第四章

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

考古學(xué)中，經(jīng)常是利用放射性物質(zhì)的衰減檢驗(yàn)出土文物的年限。

例如，我國(guó)的浙江杭州市余杭區(qū)良儲(chǔ)和瓶窯鎮(zhèn)在1936年首次發(fā)現(xiàn)巨型城址，面積近630萬(wàn)平方米，包括古城、水壩何多出高等級(jí)建筑。考古學(xué)家利用遺址中的碳14的殘留量測(cè)定，古城存在時(shí)期為公元前3300年-前2300年。你知道考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代時(shí)用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)嗎?

實(shí)際上，考古學(xué)家所用的數(shù)學(xué)知識(shí)是我們本章所學(xué)的指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。例如，在自然條件下，細(xì)胞分裂、人口增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等問(wèn)題，都可以利用指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行刻畫(huà)他們的變化規(guī)律。

學(xué)習(xí)目標(biāo)一二三目標(biāo)理解根式的含義，了解指數(shù)冪的拓展過(guò)程掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)溫故知新1、整數(shù)指數(shù)冪其中a是底數(shù)，n是指數(shù)，an是冪2、運(yùn)算性質(zhì)新課導(dǎo)入

新知探究如果x3=a，那么x叫做a的三次方根/立方根

如果x4=a，那么x叫做a的四次方根……如果x5=a，那么x叫做a的五次方根如果xn=a，那么x叫做a的n次方根概念生成1.n次方根的概念一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.新知探究如果x3=a，那么x叫做a的立方根如果x2=a，那么x叫做a的平方根如果x4=a，那么x叫做a的四次方根……如果xn=a，那么x叫做a的n次方根

如果x5=a，那么x叫做a的五次方根新知探究aa的平方根490-4-9aa的立方根2780-8-27aa的五次方根3210-1-32±2±30320-2-3210-1-2aa的四次方根81160-16-81±3±20歸納小結(jié)

（3）

負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.（4）0的任何次方根都是0.記作：2.n次方根的性質(zhì)歸納小結(jié)

（3）

負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.（4）0的任何次方根都是0.記作：

2.n次方根的性質(zhì)概念生成

根指數(shù)被開(kāi)方數(shù)

說(shuō)明：3.根式的概念新知探究

新知探究

新知探究

新知探究

不一定

新知探究

不一定

新知探究

不一定

2-2新知探究

不一定

2-2新知探究

不一定

2-2

新知探究

不一定

2-2

33新知探究

不一定

2-2

33

新知探究

不一定

2-2

33

44新知探究

不一定

2-2

33

44歸納小結(jié)4.根式的性質(zhì)

典例解析

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

新知探究問(wèn)題4（1）能否將下列根式轉(zhuǎn)換為冪的形式？

結(jié)論：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),

根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.追問(wèn)：觀察以上式子，有何發(fā)現(xiàn)？新知探究問(wèn)題4（2）利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

新知探究問(wèn)題4（2）利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

新知探究問(wèn)題4（2）利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

新知探究問(wèn)題4（2）利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

結(jié)論：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí),

根式也可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.概念生成5.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（a>0，m、n∈N*,n>1）被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)根指數(shù)規(guī)定，正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：規(guī)定，正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：（a>0，m、n∈N*,n>1）規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)意義.概念剖析

不可以！追問(wèn)2：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪能約分嗎？不可以！結(jié)論：①分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化.②分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可隨意約分.約分之后可能會(huì)改變根式有意義的條件.

歸納總結(jié)

6.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)歸納總結(jié)

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減6.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)歸納總結(jié)

②當(dāng)a<0,b<0時(shí)運(yùn)算法則不一定成立.只有當(dāng)a>0,b>0時(shí)運(yùn)算法則才一定成立.

注意：①法則的逆用：

同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減6.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)典例解析

典例解析

例3用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示并計(jì)算下列各式(其中a>