2024-2025學年上海市奉賢區高二下學期3月月考數學質量檢測試題一、填空題(本大題共12題，滿分54分.其中第1-6題每題滿分4分，第7-12題滿分5分)1.首項為2，公比為的無窮等比數列的各項和為_____.【正確答案】6【分析】先由等比數列的求和公式，得到前項和，對前項和求極限，即可得出結果.【詳解】因為無窮等比數列的首項為，公比為，因此其前項和為，所以的各項的和為.故2.已知數列的前項和滿足，則的通項公式為_____【正確答案】【分析】利用數列的前

項和

與通項

的關系計算.【詳解】當

時，；當

時，.,代入通項公式：,驗證

時：若直接代入

，得

，與

矛盾，故需分段表示.因此，通項公式為分段形式.故答案為.3.已知等比數列的前項和滿足，則_____.【正確答案】273【分析】由等比數列片段和的性質可解.【詳解】等比數列的前項和滿足成等比數列，所以，即.故2734.已知數列滿足，則的通項公式為_____.【正確答案】【分析】由遞推公式構造等比數列，再由基本量法可得.【詳解】由題意可得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，即，所以.故答案為.5.數列均為等差數列，其前項和分別為，則_____【正確答案】【分析】由等比數列前項和的性質即可求解.【詳解】由等差數列的性質可得：，故6.已知，則_____.【正確答案】200【分析】由對數的運算性質計算即可.【詳解】，.故2007.已知數列滿足，則的通項公式為_____【正確答案】【分析】通過遞推公式得到相鄰兩項的比值關系，然后利用累乘法求出數列的通項公式.【詳解】已知，將換為，可得，那么（）.

利用累乘法求（），由（）可得：觀察發現，約分后可得（）.

當時，，與已知相符.所以，.

故，.8.已知數列滿足，則其前2023項的和為_____.【正確答案】【分析】由遞推公式確定數列周期，即可求解.【詳解】由，可得：，由題意，所以，所以易知是周期為2的數列，所以也是是周期為2的數列，且，即，所以，故9.已知數列滿足，則的通項公式為_____.【正確答案】【分析】遞推公式兩邊取對數后由等比數列的基本量法可得.【詳解】兩邊取對數可得，所以是以2為公比，首項為為首項的等比數列，即，即，所以的通項公式為.故答案為.10.已知數列滿足，若恒成立，則的取值范圍是_____.【正確答案】【分析】對和兩種情況分類討論，即可得到結果.詳解】①若，則.上式對任意正整數成立，所以也有，從而有an+2?②若，則，而當n>λ?12時，又有.從而至少存在一個，但至多存在有限個正整數，使得.取其中最大的正整數，那么，，從而，不滿足條件.綜上所述，的取值范圍是.故答案為.11.已知上的點與軸上的點構成：正三角形，設正三角形的邊長為，則數列的通項公式為_____.【正確答案】【分析】由是邊長為的正三角形，得的坐標，再將其坐標代入中，可求出的值，

又由于每一個三角形都為正三角形，從而可得，再將點的坐標代入中，可得，再由求出，所以數列為等差數列，從而可求得.【詳解】由條件可得為正三角形，且邊長為，，由在曲線上，得，，根據題意，設，得點在曲線上，所以，整理得.當，時，，∴，即.，，當時，，即，解得或（舍），故所以數列是首項為，公差為的等差數列，.故答案為.12.已知數列滿足，數列滿足，且對任意正整數，數列的第項始終等于數列的第項，數列滿足，則數列的通項公式為_____.【正確答案】【分析】先由題意得到，然后得到，再由列項相消法求解即可.【詳解】由題意可得，即，因為，所以，同理，因為，所以，以此類推可得.所以.故答案為.二、選擇題(本大題共4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分)13.“”是“是等比數列”的（）條件A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要【正確答案】D分析】舉反例可得充分性不成立，由等比中項可得必要性不成立.【詳解】若，則，但不是等比數列，充分性不成立；若是等比數列，則，則，必要性不成立，所以“”是“是等比數列”的既非充分又非必要條件.故選：D14.已知等差數列的首項為正數，其前項和滿足，則當取到最大值時，（）A. B.或 C. D.或【正確答案】A【分析】先推出，再利用的正負性得到答案.【詳解】由于，，故，即.這意味著0=a9+這表明當時，有an=a9?9?n所以對有，對有，這就意味著在時最大.故選：A.15.對于數列，若存在實數，使得對任意正整數都成立，則稱數列是線性數列，則對于:①等差數列一定是線性數列；②等比數列一定是線性數列，下列說法正確的是（）A.①正確②正確 B.①正確②錯誤C.①錯誤②正確 D.①錯誤②錯誤【正確答案】A【分析】根據“線性數列”的定義進行判斷【詳解】數列為等差數列，則，即，滿足“線性數列”的定義，故①正確；數列為等比數列，則，即，滿足“線性數列”的定義，故②正確；故選：A16.若數列滿足:存在常數，使得對于任意給定的正數(無論多小)，總存在正整數，使得當時，恒有，就稱數列收斂于，稱數列為收斂數列.則下列結論中正確的有（）個①數列不收斂數列②若數列為收斂數列，則存在正實數，使得對任意正整數，都有③若數列和為收斂數列，則數列不一定為收斂數列④若數列和為收斂數列，則數列不一定為收斂數列A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】A【分析】根據新定義證明是一個收斂數列，即可判斷①，取即可判斷②，證明、一定為收斂數列，即可判斷③④，從而得到結果.【詳解】對于①：因為，當無限大時，無限趨近于，那么無限趨近于，即對于任意給定的正數，總存在正整數，使得當時，恒有，所以數列是收斂數列，故①錯誤；對于②：當時，，則，當時，中最大的項為，取，則，故②正確；對于③：對任意的，取，當時，恒有，當時，，故當n>max則，故數列一定為收斂數列，故③錯誤；對于④：對任意的，令，取，當時，恒有，當時，恒有，故當n>maxN，故數列一定為收斂數列，故④錯誤.故選：A關鍵點點睛：本題考查了數列的新定義問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用數列的新定義，構造類似的關系，是解題的關鍵.三、解答題(本大題共5題，滿分78分，其中第17-19題每題滿分14分，第20-21題每題滿分18分)17.已知數列滿足（1）求數列的通項公式（2）若數列滿足，求數列的前項和【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由累加法結合等差數列的求和公式可得；（2）分和兩種情況利用等差數列的求和公式求解.【小問1詳解】由已知可得，故當時，，，，…….，累加后可得，所以，當時，代入成立，所以數列的通項公式為.【小問2詳解】，當時，，此時；當時，，，綜上T18.已知數列滿足，數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的最大項.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據題意判定數列為等比數列，利用等比數列的通項公式寫出答案；（2）利用作商法研究數列的單調性，進而得解.【小問1詳解】由已知可得，數列是首項為,公比等比數列，所以；【小問2詳解】,,解得；解得.當時，，,當時，比值小于1，數列開始遞減,因此，數列的最大項為，出現在第1項和第2項.數列的最大項為.19.某地區要進行沙漠治理，已知第1年該地區有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，30%是綠洲.從第2年起，該地區進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造成綠洲，而原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕后又變成沙漠.設第年的綠洲面積為萬平方千米（1）求數列的通項公式（2）從第幾年起，綠洲面積占土地面積的比例超過60%？【正確答案】（1）（2）6【分析】（1）由題意得到遞推公式，再構造數列然后由等比數列的基本量法求出；（2）令，再由對數的運算性質可得.【小問1詳解】由題意，當時，，變形為，，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，即，所以數列的通項公式.【小問2詳解】由題意可得?1于是，因為，即，又，所以從第6年起.20.已知數列的前項和為，且.（1）證明:為等比數列（2）求數列的通項公式（3）求數列的前項和【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用關系變形已知等式，再同時除以可得；（2）先由等比數列的基本量法求出的通項，再利用關系可得；（3）由錯位相減法求和即可.【小問1詳解】由題意可得，即，兩邊同時除以可得，又，所以是以1為首項，3為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）得，當時，，化簡可得，當時，代入也成立，所以.【小問3詳解】因為，則，，兩式作差可得，所以.21.定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”，例如：數列1，3，5經過第一次“和擴充”后得到數列1，4，3，8，5；第二次“和擴充”后得到數列1，5，4，7，3，11，8，13，5.設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，所有項的和為.（1）若，求(直接寫出答案)；（2）求滿足不等式的正整數的最小值；（3）求數列的通項公式.【正確答案】（1）（2）10（3）【分析】（1）由已知，可得第二次“和擴充”后得到數列，即可得到；（2）由已知，數列第次“和擴充”后增加的項數為，可得，可得是首項為4，公比為2的等比數列，可得，則，可解得；（3）由已知，可得，進而可得，從而得到結論.【