考法5目錄Contents考情精解讀考點1考點2考點3A.知識全通關(guān)B.題型全突破考法1考法2考法4考法3考法61/41考情精解讀2/41

考綱解讀命題趨勢命題規(guī)律考情精解讀1數(shù)學第十四章推理與證實考試綱領(lǐng)011.了解合情推理含義,能利用歸納和類比等進行簡單推理,了解合情推理在數(shù)學發(fā)覺中作用.2.了解演繹推理主要性,掌握演繹推理基本模式,并能利用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間聯(lián)絡(luò)和差異.4.了解直接證實兩種基本方法——分析法和綜正當;了解分析法和綜正當思索過程、特點.5.了解間接證實一個基本方法——反證法;了解反證法思索過程、特點3/41考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢數(shù)學第十四章推理與證實考點全國全國全國自主命題區(qū)域合情推理與演繹推理【5%】全國Ⅱ,16,5分全國Ⅰ,14,5分山東,12,5分直接證實與間接證實【20%】全國Ⅰ,22,10分山東,18,12分浙江,20,15分江蘇,16,14分山東,4,5分4/41考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀3返回目錄1.熱點預(yù)測合情推理普通以新定義、新規(guī)則形式考查,題型以選擇題、填空題為主,分值為5分,而演繹推理以及直接證實和間接證實常以不等式、數(shù)列、解析幾何、函數(shù)等為背景來考查,題型以解答題為主,分值為12分.2.趨勢分析預(yù)測仍將重點考查歸納、類比推理,難度可能會提升,對直接、間接證實考查會綜合到函數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)列等方面,滲透到多題之中,尤其要注意不等式放縮應(yīng)用.命題趨勢數(shù)學第十四章推理與證實5/41知識全通關(guān)6/41知識全通關(guān)1考點1

合情推理與演繹推理繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實1.合情推理合情推理包含歸納推理和類比推理,二者區(qū)分以下:歸納推理類比推理定義由某類事物部分對象含有一些特征,推出該類事物全部對象都含有這些特征推理,或者由個別事實概括出普通結(jié)論推理由兩類對象含有一些類似特征和其中一類對象一些已知特征,推出另一類對象也含有這些特征推理特點由部分到整體,由個別到普通推理由特殊到特殊推理普通步驟(1)經(jīng)過觀察個別對象發(fā)覺一些相同性質(zhì);(2)從已知相同性質(zhì)中推出一個明確普通性命題(猜測)(1)找出兩類對象之間相同性或一致性;(2)用一類對象性質(zhì)去推測另一類對象性質(zhì),得出一個明確命題(猜測)7/41知識全通關(guān)2數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習2.演繹推理演繹推理是從普通性原理出發(fā),推出某個特殊情況下結(jié)論推理方法,它是由普通到特殊推理,演繹推理普通模式是“三段論”,其結(jié)構(gòu)和表示以下:“三段論”結(jié)構(gòu)①大前提——已知條件;②小前提——所研究特殊情況;③結(jié)論——依據(jù)普通原理,對特殊問題作出判斷“三段論”表示①大前提——M是P;②小前提——S是M;③結(jié)論——S是P8/41知識全通關(guān)3數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習【注意】(1)在演繹推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一個是錯誤,所得結(jié)論就是錯誤.(2)若大前提不明確時,可找一個使結(jié)論成立充分條件作為大前提.9/41知識全通關(guān)4數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習考點2

直接證實與間接證實內(nèi)容綜正當分析法定義利用已知條件和一些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列推理論證,最終推導出所要證實結(jié)論成立方法從要證實結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立充分條件,直到最終,把要證實結(jié)論歸結(jié)為判定一個顯著成立條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止思維過程由因?qū)Ч?順推證法)執(zhí)果索因框圖表示P表示已知條件、已經(jīng)有數(shù)學定義、公理、定理、性質(zhì)等,Q表示所要證實結(jié)論P?Q1→Q1?Q2→…→Qn?QQ?P1→P1?P2→…→得到一個顯著

成立條件文字語言因為……,所以……,或由……得……,或“?”要證(欲證)……,只需證……,即證……1.直接證實10/41知識全通關(guān)5數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習綜正當與分析法各有優(yōu)缺點,分析法思索起來比較簡單,易找到解題思緒和方法,缺點是敘述煩瑣;綜正當從條件推結(jié)論,步驟簡單,但不便于思索.實際應(yīng)用中,通常將它們結(jié)合起來使用,先用分析法探索證實路徑,再用綜正當敘述出來.【辨析比較】11/41知識全通關(guān)6數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習2.間接證實——反證法(1)定義假設(shè)原命題不成立(即在原命題條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確推理,最終得出矛盾,所以說明假設(shè)錯誤,從而證實了原命題成立,這么證實方法叫作反證法.(2)證實步驟①反設(shè)——假設(shè)命題結(jié)論不成立,即假設(shè)原結(jié)論反面為真;②歸謬——把“反設(shè)”作為條件,經(jīng)過一系列正確推理,得出矛盾;③存真——由矛盾結(jié)果斷定反設(shè)錯誤,從而必定原結(jié)論成立.12/41知識全通關(guān)7數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習【注意】

(1)反設(shè)命題時慣用詞語否定詳見《高考幫》P015一些常見詞語否定總結(jié).(2)歸謬時,常見矛盾情況有與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾,與假設(shè)矛盾,與公認簡單事實或顯然成立結(jié)論矛盾,自相矛盾等.13/41知識全通關(guān)8數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習【名師提醒】

應(yīng)用反證法證題時,必須先否定結(jié)論,把結(jié)論反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推理,不然,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.14/41題型全突破15/41考法1歸納推理繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破1考法指導

歸納推理問題常見類型及解題策略(1)與等式或不等式相關(guān)問題.觀察所給幾個等式或不等式兩邊式子特點,注意從縱向看,發(fā)覺隱含規(guī)律.(2)與數(shù)列相關(guān)問題.先求出幾個特殊現(xiàn)象,歸納所得結(jié)論是上述未知普通現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包含范圍,從而由特殊結(jié)論推廣到普通結(jié)論.(3)與圖形改變相關(guān)問題.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)?16/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破2考法示例1

[陜西高考]觀察以下等式據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為

.

思緒分析

觀察等式→尋找規(guī)律→得結(jié)論17/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破3解析

觀察所給等式左右能夠歸納出

.18/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破4考法示例2

某種平面分形圖如圖15-1所表示,一級分形圖是由一點出發(fā)三條線段,長度均為1,兩兩夾角為120°;二級分形圖是在一級分形圖每條線段末端出發(fā)再生成兩條長度為原來線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°,……,依此規(guī)律得到n級分形圖.(1)n級分形圖中共有

條線段;

(2)n級分形圖中全部線段長度之和為

.19/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破5解析

(1)由題圖知,一級分形圖有3=3×2-3(條)線段,二級分形圖有9=3×22-3(條)線段,三級分形圖中有21=3×23-3(條)線段,按此規(guī)律,n級分形圖中線段條數(shù)為an=3×2n-3(n∈N*).(2)∵從分形圖每條線段末端出發(fā)再生成兩條長度為原來線段,∴n級分形圖中第n級全部線段長度和為

(n∈N*),∴n級分形圖中全部線段長度之和為

.思緒分析

(1)經(jīng)過觀察下一級分形圖與上一級分形圖之間線段條數(shù)關(guān)系,歸納出n級分形圖中線段條數(shù)表示式規(guī)律;(2)先求出n級分形圖中第n級全部線段長度,然后再利用等比數(shù)列求和公式可求出n級分形圖中全部線段長度之和.20/41考法2類比推理繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破6考法指導

1.進行類比推理,應(yīng)從詳細問題出發(fā),經(jīng)過觀

察、分析、聯(lián)想進行對比,提出猜測.從中找到適當類比對象是解題關(guān)鍵.2.類比推理常見情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;數(shù)運算與向量運算類比;圓錐曲線間類比等.21/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破7考法示例3知命題:若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且am=a,an=b(m≠n,m,n∈N*),則am+n=現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn}(b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*),若類比上述結(jié)論,則可得到bm+n=

.

思緒分析

分析等差數(shù)列、等比數(shù)列區(qū)分→分析原命題特征→得到新命題22/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破8解析

等差數(shù)列中bn和am能夠類比等比數(shù)列中bn和am,等差數(shù)列中bn-am能夠類比等比數(shù)列中,等差數(shù)列中

能夠類比等比數(shù)列中,故bm+n=

.23/41考法3演繹推理繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破9考法指導

數(shù)學問題處理和證實都蘊含著演繹推理,即一連串三段論,關(guān)鍵是找到每一步推理依據(jù)——大前提、小前提,注意前一個推理結(jié)論會作為下一個三段論前提.24/41數(shù)學第十四章推理與證實【考法示例4】繼續(xù)學習題型全突破10如圖所表示,D,E,F分別是BC,CA,AB上點,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求證:ED=AF(要求注明每一步推理大前提、小前提和結(jié)論,并最終把推理過程用簡略形式表示出來).【思緒分析】經(jīng)過證實四邊形AFDE為平行四邊形來證實ED=AF.25/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破11【解析】

同位角相等,兩條直線平行,(大前提)∠BFD與∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(結(jié)論)兩組對邊分別平行四邊形是平行四邊形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形.(結(jié)論)平行四邊形對邊相等,(大前提)ED和AF為平行四邊形對邊,(小前提)所以ED=AF.(結(jié)論)上面證實可簡略地寫成:26/41考法4直接證實繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破12考法指導

1.綜正當證題思緒

(1)分析條件,選擇方向.分析題目標已知條件及已知與結(jié)論之間聯(lián)絡(luò),選擇相關(guān)定理、公式等,確定恰當解題方法.(2)轉(zhuǎn)化條件,組織過程.把已知條件轉(zhuǎn)化成解題所需要語言,主要是文字、符號、圖形三種語言之間轉(zhuǎn)化.

(3)適當調(diào)整,回顧反思.回顧解題過程,可對部分步驟進行調(diào)整,并對一些語言進行適當修飾,反思總結(jié)解題方法選取.27/41繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破132.分析法證題思緒逆向思索是用分析法證題主要思想,經(jīng)過反推,逐步尋找使結(jié)論成立充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解關(guān)鍵.在處理實際問題時,常把分析法和綜正當綜合起來利用,通慣用分析法探索證實路徑,然后用綜正當加以證實,對于較復(fù)雜問題,能夠采取兩頭湊方法,即經(jīng)過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)中間結(jié)論,然后經(jīng)過綜正當由條件證實這個中間結(jié)論,從而使原命題得證.28/41.數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破14考法示例5已知x+y+z=1,求證:x2+y2+z2≥1/3.思緒分析利用基本不等式進行整理變形,然后利用x+y+z=1得證..29/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破15解析

∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥1/3.

點評

利用綜正當證實不等式是不等式證實慣用方法之一,即充分利用已知條件經(jīng)過推理論證推導出正確結(jié)論,是順推法和由因?qū)Ч?其邏輯依據(jù)是三段論式演繹推理方法,這就需確保前提正確,推理合乎規(guī)律,這么才能確保結(jié)論正確.30/41.數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破1431/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破1532/41考法5

間接證實繼續(xù)學習數(shù)學第十四章推理與證實題型全突破16考法指導

反證法是處理一些“疑難”問題有力工具,它適用范圍為:(1)否定性命題;(2)命題結(jié)論中出現(xiàn)“最少”“至多”“唯一”等詞語;(3)命題成立非常顯著,直接證實所用理論太少,且不輕易證實,而其逆否命題非常輕易證實;(4)要討論情況很復(fù)雜,而反面情況很簡單.應(yīng)用反證法時,當原命題結(jié)論反面有各種情況時,要對結(jié)論反面每一個情況都進行討論,從而到達否定結(jié)論目標.33/41數(shù)學第十四章推理與證實【考法示例7】繼續(xù)學習題型全突破17等差數(shù)列{an}前n項和為(1)求數(shù)列{an}通項an與前n項和Sn;(2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不一樣三項都不可能成為等比數(shù)列.34/41數(shù)學第十四章推理與證實繼續(xù)學習題型全突破18(2)由(1),得bn=

，假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列,則

=bpbr,即所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.因為p,q,r∈N*,所以所以所以p=r,這與p≠r矛盾,所以數(shù)列{bn}中任意不一樣三項都不可能成為等比數(shù)列.【點評】：對于從正面入手較困難證實問題，普通優(yōu)先考慮間接證實，即“正難則反”.本題第（2）問中含有“任意”，要直接證實顯然有難度，所以我們考慮用反證法證實。35/41例析類比推理命題特點繼續(xù)學習

數(shù)學第十四章推理與證實能力大提升1類比推理是由特殊到特殊推理,借助類比推理能夠推測未知、發(fā)覺新結(jié)論、探索和提供處理問題思緒和方法.這正像著名數(shù)學家波利亞所說:“類比是一個偉大引路人.”所以,在處理一些數(shù)學問題時,若能合理地利用類比,可為問題處理開辟一條便捷之路.在近年各類考試中,類比推理題頻頻亮相.下面就經(jīng)過介紹類比推理一些命題特點,揭示求解規(guī)律,希望對同學們求解這類問題有所幫助.36/41繼續(xù)學習

數(shù)學第十四章推理與證實能力大提升21.類比定義示例8等和數(shù)列定義是:若數(shù)列{an}(n∈N*)從第二項起,以后每一項與前一項和都是同一常數(shù),則此數(shù)