件在垂直于其軸線的載荷作用]

下，使原為直線的軸線變?yōu)榍€的變形稱為彎曲變

形。尸產(chǎn)11

以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁。U一一r

對稱彎曲：工程中最常見的梁，其橫截面一般軸線I1

至少有一根對稱軸，因而整個桿件有一個包含軸線圖23

的縱向?qū)ΨQ面。若所有外力都作用在該縱向?qū)ΨQ面

內(nèi)時，梁彎曲變形后的軸線將是位于該平面內(nèi)的一條R-----------------.

修1九4

曲線，這種彎曲形式稱為對稱彎曲。其力學模型如圖2?3所示。

2)梁的計算簡圖靜定梁：所有支座反力均可由靜力平衡方程確定的梁。

靜定梁的基本形式有簡支梁、懸臂梁、外伸梁。計算簡圖分別如圖2-4(a)、

(b)、(c)所示。3)剪力和彎矩

剪力：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力，稱為剪力,

用&表示。

彎矩：受彎構(gòu)件任意橫截面上與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩，稱為

彎矩，用”表示。

剪力和彎矩的正負號規(guī)定：從梁中取出長為公的微段，若橫截面上的剪力

使dX微段有左端向上而右端向下的相對錯動趨勢時，此剪力尺規(guī)定為正，反之

為負(或使梁產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動的剪力規(guī)定為正，反之為負)，如圖2-5(a)、(b)

所示；若彎矩使公微段的彎曲變形凸向下時，截面上的彎矩M規(guī)定為正，反之

為負(或使梁下部受拉而上部受壓的彎矩為正，反之為負)，如圖2-5(c)、(d)

zpiiiiticp

口O

所示o圖2-5

根據(jù)內(nèi)力與外力的平衡關系，若外力對截面形心取矩為順時針力矩，則該力

在截面上產(chǎn)生正的剪力，反之為負的剪力(順為正，逆為負)；固定截面，若外

力或外力偶使梁產(chǎn)生上挑的變形，則該力或力偶在截面上產(chǎn)生正的彎矩，反之為

負的彎矩(上挑為正，下壓為負)。4)剪力方程和彎矩方程

一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化。若以坐標X

表示橫截面在梁軸線上的位置，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為X的函數(shù)，

即&=&(x)

M=M(x)

上述函數(shù)表達式稱為梁的剪力方程和彎矩方程。

5)剪力圖和彎矩圖

為了直觀地表達剪力品和彎矩〃沿梁軸線的變化規(guī)律，以平行于梁軸線的

橫坐標x表示橫截面的位置，以縱坐標按適當?shù)谋壤硎卷憫獧M截面上的剪力和

彎矩，所繪出的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

剪力圖和彎矩圖的繪制方法有以下兩種：

(1)剪力、彎矩方程法：即根據(jù)剪力方程和彎矩方程作圖。其步驟為：

第一，求支座反力。

第二，根據(jù)截荷情況分段列出入。)和Mfr)。

在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布載荷的起止點處，剪力方程和

彎矩方程可能發(fā)生變化，所以這些點均為剪力方程和彎矩方程的分段點。

第三，求控制截面內(nèi)力，作&、M圖。一般每段的兩個端點截面為控制截

面。在有均布載荷的段內(nèi)，&的截面處彎矩為極值，也作為控制截面求出其

彎矩值。將控制截面的內(nèi)力值標在的相應位置處。分段點之間的圖形可根據(jù)剪力

方程和彎矩方程繪出。并注明ELax'MLax的數(shù)值。

（2）微分關系法：即利用載荷集度、剪力與彎矩之間的關系繪制剪力圖和

彎矩圖。

載荷集度4（%）、剪力&（X）與彎矩聞（x）之間的關系為：

也（X）=q(x)

dx

dM(x)

dx

d2M(x)也(x)

=儀x)

dx2dx

根據(jù)上述微分關系，由梁上載荷的變化即可掛知剪力圖和彎矩圖的形狀。

（a）若某段梁上無分布載荷，即式x）=0,則該段梁的剪力&（x）為常量，剪

力圖為平行于x軸的直線；而彎矩/（X）為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。

（b）若某段梁上的分布載荷=q（常量），則該段梁的剪力代（x）為x的

一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；而M（x）為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。當q>0

（今向上）時，彎矩圖為向下凸的曲線；當g<0（9向下）時，彎矩圖為向上凸

的曲線。

（c）若某截面的剪力代（%）=0,根據(jù)處"2=0,該截面的彎矩為極值。

dx

利用以上各點，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利

用微分關系直接繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步

驟如下:

第一，求支座反力（對懸臂梁，若從自由端畫起，可省去求支反力）；

第二，分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；

第三，求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關系繪剪力圖和彎矩圖；

第四,確定|八|

I3Imax

\F\可能出現(xiàn)的地方：①集中力廠作用處；②支座處。可能出現(xiàn)的

ISJlmaxIImax

地方：①剪力月=0的截面；②集中力/,'作用處；③集中力偶必作用處。

6）平面剛架和平面曲桿的彎曲內(nèi)力

剛架：桿系結(jié)構(gòu)若在節(jié)點處為剛性連接，則這種結(jié)構(gòu)稱為剛架。

平面剛架：由在同一平面內(nèi)、不同取向的桿件，通過桿端相互剛性連接而組

成的結(jié)構(gòu)。

各桿連接處稱為剛節(jié)點。

剛架變形時，剛節(jié)點處各桿軸線之間的夾角保持不變。靜定剛架：凡未知反

力和內(nèi)力能由靜力學平衡條件確定的剛架。

平面剛架各桿的內(nèi)力，除了剪力和彎矩外，一般還有軸力。作剛架內(nèi)力圖的

方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同取向的阡件組成，習慣上按下列約定：

彎矩圖畫在各桿的受壓一側(cè)，且不注明正、負號。剪力圖及軸力圖可畫在剛架軸

線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），且必須注明正負號；剪力正負號的規(guī)定

與梁相同，軸力仍以拉伸為正，壓縮為負V

平面曲桿：軸線為一平面曲線的桿。平面曲桿橫截面上的內(nèi)力情況及其內(nèi)力

圖的繪制方法，與剛架相類似。

三、典型例題分析

例2-1在圖2-6（a）中，沿桿件

軸線作用居、凡。已知：E=6kN,

F2=18kN,B=8kN,居=4kN。試求各段

橫截面上的軸力，并作軸力圖。

解：1.計算各段軸力

4C段：以截面將桿分為兩段，

取左段部分（圖（b））。

由Z工=0得

FNI=F.=6kN

（拉力）

。段：以截面2?2將桿分為兩段，

取左段部分（圖（c））。

由2死=0得

FN2=FH

kN（壓力）

&2的方向與圖中所示方向相反。

段：以截面3?3將桿分為兩段，取右段部分（圖（d））。

由ze=o得

入3=一￡=—4kN（壓力）

心3的方向與圖中所示方向相反。

2.繪軸力圖

以橫坐標x表示橫截面位置，縱軸表示對應橫截面上的軸力乙，選取適當比

例，繪出軸力圖（圖（e））。在軸力圖中正的軸力（拉力）畫在x軸上側(cè)，負的

軸力（壓力）畫在x軸下側(cè)。

例2-2傳動軸在組2-7(a)所示。主動輪4輸入功率為P4=36kW,從動

輪尻C、。輸出功率分別為幾=&=11kW,Po=14kW,軸的轉(zhuǎn)速為〃=300r/min。

試作軸的扭矩圖。

解：1.計算各輪上的外力偶矩

MA=9549^-=1146N-m

/In

MB=MC=9549^-=

n

=9549生=446N-m

n

2.計算各段扭矩

段：以截面將軸分為兩

5cI—I圖2-7

段，取左段部分(圖(b)l由平衡方

程

7；+%=0

得

T.=-MR=-350N-m

負號說明Tx所假定的方向與實際扭矩相反

同理，在。段內(nèi)，

T2+Mc+MB=0

「

/=-MCC-MDR=-700Nm

在4。段內(nèi)，

T廣MD=446N-m

3.以橫坐標x表示橫截面位置，縱軸表示對應橫截面上的扭矩大小，選取

適當比例，繪出扭矩圖。正的扭矩畫在x軸上側(cè)，負的扭矩

畫在x軸下側(cè)。I

例2?3圖示簡支梁受集中力尸作用，試利用剪力方程

和彎矩方程繪出該梁的剪力圖和

彎矩圖。解：1.求支反力。

由ZK=°，Z%(戶)=°，得

圖2-8

廠Fb「Fa

死二7，&二7

2.列剪力、彎矩方程

X

在力C段內(nèi)，F(xiàn)s(x)=FA=-^-,(0<x<iz)M(x)=FA'X=-^-,(0<x<67)

在宛段內(nèi)

尼（X）=F=-N（"X</）

M(x)=%(1-x)=學(/7),(〃<X</)3.求控制截面內(nèi)力，作剪

力圖、彎矩圖。

品圖：在力。、C6段內(nèi)，剪力方程均為常數(shù)，因此兩段剪力圖均為平行于x

%右=牛,左、右兩側(cè)截面的

軸的直線。在集中力F作用處，&c左二一I9

剪力值發(fā)生突變，突變量=華-(-r)=b；M圖：在4C、C5段內(nèi)，彎矩方

程”(X)均是工的一次函數(shù)，因此兩段彎矩圖均為斜直線。求出控制截面彎矩

MA=MB=O,Me=與,標在M-x坐標系中，并分別連成直線，即得該梁的

彎矩圖。顯然在集中力/；作用處左、右兩側(cè)截面上彎矩值不變，但在該截面處彎

矩圖斜率發(fā)生突變，因此在集中力少作用處彎矩圖上為折角點。

例2-4受均布載荷作用的簡支梁，如圖2-9

所示，試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力

FAy=FBy=7/2

圖2-9

3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。

2(。)=生((/)=4

〃（0）=0,M（/）=0,"（介*

為max=^-

在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。且在

入=0處彎矩"取得極值。

例2-5如圖2T0所示簡支梁，在C點處受矩為Me的集中力偶作用，試作

梁的剪力圖和彎矩圖.

解：1.求支反力

由平衡方程ZM"）=0和￡M/（戶）=0得

L尸M,

F*=FB=-^

2.列剪力、彎矩方程

在AC段內(nèi)

%（勸=%=,，（0<》4。）

弧（x）=FAy-x=^-x,（0<x<a）

在BC段內(nèi)

^S2（X）=FBy=牛,（。W）

I

3.求控制截面內(nèi)力，作剪力圖、彎矩圖。

人（O）"sC）"牛

/W（o）=A/（/）=O,M右=今^~

在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為-牛-乎=/0,而

剪力圖無改變。

例2-6如圖2-11所示簡支梁。試寫出梁

的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩

圖。

解：1.求支反力。

由平衡方程工〃8（戶）=0和

圖2-11

(戶)=0求得

2.列剪力、彎矩方程

AC段：

3/

居(x)=F「qx=-ql-qx(0<x<-)

o2

iai/

M(x)=Fx--qx2=-qlx--qx2(0<x<-)

A2822

CB段：

心⑶=-弓=-，("x</)

M(x)=&(/-x)=|qlQ—x)4<x</)

o2

3.求控制截面內(nèi)刀，繪。、M圖

A圖：AC段內(nèi)，剪力方程氏(工)是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，求出兩

個端截面的剪力值，F(xiàn)SL/,Fsc=.ql，標在G-x坐標系中，連接兩點

即得該段的剪力圖。CB段內(nèi)，剪力方程為常數(shù)，求出其中任一截面的內(nèi)力值，

連一水平線即為該段剪力圖。梁AB的剪力圖如圖2-11(b)所示。

M圖：AC段內(nèi)，彎矩方程A/(x)是x的二次函數(shù)，彎矩圖為二次曲線，求

出兩個端截面的彎矩，=0,A/。='夕/2,分別標在M—X坐標系中。在乙二o

處彎矩取得極值。令剪力方程大(刈=0,解得工=孑，求得物《/)=擊/2,標

在M-x坐標系中。根據(jù)上面三點繪出該段的彎矩圖。CB段內(nèi)，彎矩方程MQ)

是x的一次函數(shù)，分別求出兩個端點的彎矩，標在x坐標系中，并連成直線。

AB梁的M圖如圖2-11(c)所示。

例2例梁的受力如圖2-12(a)所示,試利用微分關系作梁的心、/圖。

解：1.求支反力C

F=3k]|邙JjN.mHokNfm|

由平衡方程z儲(戶)=°和

戶)=0求得_06m__06m>2m_

F=\0kN,5kN7kN

AFB=-0.5m_

2.分段確定曲線形狀

3kNskN

由于載荷在力、。處不連續(xù)，應將梁2.4kN.m

分為三段繪內(nèi)力圖。l.25kN.m

1.2kN.m

l.8kN.m

圖2-12

根據(jù)微分關系空a=g（x）,理警=心（對，亙辿舁=包3=貝幻，在

dxdxdx~dx

。和4。段內(nèi)，q=0,剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線；段內(nèi)，q=常數(shù)，

且為負值，剪力圖為斜直線，歷圖為向上凸的拋物線。

3.求控制截面的內(nèi)力值，繪人、必圖

人圖：心E=-3kN,外伯=7kN，據(jù)此可作出C力和力。兩段入圖的水平

線。網(wǎng)『=7kN,FSBf.=-5kN,據(jù)此作出。3段用圖的斜直線。

M圖：Mc=0,M.r=-1.8KN-m,據(jù)此可以作出C4段彎矩圖的斜直線。

A支座的約束反力FA只會使截面A左右兩側(cè)剪力發(fā)生突變，不改變兩側(cè)的彎矩

值，故M/左="缶=".=-1.8KN-m,MD^=2.4kN-m,據(jù)此可作出力。段彎

矩圖的斜直線。。處的集中力偶會使。截面左右兩側(cè)的彎矩發(fā)生突變，故需求

出M訪=-L2KN?m,=0；由。3段的剪力圖知在E處4=0,該處彎矩

為極值。根據(jù)8E段的平衡條件￡、=0,知8E段的長度為0.5m,于是求得

=1.25kN-mo根據(jù)上述三個截面的彎矩值可作出03段的M圖。

對作出的2、A7圖要利用微分關系和突變規(guī)律、端點規(guī)律作進一步的校核。

如。8段內(nèi)的均布載荷為負值，該段入圖的斜率應為負；。段的外為負值，該

段"圖的斜率應為負；段的大為正值，該段M圖的斜率應為正；支座/處

剪力圖應發(fā)生突變，突變值應為10kN；。處有集中力偶，。截面左右兩側(cè)的彎

矩應發(fā)生突變，而且突變值應為3.6kN-m；支座8和自由端C處的彎矩應為零等。

例2-7剛架受力如圖2-13（a）所示。試繪出剛架的內(nèi)力圖。

解：1.分段列出內(nèi)力方程

對C4段距右端為X］的截面6（xJ=O,終（xj=-尸,M（x1）=Ev］（0<x］<a）

對34段距8端為冷的截面

"包）=尸，

&(工2)=qx?，M{X2)=Fa--qx；(0<x2</)

2.作內(nèi)力圖

由內(nèi)力方程繪出內(nèi)力圖，然圖和2圖可以畫在桿軸的任一側(cè)，一般正值畫

在剛架外側(cè)，并標明正負號。彎矩圖畫在各桿的受壓一側(cè)，且不注明正、負號。

例2-8曲桿受力如圖2?14(a)示。試繪出曲桿的彎矩圖

圖⑹Fs圖?FN圖

圖274

解：1.建立內(nèi)力方程

用圓心角為。的橫截面取隔離體，其受力圖如圖2?14(b)所示。由平衡條

件求得

Fs(0)=Fcos0

舔(夕)=一手sing

(3)繪曲桿內(nèi)力圖

由內(nèi)力方程繪出的內(nèi)力圖如圖(c)、(d)>(e)所示。

第3章應力與強度計算

一.內(nèi)容提要

木章介紹了桿件發(fā)生基本變形時的應力計算，材料的力學性能，以及基本變形的強度計

算。

1.拉伸與壓縮變形

Li拉（壓）桿的應力

i.i.i拉（壓）桿橫截面上的正應力

拉壓桿件橫截面上只有正應力且為平均分布，或計算公式為

a=—（3-1）

A

式中《V為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。

正負號規(guī)定拉應力為正，壓應力為負。

公式（3-1）的適用條件：

（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；

（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；

（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應力集中現(xiàn)象，橫截面上應力分布很不

均勻；

（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角20°時，可應用式（3-1）計算，

所得結(jié)果的誤差約為3%。

1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應力（如圖3-1）

圖3-1

拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應力為平均分布，其計算公式為

全應力〃“二(rcosa(3-2)

2

正應力（Ja-crcosa（3-3）

切應力ra=1sin2a（3-4）

式中O■為橫截面上的應力。

正負號規(guī)定：

a由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜械面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。

17,拉應力為正，壓應力為負。

ra對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的〃為正，反之為負。

兩點結(jié)論：

（1）當。=0°時，即橫截面上，達到最大值，即（cJmax=。。當。=90°時，即

縱截面上，。&=900=0。

（2）當a=45°時，即與桿軸成45°的斜截面上，1達到最大值，即（%）母=?

2

1.2拉（壓）桿的應變和胡克定律

（1）變形及應變

桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。

如圖3-2。

『二二二二二二i；

?/?

Lt

圖3-2

軸向變形A/=/,-/

軸向線應變￡=與

橫向變形\b=b,-b

橫向線應變￡'=竺

h

正負號規(guī)定伸長為正，縮短為負。

（2）胡克定律

當應力不超過材料的比例極限時，應力與應變成正比。即

<y-Es（3-5）

或用軸力及桿件的變形量表示為

式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。

公式（3-6）的適用條件：

（a）材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即。〈生,；

（b）在計算△/時，/長度內(nèi)其N、E、力均應為常量。如桿件上各段不同，則應分段計算,

求其代數(shù)和得總變形。即

(3-7)

（3）泊松比

當應力不超過材料的比例極限時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值。即

V=(3-8)

1.3材料在拉（壓）時的力學性能

131低碳鋼在拉伸時的力學性能

應力一一應變曲線如圖3-3所示。

圖3-3低碳鋼拉伸時的應力一應變曲線

卸載定律:在卸載過程中，應力和應變按直線規(guī)律變化。如圖3-3中4/直線。

冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，再次加載時，材料的比例極限升高，而

塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中/何曲線。圖3-3中，of'為未經(jīng)冷作硬化，

拉伸至斷裂后的塑性應變，dr為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應變。

四個階段四個特征點，見表1-1。

表1-1低碳鋼拉伸過程的四個階段

階段圖■特征點說明

中線段

彈性階段oab

比例極限bp%為應力與應變成正比的最高應力

彈性極限5，以為不產(chǎn)生殘余變形的最高應力

屈服階段be

屈服極限q為應力變化不大而變形顯著增加時的最低

應力

強化階段ce

抗拉強度火為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力

局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂

表1-1

主要性能指標，見表1-2。

表1-2主要性能指標

性能性能指標說明

彈性性能彈性模量E

當時，E=—

強度性能材料出現(xiàn)顯著的塑性變形

屈服極限

材料的最大承載能力

抗拉強度外

塑性性能如6/.-/材料拉斷時的塑性變形程度

延伸率＞=-L^_xlOlnOno%/

A-A.材料的塑性變形程度

T截Z面T收T縮Z率3=—『XINi。N。O％/

1.3.2低碳鋼在壓縮時的力學性能

圖3-4低碳鋼壓縮時的應力一應變曲線

應力一一應變曲線如圖3-4中實線所示。

低碳鋼壓縮時的比例極限屈服極限彈性模最E與拉伸時基本相同，但他不出

r?

抗壓強度叫,

1.3.3鑄鐵拉伸時的力學性能

<(>

圖3-5鑄鐵拉伸時的應力一應變曲線

應力---應變曲線如型3-5所不。

應力與應變無明顯的線性關系，拉斷前的應變很小，試驗時只能側(cè)得抗拉強度彈

性模量E以總應變?yōu)?.1%時的割線斜率來度量。

133鑄鐵壓縮時的力學性能

應力----應變曲線如型3-6所示。

u>

圖3-6鑄鐵壓縮時的應力一應變曲線

鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大4—5倍，破壞時破裂面與軸線成45。?35°。宜于做

抗壓構(gòu)件。

1.3.4塑性材料和脆性材料

延伸率5〉5%的材料稱為塑性材料。

延伸率b〈5%的材料?稱為脆性材料。

1.3.5屈服強度?2

對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生().2%的殘余應變時所對應的應力

作為屈服強度，并以表示。

1.4強度計算

許用應力材料正常工作容許采用的最高應力，止極限應力除以安全系數(shù)求得。

塑性材料［。］=2;脆性材料［。］="

其中4,％稱為安全系數(shù)，且大于1。

強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應力不得超過材料的許用應力。

對軸向拉伸(壓縮)桿件

a=—<［CT］(3-9)

AL」

按式(1-4)可進行強度校核、截面設計、確定許克載荷等三類強度計算。

2.扭轉(zhuǎn)變形

2.1切應力互等定理

受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向

同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應力與否無關。

2.2純剪切

單元體各側(cè)面上只有切應力而無正應力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應力狀態(tài)。

2.3切應變

切應力作用卜，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應變或切應變，用匯表示。

2.4剪切胡克定律

在材料的比例極限范第內(nèi)，切應力與切應變成正比，即

T=Gy(3-10)

式中G為材料的切變模量，為材料的乂一彈性常數(shù)(另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松

比V)，其數(shù)值由實驗決定。

對各向同性材料,E、v.G有下列關系

E

G=-----------(3-11)

2(1+v)

2.5圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時應力和強度條件

251橫截面上切應力分布規(guī)律

用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過

平面假設，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應力分布規(guī)律和大小。

(1)沿半徑成線性分布，圓心處7=0,最大切應力在圓截面周邊上。

(2)切應力方向垂直半徑，圓截面上切應力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3?7。

2.5.2切應力計算公式

橫截面上某一點切應力大小為

(3-12)

式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩,戶為欲求的點至圓心的距離。

圓截面周邊上的切應力為

T

「max(3-13)

式中叱=41稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。

，R

2.5.3切應力公式討論

(1)切應力公式(3-12)和式(3-13)適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓

截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應用，其誤差在工程允

許范圍內(nèi)。

(2)極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)叱是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面枳

不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力

愈強。因此，設計空心軸比實心軸更為合理,

表3-3

jrdA

p-32

實心圓

（外徑為d）

叱包

116

空心圓

〃32d

（外徑為D,a=一

D

內(nèi)徑為d）

W=—(1-?4)

’t16

2.5.4強度條件

圓軸扭轉(zhuǎn)時、全軸中最大切應力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強

度條件為

r^=—4]（3-14）

\%/max

對等圓截面直桿

%x=—<[r]（3-15）

L

Wt」

式中[〃為材料的許用切應力。

3.彎曲變形的應力和強度計算

3.1梁橫截面上正應力

3.1.1中性層的曲率與彎矩的關系

1M

-二萬（3-16）

PW

式中，夕是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；/后是橫截面對中性軸Z

軸的慣性矩。

3.1.2橫截面上各點彎曲正應力計算公式

M

F(3-17)

式中，M是橫截面上的彎矩；人的意義同上；y是欲求正應力的點到中性軸的距離。

由式（3?17）可見，正應力。的大小與該點到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一

側(cè)為拉應力，另一側(cè)為壓應力。

在實際計算中，正應力的正負號可根據(jù)梁的變形情況來確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點均

為拉應力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點均為壓應力。

最大正應力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處

5儂二崢7M』(3-18)

W.

式中，k二」一稱為抗彎截面系數(shù)。對于/zxb的矩形截面，W.=-bh2-,對于直徑為D

'max'6

的圓形截面，憶=二。二對于內(nèi)外徑之比為。=8■的環(huán)形截面，底=二。（1--）。

32D’32

若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應力與最大壓應力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大

拉應力與最大壓應力數(shù)值不相等。

3.2梁的正應力強度條件

梁的最大工作應力不得超過材料的容許應力，其表達式為

心=必以傘］（3-19）

ma\%LJ

由正應力強度條件可進行二方面的計算：

（1）校核強度即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應力以及所受載荷，校核正應力

是否超過容許值，從而檢撿梁是否安全。

（2）設計截面即已知載荷及容許應力,可由式憶之max確定截面的尺寸

百

（3）求許可載荷即已知截面的幾何尺寸及容許應力，按式“％用V匕確定許

可載荷。

對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如丁字形截面、上下不等邊

的工字形截面等），其強度條件應表達為

」「—

_二_乙m一ax必W口/1(3-20a)

%電］(3-20b)

*,

式中，分別是材料的容許拉應力和容許壓應力：乂,乃分別是最大忖應力點和最

大壓應力點距中性軸的距啕。

若梁上同時存在有正、負彎矩，在最大正、負彎矩的橫截面上均要進行強度計算。

3.3梁的切應力

譚(3-21)

式中，Q是橫截面上的剪力；S；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩;

L是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。

3.3.1矩形截面梁

切應力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。

切應力計算公式

60|h2

y2(3-22)

hh3[4

最大切應力發(fā)生在中性軸各點處，ra=--o

32A

3.3.2工字形截面梁

切應力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹

板部分來承擔。

切應力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為

X含，(小〃)+4T。-23)

式中各符號可參看。

另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應力，計算公式為

E=里4(3-24)

2人

翼緣部分的水平切應力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪切應力形成

所謂的剪應力流。由于這部分切應力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中

才用到它。

3.3.3圓形截面梁

橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋

物線變化。

最大切應力發(fā)生在中性軸上，其大小為

_7rd22d

.耍.0丁丁，2

r(3-25)

maxT>_j4oA

圓環(huán)形截面上的切應力分布與圓截面類似。

3.4切應力強度條件

梁的最大工作切應力不得超過材料的許用切應力，即

：

7_QmaxSmax<](3-26)

式中，*■■"11141人是梁上的最大切應力值；SMiiiaa.、s是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；人/是橫

截面對中性軸的慣性矩；b是"方處截面的寬度。對于等寬度截面，