不等式、推理與證明第七章第2講二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題【考綱導學】1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)．2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式(組)．3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，并能加以解決．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．二元一次不等式表示的平面區域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側所有點組成的__________．我們把直線畫成虛線以表示區域________邊界直線．當我們在坐標系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區域時，此區域應______邊界直線，則把邊界直線畫成______．(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側的所有點(x，y)，把它的坐標(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都______，所以只需在此直線的同一側取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的______即可判斷Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側的平面區域．平面區域不包括包括實線相同符號2．線性規劃相關概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的______不等式(或方程)組成的不等式組目標函數欲求________或________的函數線性目標函數關于x，y的______解析式可行解滿足______________的解可行域所有________組成的集合最優解使目標函數取得________或________的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的________或________問題一次最大值最小值一次線性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3．重要結論(1)畫二元一次不等式表示的平面區域的直線定界，特殊點定域：①直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；②特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有①當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；②當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最優解和可行解的關系：最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解．最優解不一定唯一，有時唯一，有時有多個．1．下列各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區域內的是(

)A．(0,0)

B．(－1,1)

C．(－1,3)

D．(2，－3)【答案】C【解析】把各點的坐標代入可得(－1,3)不適合．故選C．【答案】C【解析】用特殊點代入，比如(0,0)，容易判斷為C．A

B

C

D

【答案】C【答案】－10【解析】作出不等式組滿足的平面區域，如圖所示，由圖知當目標函數z＝2x＋3y－5經過點A(－1，－1)時取得最小值，即zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.5．(教材習題改編)投資生產A產品時，每生產100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產B產品時，每生產100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為__________(用x，y分別表示生產A，B產品的噸數，x和y的單位是百噸)．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(

)(2)線性目標函數的最優解可能是不唯一的．(

)(3)線性目標函數取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上．(

)(4)在目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(

)(5)不等式x2－y2<0表示的平面區域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區域．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√課堂考點突破2二元一次不等式(組)表示的平面區域【答案】(1)A

(2)B【解析】(1)易知直線y＝k(x－1)－1過定點(1，－1)，畫出不等式組表示的可行域示意圖，如圖所示．當直線y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1兩條虛線之間時，表示的是一個三角形區域．所以直線y＝k(x－1)－1的斜率的范圍為(－∞，－1)，即實數k的取值范圍是(－∞，－1)．故選A．【規律方法】二元一次不等式(組)表示平面區域的判斷方法：直線定界，測試點定域，注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，則測試點常選取原點．【答案】A

求目標函數的最值【考向分析】線性規劃問題是高考的重點，而線性規劃問題具有代數和幾何的雙重形式，多與函數、平面向量、數列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透，自然地融合在一起，使數學問題的解答變得更加新穎別致．常見的考向有：(1)求線性目標函數的最值；(2)求非線性目標函數的最值；(3)線性規劃中的參數問題．【答案】(1)4

(2)－3

求目標函數的最值

【答案】(1)C

(2)3求非線性目標函數的最值【解析】(1)畫出可行域如圖所示，點A(3，－1)到原點距離最大，所以(x2＋y2)max＝10，選C．線性規劃中的參數問題【答案】(1)B

(2)D【解析】(1)畫出不等式組表示的平面區域如圖陰影部分所示，若z＝ax＋y的最大值為4，則最優解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0.若最優解為x＝1，y＝1，則a＋1＝4，即a＝3，經檢驗，不符合題意；若最優解為x＝2，y＝0，則2a＋0＝4，即a＝2，經檢驗，符合題意．故選B．(2)由題中條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，則zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目標函數取得最大值的最優解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.故選D．【規律方法】1.求目標函數的最值3步驟：(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平行直線系中過原點的那一條直線．(2)平移——將l平行移動，以確定最優解的對應點的位置．(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優解)，代入目標函數，即可求出最值．線性規劃的實際應用

某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次．A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天從甲地去乙地的運送人數不少于900人，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？【規律方法】解線性規劃應用問題的一般步驟：(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數；(3)作出可行域并利用數形結合求解；(4)作答．【答案】D課后感悟提升31個技巧——直線定界，特殊點定域確定二元一次不等式表示的平面區域時，經常采用“直線定界，特殊點定域”的方法，即先作出不等式對應的直線，直線把坐標平面分成兩個區域，再選擇一個特殊點來判斷不等式表示的平面區域是哪一個．3．種題型——線性規劃問題的常見題型(1)求目標函數的最值或值域．(2)由目標函數的最值確定參數的取值范圍．(3)線性規劃的實際應用問題．3．(2016年新課標Ⅰ)某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5k