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數理統計收集、整理數據統計推斷概率論：從已知分布出發，研究r.v.X的性質、規律、數字特征等等。數理統計：X的分布不知道或不完全知道，觀察它的取值（采集數據），通過分析數據來推斷X服從什么分布或確定未知參數。2數理統計的基本概念總體與樣本常用統計量統計抽樣分布Ch5樣本及抽樣分布3§5.1

總體與樣本1.總體：研究對象的全體總體是一個帶有確定概率分布的隨機變量個體：構成總體的每個單元2.樣本：抽自總體的若干個體樣本容量:樣本中個體的個數43.簡單隨機樣本樣本X1,…,Xn滿足:①它們相互獨立②它們與總體具有相同分布特點:獨立,同分布(具有代表性,代表總體)獲取方式:有放回抽樣則稱X1,…,Xn為簡單隨機樣本.它們的觀測值記為x1,…,xn,稱為樣本值.5總體、樣本、樣本觀察值的關系總體樣本樣本觀察值？理論分布

統計是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布4.

樣本的聯合分布離散總體X的概率分布為則樣本聯合分布為：樣本(X1,X2,…,Xn)是一個n維隨機變量連續總體X的概率分布為f(x),則樣本聯合密度為例1.

總體X～B(1,p),求樣本聯合分布.例2.

總體X～N(μ,σ2),求樣本聯合密度.問:

總體X～U[a,b]呢?5.樣本觀測值的分布函數已知總體的分布便可求出樣本的聯合分布.但在實際問題中,總體的分布通常是未知的,需要通過樣本的觀測值來推斷.所以我們需要研究樣本觀測值的分布函數.例3.

樣本值1,2,1,3,1,2樣本值123頻率3/62/61/6樣本分布函數若總體分布函數為F(x),則經驗分布函數依概率收斂于總體分布函數.即經驗分布函數是總體分布函數的近似.6.頻率直方圖樣本觀測值x1,x2,…,xn(1)排序x(1)≤x(2)

≤…≤x(n)(2)分組a<x(1),b>x(n)

組數m5≤m≤15組間距(b-a)/m(3)統計(4)作圖以組間距為寬度,以fi/Δi為高作長方形頻率直方圖是總體分布密度f(x)的近似頻數頻率[a,a1)[a1,a2)…[am-1,b)n1n2nmn1/nn2/nnm/n例4.

作物栽培40個試驗條件相同的小區種植某品種大豆，個小區產量（單位：g）的觀測值如下，試制作這一組樣本觀測值的頻率直方圖：707294245768409934264810545557358101946284614077669850587681547511869259776100436034dataex;inputx@@;cards;707294245768409934264810545557358101946284614077669850587681547511869259776100436034;procgchart;vbarx;run;x=[7072942457684099342648...10545557358101946284...6140776698505876815475...11869259776100436034]；hist(x)§5.2

樣本的數字特征一.樣本均值樣本和:樣本均值:二.樣本方差樣本方差修正樣本方差樣本標準差樣本離差平方和修正樣本標準差例1.

證明:例2.

設總體X滿足EX=μ,DX=σ2.

證明:(1)

(2)三.樣本矩樣本k階原點矩:樣本k階中心矩:四.其它樣本數字特征樣本變異系數極差眾數出現次數最多的數p分位數例:設樣本觀測值為1,2,2,3,3,3,4,5,6,7,8,試計算它的數字特征:(1)樣本總和;(2)樣本均值;(3)樣本標準差;(4)修正樣本標準差;(5)樣本變異系數;(6)極差;(7)眾數;(8)中位數;(9)0.75分位數.dataex;inputx@@;cards;12233345678;procunivariatevardef=n;varx;run;位置特征MATLAB函數變異特征MATLAB函數算術平均mean極差range中位數median方差var切尾平均trimmean標準差std幾何平均geomean四分位極差iqr調和平均harmmean平均絕對偏差madx=[12233345678];mean(x)range(x)var(x)24§5.3抽樣分布一.預備知識——統計量的分布Gamma函數性質:25例1.證明:問:261.χ2分布二.數理統計中的常見分布定義:n個獨立的標準正態變量平方和的分布稱為自由度為n的χ2分布自由度:獨立變量的個數問:若X～N(0,1),則X2服從什么分布?27

χ2分布的密度函數性質:(1)若X～χ2(n),則EX=n,DX=2n.

(2)χ2分布具有可加性即:若X～χ2(m),Y～χ2(n),且X和Y獨立,則

X+Y～χ2(m+n).28定義:若X~N(0,1),Y~χ2(n),

且X與Y獨立稱為服從自由度為n的t分布。2.t分布(2)t分布的極限分布是標準正態分布.性質:

(3)t分布的分布密度具有對稱性.292.t分布其概率密度為定義:若,且U,V獨立則稱303.F分布

服從自由度為（n1,n2）的F分布.性質:1)若F～F(n1,n2),則2)若T～t(n),則T2～F(1,n)313.F分布

其概率密度為若隨機變量X的密度為f(x),P{X≤xα}=α,則稱xα為該分布的下α分位數.三.常用分布的分位數若隨機變量X的密度為f(x),P{X>xα}=α,則稱xα為該分布的上α分位數.注:若隨機變量X的密度為f(x),P{X≤}=α/2,P{X≤}=1-α/2則稱

為該分布的雙側α分位數.注：三種分位數之間關系1.2.即三種分位數都能用下側分位數表示34

t分布的分位數性質注:35注：顛倒自由度,查表取倒數.

F分布的分位數性質例1.已知隨機變量X～χ2(n),(1)求χ20.05(9)(上),χ20.975(10)(上);(2)當n=10,α=0.1時,求c1和c2分別使P{X>c1}=α,P{X>c2}=α/2成立.例2.已知隨機變量T～t(n),(1)求t0.025(12)(上),t0.99(12)(上);(2)當n=10,α=0.05時,求c1和c2分別使P{T>c1}=α/2,P{T>c2}=1-α成立.例3.已知隨機變量F～F(n1,n2),(1)求F0.01(10,12)(上),F0.99(10,12)(上);(2)當α=0.05,n1=n2+2=10時,求c1和c2分別使P{F>c1}=α/2,P{F>c2}=1-α成立.查分位數的一般步驟：1.將分位數用下側分位數表示出來；2.查表若表中沒有（t分布、F分布），利用性質轉換后，再查表。§5.4常用的統計量及其分布1.統計量的定義(1)統計量也是隨機變量，也有分布；(2)已知總體X的樣本觀測值，即可算出統計量的觀測值。都是不是定理1.(1)獨立的正態變量的線性函數仍為正態變量;(2)獨立的標準正態變量的平方和～χ2(n)(3)設U,V獨立且U～N(0,1),V～χ2(n),

～t(n)(4)設U,V獨立且U～χ2(n1),V～χ2(n2),

～F(n1,n2)

二.統計中常用分布的生成原理(典型模式)43三.一個正態總體的抽樣分布定理2.設總體X～N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是抽自總體X的簡單隨機樣本,則44例1.設總體X～N(1,4),樣本容量為16,求例2.從正態總體N(3.4,62)中抽取容量為n的簡單隨機樣本,如果要求其樣本均值位于區間(1.4,5.4)內的概率不小于0.95.問樣本容量至少應取多大?45例3.設X1,X2,X3,X4是來自總體X～N(0,4)的樣本,Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2.問a,b為何值時,Y服從自由度為多少的χ2分布?例4.設X1,X2,…,X9和Y1,Y2,…,Y9是來自總體X和Y的樣本.總體X和Y相互獨立且都服從N(0,9).求的概率分布.46例6.例5.設X1,X2,…,X9是來自總體X～N(μ,σ2)的樣本,Y1=(X1+X2+…+X6)/6,Y2=(X7+X8+X9)/3,,證明:Z～t(2).47四.兩個正態總體的抽樣分布定理3.設總體X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,σ22),且X和Y相互獨立.X1,X2,…,Xn1是來自總體X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是來自總體Y的樣本.則48例7.設總體X～N(20,3),分別從X中取出容量為10及15兩個獨立樣本,若它們的均值分別為和,試求五.非正態總體的樣本均值分布例8.將一枚質地均勻的硬幣上拋120次,試求正面朝上的頻率在0.4至0.6之間的概率.由獨立同分布的中心極限定理,當n充分大時,非正態總體的樣本均值

～近似定理4.(順序統計量的抽樣分布)

設總體X的分布函數F(x),X1,X2,…,Xn來自總體X的樣本,則最大順序統計量max(X1,X2,…,Xn)的分布函數為Fn(x),最小順序統計量min(X1,X2,…,Xn)的分布函數為1-[1-F(x)]n.六.其它統計量的分布例9.

設總體X～N(12,4),X1,X2,…,X5為X的一個樣本.試求:(1)樣本極小值小于10的概率;(2)樣本極大值大于15的概率.第五章小結一、基本概念1.總體、個體、樣本、樣本容量2.簡單隨機樣本:獨立、同分布(來自總體,代表總體)3.統計量4.樣本的數字特征樣本方差修正樣本方差樣本均值樣本k階原點矩樣本