-----運用向量解決空間的距離問題3.2立體幾何中的向量辦法(四)向量法求空間距離的求解辦法1.空間中的距離重要有:兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、平行平面的距離、異面直線間的距離.其中直線到平面的距離、平行平面的距離都能夠轉化點到平面的距離.2.空間中兩點間的距離:設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),則3.求點到平面的距離:如圖點P為平面外一點，點A為平面內的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面

的垂線PO，記PA和平面

所成的角為

，則點P到平面的距離n

APO

BAaMNnab4.異面直線的距離:①作直線a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；

②在直線a、b上各取一點

A、B，作向量AB；

③求向量AB在n上的射影

d，則異面直線a、b間的距離為例1：如圖1：一種結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？A1B1C1D1ABCD圖1解:如圖1,不妨設化為向量問題根據向量的加法法則，進行向量運算因此回到圖形問題這個晶體的對角線的長是棱長的倍。典例思考：(1)本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？(2)如果一種四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么有這個四棱柱的對角線的長能夠擬定棱長嗎?A1B1C1D1ABCD(3)本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少?(提示：求兩個平行平面的距離，普通歸結為求點到平面的距離或兩點間的距離）思考(1)分析:思考(2)分析:∴這個四棱柱的對角線的長能夠擬定棱長.A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離轉化為點面距離來求解：∴所求的距離是思考(3)本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少?如何用向量法求點到平面的距離?(1)求B1到面A1BE的距離；例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求下列問題：例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求下列問題：(2)求D1C到面A1BE的距離；解:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距離即為D1C到面A1BE的距離仿上法求得例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求下列問題：(3)求面A1DB與面D1CB1的距離；解:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距離即為面D1CB1到面A1BD的距離例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為1，E為D1C1的中點，求下列問題：(4)求異面直線D1B與A1E的距離.課堂練習:練習1：如圖，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結DE，計算DE的長。OABCDEFEB1C1D1DCA練習2：已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點，求點A1到平面DBEF的距離。BxyzA1練習3：如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,求B1到平面A1BC的距離。B1A1BC1ACxyz小結運使用方法向量來解決上述立體幾何題目，最大的優點就是不用象在進行幾何推理時那樣去擬定垂足的位置，完全依靠計算就能夠解決問題。但是也有局限性，用代數推理解立體幾