初中數學競賽集訓班學生講義

第一講求根公式................................................................1

第二講判別式與二次方程根.....................................................5

第三講充滿活力的韋達定理....................................................10

第四講構造方程...............................................................14

第五講一元二次方程的整數解..................................................17

第六講轉化一可化為一元二次方程的方程.......................................20

第七講化歸一解方程組的基本思想..............................................24

第八講常量數學到變量數學....................................................28

第九講坐標平面上的直線......................................................34

第十講拋物線.................................................................39

第T-一講雙曲線..............................................................46

第十二講方程與函數..........................................................52

第十三講怎樣求最值..........................................................56

第十四講圖表信息問題........................................................62

第十五講統計的思想方法......................................................69

第十六講銳角三角函數........................................................76

第十七講解直角三角形........................................................81

第十八講圓的基本性質........................................................86

第十九講轉化靈活的圓中角....................................................92

第二十講直線與圓............................................................96

第二H^一講從三角形的內切圓談起.............................................103

第二十二講圓轅定理..........................................................108

第二十三講圓與圓............................................................114

第二十四講幾何的定值與最值.................................................121

第二十五講輔助圓............................................................126

第二十六講開放性問題評說...................................................130

第二十七講動態幾何問題透視.................................................136

第二十八講避免漏解的奧秘...................................................143

第二十九講由正難則反切入...................................................148

第三十講從創新構造入手.....................................................151

第一講求根公式

形如以2+"+c=0("0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式

分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最

具有一般性的方法。

求根公式32=金巴二竺內涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數

2a

運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數、何時有實根等基

本問題；它展示了數學的簡潔美。

I

降次轉化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉化為)一元二次方程

相關的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，

而是對方程進行適當的變形來代換，從而使問題易于解決。解題時常用到變形降

次、整體代入、構造零值多項式等技巧與方法。

【例題求解】

【例1】滿足(/一”1嚴2=1的整數n有個。

思路點撥：從指數運算律、±1的特征人手，將問題轉化為解方程。

【例2】設修、心是二次方程/+》-3=0的兩個根，那么占3-4與2+19的值等于

()

A、一4B、8C、6D、0

思路點撥：求出不、X2的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定

2

義及變形，使多項式降次,如及=3-8,X2=3-X2O

【例3】解關于x的方程(a一1)1一2ax+a=0。

思路點撥：因不知曉原方程的類型，故需分4-1=0及加1片0兩種情況討論。

【例4】設方程？_"一1|一4=0,求滿足該方程的所有根之和。

思路點撥：通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方

程求解。

【例5】已知實數a、6、c、d互不相等，且a+』=b+,=c+L=d+L=x,試求

bcda

X的值。

思路點撥：運用連等式，通過迭代把b、c、d用〃的代數式表示，由解方程求得

x的值。

注：一元二次方程常見的變形形式有：

⑴把方程a』+8x+c=0(a/0)直接作零值多項式代換；

(2)把方程ax?+￡>x+c=O(a*0)變形為nx?=-〃x-c,代換后降次；

⑶把方程ax?+Z?x+c=O(〃/0)變形為ax?+8x=-c或ax?+c=-bx,代換后使

之轉化關系或整體地消去X。

解合字母系數方程a?+bx+c=o時，在未指明方程類型時，應分a=0及"0兩

種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質，如

網2=|x2|=X2o

2

求根公式學歷訓練

1>已知〃、b是實數，且J2a+6+一閻=0,那么關于x的方程3+2)/+力2冗=々_]

的根為O

32

2、已知尤2_3X-2=0,那么代數式(XT)T~+1的值是。

x-i---------

3、若x?+%y+y=14,y2+xy+x=28,則x+y的值為。

4、若兩個方程f+?+0=0和/+云+a=o只有一個公共根，則()

A、a=bB、a+b=GC、a+b=1D、a+Z?=-1

5、當分式一一有意義時，x的取值范圍是()

-x+3x+4

A、x<—1B、x>4C-l<x<4D、XK—1Fl.x4

6^方程(x+l)|x+l|-煙+1=0的實根的個數是()A>0B、1C>2

D、3

7、解下列關于x的方程：

(1)(w-l)x2+(2m-l)x+w-3=0;(2)x2-|x|-l=0;

(3)lx2+4x-51=6-2x0

8、己矢口廠一2x—2=0,弋(x—1)~+(x+3)(x—3)+(x—3)(x—1)的彳直。

9、是否存在某個實數m,使得方程—+,如+2=0和/+2x+機=0有且只有一個公

共的實根?如果存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說

明理由。注：解公共根問題的基本策略是：當方程的根有簡單形式表示時，利

用公共根相等求解，當方程的根不便于求出時，可設出公共根，設而不求，通過

消去二次項尋找解題突破口。

10、若X2-5X+1=0,貝1」2d-9》+3+-^—=。

x2+l

11>已知機、”是有理數，方程x?+,〃x+〃=0有一個根是石-2,則，〃+〃的值

3

為。

12、已知"是方程/_尸2000=0的一個正根。則代數式3+2黑0的值

1+-----------

"2000

為O

13、對于方程x2-2W+2=〃i,如果方程實根的個數恰為3個，則口值等于（）

A,1B、2C、右D、2.5

14、自然數"滿足（M_2〃-2嚴+47=（〃2一2"2嚴"松，這樣的”的個數是（）

15、已知八人都是負實數，且―――，那么2的值是（）

aba-b=0a

A、浮B、'著D、土正

16、已知x=J19-8后，求X-6x「2x-+18x+23的值。

xz-8x+15

17、已知m、n是一元二次方程x2+200Lr+7=0的兩個根，求

（w2+2000n+6）（/n2+2002/7+8）的值。

18、在一個面積為1的正方形中構造一個如下的小正方形：將正方形的各邊〃等

分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結起來，如圖所示，若小正方形

面積為一^，求〃的值。Dr

19、已知方程/_3x+l=0的兩根a、〃也是方程x,-p/+q=0的根，求p、q的

值。

20、如圖，銳角AABC中，PQRS是AABC的內接矩形，且S&BC=〃S矩形PQRS，其中“

為不小于3的自然數.求證：變需為無理數。

AB

第二講判別式與二次方程根

為了檢查產品質量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔

票的真偽，銀行里常常使用驗鈔機，類似地，在解一元二次方程有關問題時，最

好能知道根的特性：如是否有實數根，有幾個實數根，根的符號特點等。我們形

象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應用：

利用判別式，判定方程實根的個數、根的特性；

運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數或參數的取值范圍；

通過判別式，證明與方程相關的代數問題；

借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數模型，解幾何存在性問題、

最值問題。

【例題求解】

［例1］已知關于x的一元二次方程（1-2?口2一2仄不-1=0有兩個不相等的實數

根，那么人的取值范圍是o（廣西中考題）

思路點撥：利用判別式建立關于火的不等式組，注意1-2%、k+1的隱含制約。

注：運用判別式解題，需要注意的是：

（1）解含參數的二次方程，必須注意二次項系數不為0的隱含制約；

（2）在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想

的引導下，綜合運用方程、不等式的知識。

2

【例2】已知三個關于y的方程：/_y+a=o,（a-l）y+2y+l=0和

（a-2）/+2y-l=0,若其中至少有兩個方程有實根，則實數a的取值范圍是（）

（山東省競賽題）

A、a<2B、a<-^\<x<2C、a>lD、-<a<l

44

思路點撥：“至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關于。的

不等式組，綜合判斷選擇。

【例3】已知關于x的方程X2_（A+2）X+2A=0,

（1）求證：無論及取任何實數值，方程總有實數根；

（2）若等腰三角形aABC的一邊長。=1,另兩邊長6、c恰好是這個方程的兩個

根，求AABC的周長。（湖北省荊門市中考題）

思路點撥：對于⑴只需證明△》（）；對于⑵由于未指明底與腰，須分6=c,或八

c中有一個與c相等兩種情況討論，運用判別式、根的定義求出。、c的值。

注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設計的一個熱點，但

不一定每個這類題均有多解，還須結合三角形三邊關系定理予以取舍。

（2）運用根的判別式討論方程根的個數為人所熟悉，而組合多個判別式討論

方程多個根（三個以上）是近年中考，競賽依托判別式的創新題型，解這類問題常

用到換元、分類討論等思想方法。

［例4］設方程卜，同=4,只有3個不相等的實數根，求。的值和相應的3個根。

5

(重慶市競賽題)

思路點撥：去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程.原方程只有3

個不相等的實數根，則其中一個判別式大于零，另一個判別式等于零。

［例5］已知：如圖，矩形ABCD中，AD="，DC=〃，在AB上找一點E,使E

點與C、D的連線將此矩形分成的三個三角形相似，設AE=x，問：這樣的點E

是否存在？若存在，

這樣的點E有幾個?請說明理由。(云南省中考題)

思路點撥：要使RtAADE>RtABEC.RtAECD彼此相似，點E必須滿足NAED+

ZBEC=90°,為此，可設在AE上存在滿足條件的點E使得RtaADEsRt^BEC,

建立一元二次方程的數學模型，通過判別式討論點E的存在與否及存在的個數。

注：有些與一元二次方程表面無關的問題，可通過構造方程為判別式的運用鋪平

道路，常見的構造方法有：

(1)利用根的定義構造；

(2)利用根與系數關系構造；

(3)確定主元構造。

6

判別式與二次方程根學力訓練

1、已知而7+卜+1|=0,若方程小+ax+匕=0有兩個相等的實數根，則k=o

2、若關于x的方程f+27^_1=0有兩個不相等的實數根，則A的取值范圍

是o

（遼寧省中考

題）

3、已知關于X方程d一瘍缶+%=0有兩個不相等的實數解，化簡

卜&-2+JM-4&+41=o

4、若關于x的一元二次方程（切-2）2，+（2川+1次+1=0有兩個不相等的實數根，則機

的取值范圍是（）

A、m<—B、m<—C、m>—H.m^2D、且〃件±2（山西省

4444

中考題）

5、已知一直角三角形的三邊為a、b、c,ZB=90°,那么關于x的方程

g2_1）_25+仇產+1）=0的根的情況為（）

A、有兩個相等的實數根B、沒有實數根

C、有兩個不相等的實數根D、無法確定（河南省中考題）

6、如果關于x的方程（,"-2），-2（nj-l）x+m=0只有一個實數根，那么方程

-（"?+2）x+（4-/n）=0的根的情況是（）

A、沒有實數根B、有兩個不相等的實數根

C、有兩個相等的實數根D、只有一個實數根（2003年河南

省中考題）

7、在等腰三角形ABC中，ZA、NB、NC的對邊分別為a、b、c,已知a=3,

h和，是關于x的方程/+心+2-2〃?=0的兩個實數根，求AABC的周長。（濟

2

南市中考題）

8、已知關于x的方程X?+2（2-m）x+3-6/n=0

（1）求證：無論m取什么實數，方程總有實數根；

（2）如果方程的兩實根分別為修、X2,滿足可=3.，求實數機的值。（鹽城市中

考題）

7

9、八。為實數，關于x的方程卜2+以++2有三個不等的實數根。

⑴求證:a2-4/?-8=0;

（2）若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內角的度數，求證該三角形必

有一個內角是60°；

（3）若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求a和。的值。（江蘇

省蘇州市中考題）

10、關于的兩個方程方+4wx+2m+3=0,/+（2〃z+l）x+"，=0中至少有一個方程有

實根，則m的取值范圍是o（2002年四川省競賽題）

11、當。=,b=時，方程/+2（l+a）x+（302+4ab+4b2+2）=0有實

數根。（全國初中數學聯賽試題）

12、若方程卜2-5^=a有且只有相異二實根，則。的取值范圍是。

13、如果關于x的方程機》2一2（布+2口+〃,+5=0沒有實數根，那么關于x的方程

（機一5），一2（〃[+2）X+/M=0的實根的個數（）A、2B、1C^0D、

不能確定

14、已知一元二次方程x2+bx+c=0,且6、c可在1、2、3,4、5中取值，則在

這些方程中有實數根的方程共有（）A、12個B、10個C、7個D、

5個（河南省中考題）

15、已知AABC的三邊長為a、b、c,且滿足方程一1_/*+從=o,則方

程根的情況是（）

A、有兩相等實根B、有兩相異實根C、無實根D、不能確定（河

北省競賽題）

16、若a、b、C、d>0,證明：在方程+\!la+bx+4cd=0①；—x2+^1b+cx+4ad=0

22

②；yx2+-J2c+dx+4ab=0（3）;++=0④中,至少有兩個方程有兩

個不相等的實數根。（湖北省黃岡

市競賽題）

17、已知三個實數a、b、c滿足a+6+c=0,abc=l,求證：a、b、c中至少有一

8

個大于9

18、關于X的方程"2_(&-l)x+l=。有有理根，求整數是的值。(山東省競賽題)

19＞考慮方程(r-10x+a)2=6①

⑴若”=24,求一個實數〃，使得恰有3個不同的實數x滿足①式。

⑵若。225,是否存在實數6,使得恰有3個不同的實數x滿足①式?說明你的

結論。(國家理科實驗班招生試題)

20、如圖，已知邊長為〃的正方形ABCD內接于邊長為b的正方形EFGH,試求&的

a

取值范圍。

9

第三講充滿活力的韋達定理

一元二次方程的根與系數的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是

由16世紀法國最杰出的數學家韋達發現的。

韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數學內容，應用廣泛，主要體現在：

運用韋達定理，求方程中參數的值；

運用韋達定理，求代數式的值；

利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征；

利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等。

韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路。

韋達定理，充滿活力，它與代數、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多

彩的數學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數學思想方法。

【例題求解】

【例1】已知a、尸是方程產一-1=0的兩個實數根，則代數式〃+或/-2)的

值為O

思路點撥：所求代數式為a、￡的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變

形轉化為(例

【例2】如果a、方都是質數，且/_1"+力=0,b2-\3b+m=0,那么勺+4的值為

ab

()

A、翳B、管或2C、胃D、翳或2

思路點撥：可將兩個等式相減，得到“、。的關系，由于兩個等式結構相同，可

視。、h為方程f-13x+%=0的兩實根，這樣就為根與系數關系的應用創造了條

件。

注：應用韋達定理的代數式的值，一般是關于看、心的對稱式，這類問題可通過

變形用馬+與、町冷表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：

⑴恰當組合；(2)根據根的定義降次；(3)構造對稱式。

2

【例3】已知關于x的方程：X2-(-2)X-—=0

W4

(1)求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根。

(2)若這個方程的兩個實根修、々滿足員|=|引+2,求m的值及相應的修、與。

思路點撥：對于(2),先判定肛、叼的符號特征，并從分類討論入手。

【例4】設修、打是方程2x2-4g+2"，+3/M-2=0的兩個實數根，當m為何值時,

10

X,2+超2有最小值?并求出這個最小值。

思路點撥：利用根與系數關系把待求式用m的代數式表示，再從配方法入手，應

注意本例是在一定約束條件下(△2())進行的。

注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，即應用韋達定

理解題時，須滿足判別式△》()這一條件，轉化是一種重要的數學思想方法，但

要注意轉化前后問題的等價性。

［例5］已知：四邊形ABCD中，AB〃CD,且AB、CD的長是關于x的方程

x2-2mx+(m-)2+—=0的兩個根。

24

(1)當m=2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由。

(2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P,Q,PQ=1,

且AB〈CD,求AB、CD的長.

思路點撥：對于(2),易建立含AC、BD及m的關系式，要求出m值，還需運用與

中點相關知識找尋CD、AB的另一隱含關系式。

注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達定理、幾何性

質將幾何問題從“形”向“數”(方程)轉化，既要注意通過根的判別式的檢驗，

又要考慮幾何量的非負性.

11

充滿活力的韋達定理學歷訓練

1、⑴已知X1和々為一元二次方程2x2-2x+3w-l=0的兩個實根，并X]和孫滿足

不等式“2<],則實數，"取值范圍是__________。

犬1+工2—4

(2)已知關于x的一元二次方程8-+(加+13+吁7=0有兩個負數根，那么實數

tn的取值范圍是。

2、已知a、/是方程的兩個實數根，則代數式明2+斤的值

為O

3、CD是RtAABC斜邊上的高線，AD、BD是方程一一6工+4=0的兩根，則4ABC

的面積是O

4、設勺、外是關于X的方程？+〃冗+夕=0的兩根，西+1、X2+1是關于X的方程

天2+/+〃=0的兩根，則p、夕的值分別等于()A.1,-3B.1,3

C.-1,-3D.-1,3

5、在RtaABC中，ZC=90°,a、b、c分別是NA、NB、NC的對邊，a、b是

關于X

的方程/-7x+c+7=0的兩根，那么AB邊上的中線長是()

A.-B.-C.5D.2

22

6、方程，+px+i997=0恰有兩個正整數根占、x2,則——E——的值是()

(x1+l)(x2+l)

A.1B.-1C.--D.-

22

7、若關于x的一元二次方程的兩個實數根滿足關系式：

X](X]+l)+x2(x2+1)=(*1+1)(*2+1),判斷(。+力244是否正確?

8、已知關于X的方程*2_(2"3〃+廿+1=0。

(1)當％是為何值時，此方程有實數根；

⑵若此方程的兩個實數根陽、心滿足：|引+同=3,求/的值。

9、已知方程/+px+4=0的兩根均為正整數，且p+q=28,那么這個方程兩根

12

為。

10、已知a、尸是方程-7-1=0的兩個根，則a，+3/的值為。

11、AABC的一邊長為5,另兩邊長恰為方程2產_12》+相=0的兩根，則m的取值

范圍是o

12、兩個質數八恰好是整系數方程的兩個根，則2+4的值是（）

ab

A.9413B.純C.2413D,9413

1949997

13、設方程有一個正根不，一個負根工2,則以周、|引為根的一元二次方程為

（）

A.x2-3x-m-2=OB.x1+3x-/n-2=0

C.x2-Vl-4wx-2=0D.x2-?J1-4mx+2=0

14、如果方程。-1）（一一2￥+加）=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實

數m的取值范圍是（）

A.OWmWlB.m2。C.—<m<1D.

444

15、如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10,且AB、BC（AB>BC）的長是關于

x的方程的兩個根。

⑴求rn的值；

（2）若E是AB上的一點，CFLDE于F,求BE為何值時，4CEF的面積是aCED

的面積的請說明理由.

3

16>設田是不小于T的實數，使得關于x的方程工入，+2（刃-2）l+〃/-3m+3=0有兩

個不相等的實數根陽、x2O

22

⑴若占2+才=6,求m的值。（2）求”L+一的最大值。

1-X）1—%2（第17題）

17、如圖，已知在AABC中，NAC如90°,過C作CD_LAB于D,且AD=m,BD=n,

13

AC2：BC2=2：1；又關于x的方程32-2（〃-i）x+/_i2=0兩實數根的差的平方小

4

于192,求整數m、n的值。

18、設b、c為三個不同的實數，使得方程和爐+〃*+］=o和/+汝+0=0有一

個相同的實數根，并且使方程/+x+a=0和i+cx+6=0也有一個相同的實數根,

試求a+8+c的值。

第四講構造方程

有些數學問題雖然表面與一元二次方程無關，但是如果我們能構造一元二次

方程，那么就能運用一元二次方程豐富的知識與方法輔助解題，構造一元二次方

程的常用方法是：

1.利用根的定義構造

當已知等式具有相同的結構，就可把某兩個變元看成是關于某個字母的一元

二次方程的兩根.

2.利用韋達定理逆定理構造

若問題中有形如x+y=a,沖=b的關系式時，則x、y可看作方程”-az+匕=0

的兩實根.

3.確定主元構造

對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關于某個字母的一元二次方

程.

成功的構造是建立在敏銳的觀察、恰當的變形、廣泛的聯想的基礎之上的；成功

的構造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果.

注：許多數學問題表面上看難以求解，但如果我們創造性地運用已知條件，以

已知條件為素材，以所求結論為方向，有效地運用數學知識，構造出一種輔助問

題及其數學形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構造”

策略，構造圖形，構造方程、構造函數、構造反例是常用構造方法.

【例題求解】

［例1］已知x、y是正整數，并且—+x+y=23,fy+旬2=12（）,貝1」/+/=.

思路點撥x2+y2=（x+y）2_2今，變形題設條件，可視X+八個為某個一元二次

方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解.

14

【例2】若abrl,且有5『+200匕+9=0及9/+200/+5=0,則且的值是（）

h

A.2B?2C.一些D.一幽

5959

思路點撥第二個方程可變形為%+9=0,這樣兩個方程具有相同的結構,

b2b

從利用定義構造方程入手.

【例3】已知實數.、b滿足“2+"+/=[,且”必_〃2_/，求/的取值范圍.

思路點撥由兩個等式可求出“+〃、時的表達式，這樣既可以從配方法入手，

又能從構造方程的角度去探索，有較大的思維空間.

【例4】已知實數〃、b、c滿足a+Z?+c=2,abc=4.

（1）求a、b>c中最大者的最小值；

⑵求同+W+M=3的最小值.

思路點撥不妨設a2b,aec,由條件得6+c=2-a,bc=-.構造以b、c為實

a

根的一元二次方程，通過△》（）探求a的取值范圍，并以此為基礎去解（2）.

注：構造一元二次方程，在問題有解的前提下，運用判別式△》（），建立含參數

的不等式，

縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應用.

【例5]試求出這樣的四位數，它的前兩位數字與后兩位數字分別組成的二位

數之和的平方，恰好等于這個四位數.（2003年全國初中數學聯賽試題）

思路點撥設前后兩個二位數分別為x，y，則有（x+y）2=l（）（k+y,將此方程整理

成關于x（或y）的一元二次方程，在方程有解的前提下，運用判別式確定y（或x）

的取值范圍.

學歷訓練

1.若方程加-3）x+l=0的兩個實數根的倒數和是s,則s的取值范圍

15

是.

2.如圖，在RtAABC中，斜邊AB=5,CD1AB,已知BC、AC是一元二次方程

r-（26-1）工+4（祖-1）=0的兩個根，則m的值是

3.已知“、b滿足/_2〃-1=0,>-2，-i=o,則巴+2=__

ba

4.已矢口a2+a-l=0,/?2+?0-1=0,,貝lJW+a+6的值為（

A.2B.-2C.-1D.0

5.已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,若S&,°B=4,SACOP=9,則四邊

形ABCD的面積S的最小值為（）

A.21B.25C.26D.36

6.如圖，菱形A6CD的邊長是5,兩條對角線交于0點，且AO、B0的長分別是

關于x的方程的根，則口的值為（）D

A.-3B.5C.5或一3n—5或3

B

（第6題）

7.ti知p2-2p-5=0,5q2+2^-1=0,其中p、q為實數，求p2+=~的值.

q-

8.已知x和y是正整數，并且滿足條件個+x+y=71,x2y+xy2=880,求i+9的

值.

9.已知3機2—2〃2-5=0,5n2+2n-3=0,其中m、n為實數，則〃=

n

10.如果〃、b、c為互不相等的實數，且滿足關系式/+02=2/+16〃+14與

bc=a2-4a-5,那么〃的取值范圍是.

11.已知512+2），2+2不，一14工一10>=17=0,貝Ijx二,y二

12.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=b,AB=c,若D、E分別是AB和

AB延長線上的兩點，BD=BC,CE±CD,則以AD和AE的長為根的一元二次方程

是.

13.已知〃、b>c均為實數，且a+》+c=0,abc=2,求同+網+/］的最小值.

14.設實數八6、c滿足［2"2二反一8。+7=°,求〃的取值范圍.

b+c+be—6。+6=0

16

15.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=AB,5郵”=U,梯形的高AE=也，

S.BC82

且-L+-LJ.

ADBC40

(1)求NB的度數；

(2)設點M為梯形對角線AC上一點，DM的延長線與BC相交于點F,當

S“DM=嚕，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程.

BEAE\C

(第15題)（第16題）

16.如圖，己知AABC和平行于BC的直線DE,且4BDE的面積等于定值d,那

么當/與4BDE之間滿足什么關系時，存在直線DE,有幾條？

第五講一元二次方程的整數解

在數學課外活動中，在各類數學競賽中，一元二次方程的整數解問題一直是

個熱點，它將古老的整數理論與傳統的一元二次方程知識相結合，涉及面廣，解

法靈活，綜合性強，備受關注，解含參數的一元二次方程的整數解問題的基本策

略有：

從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解；

從判別式手，運用判別式求出參數或解的取值范圍，或引入參數(設△=/),

通過窮舉，逼近求解；

從韋達定理入手，從根與系數的關系式中消去參數，得到關于兩根的不定方

程，借助因數分解、因式分解求解；

從變更主元入人，當方程中參數次數較低時，可考慮以參數為主元求解.

注：一元二次方程的整數根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方

程相關的知識，又與整除、奇數、偶數、質數、合數等整數知識密切相關.

【例題求解】

【例11若關于x的方程(6-Q(9-小2_(117-15次+54=0的解都是整數，則符合條

件的整數是的值有個.

思路點撥用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按

一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確.

注：系數含參數的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方

17

程，根據問題的題設條件，看是否要分類討論.

【例2】已知.、人為質數且是方程x2_[3x+c=0的根，那么幺+色的值是()

ab

A127125123八121

A.D.rL.u,

22222222

思路點撥由韋達定理a、6的關系式，結合整數性質求出a、“c的值.

【例3】試確定一切有理數r,使得關于x的方程￡+(r+2)x+r_l=0有根且只有

整數根.

思路點撥由于方程的類型未確定，所以應分類討論.當rxO時，由根與系數關

系得到關于r的兩個等式，消去r,利用因式(數)分解先求出方程兩整數根.

【例4】當,〃為整數時，關于X的方程(2所1)/_(2m+1)川=0是否有有理根?如

果有，求出，〃的值；如果沒有，請說明理由.

思路點撥整系數方程有有理根的條件是為完全平方數.

設/\=(2/n+l)2-4(2m-V)=4m2-4m+5=(2m-l)2+4=n2(n為整數)解不定方程，討論

的存在性.

注：一元二次方程a?+公+c=o(aWO)而言，方程的根為整數必為有理數，而4

-4ac為完全平方數是方程的根為有理數的充要條件.

【例5】若關于x的方程以2_2(a-3)x+(a-13)=O至少有一個整數根，求非負整數

a的值.

思路點撥因根的表示式復雜，從韋達定理得出的。的兩個關系式中消去。也較

困難，又因a的次數低于x的次數，故可將原方程變形為關于a的一次方程.

18

學歷訓練

1.已知關于X的方程(4-1)/+2>"1=()的根都是整數，那么符合條件的整數。

有.

2.已知方程x2-1999x+m=0有兩個質數解，則m=.

3.給出四個命題：①整系數方程or2+"+c=0(aWO)中，若△為一個完全平方數,

則方程必有有理根；②整系數方程"2+公+c=o(aWO)中，若方程有有理數根，

則△為完全平方數；③無理數系數方程ax2+"+c=O(aW0)的根只能是無理數；

④若a、b、c均為奇數，則方程o?+bx+c=0沒有有理數根，其中真命題

是.

4.已知關于x的一元二次方程一+(2〃_1)》+/=0("為整數)的兩個實數根是歷

、x2>則北_-式'=?

5.設rn為整數，且4〈m〈40,方程x?-2⑵〃-3)x+4/-14,*+8=0有兩個整數根，

求m的值及方程的根?(山西省競賽題)

6.已知方程以2-(3/-8〃)*+2/-13a+15=()(aWO)至少有一個整數根，求a的值.

7.求使關于X的方程h2+供+以+"1=0的根都是整數的女值.

8.當〃為正整數時，關于x的方程2X2-8〃X+10X-〃2+35"-76=0的兩根均為質數，

試解此方程.

9.設關于x的二次方程(M-6k+8)x2+(2%2_6%-4)x+M=4的兩根都是整數,試求

滿足條件的所有實數％的值.

10.試求所有這樣的正整數a,使得方程ax2+2(2a_l)x+4(a-3)=。至少有一個整數

解.

11.已知〃為質數，使二次方程f-2px+p2-5p_l=0的兩根都是整數，求出0的

所有可能值.

12.已知方程產+bx+C=O及X?+5+8=0分別各有兩個整數根X]、X2及片、x,2,

且X]*2〉0,x[x,2>0.

(1)求證：<0,x2<0,x；<0,小0；

(2)求證：b-\<c<b+\;

⑶求“C所有可能的值.

13.如果直角三角形的兩條直角邊都是整數，且是方程“x2-2x-m+l=0的根(加為

19

整數），這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊

長；若不存在，請說明理由.

第六講轉化一可化為一元二次方程的方程

數學（家）特有的思維方式是什么？若從量的方面考慮，通常運用符號進行形

式化抽象，在一個概念和公理體系內實施推理計算，若從“轉化”這個側面又該

如何回答?匈牙利女數學家路莎?彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：“作為數學

家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變

形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題

轉化與化歸是解分式方程和高次方程（次數高于二次的整式方程）的基本思

想.解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉化

為一元二次方程或一元一次方程去求解.

【例題求解】

【例1】若2/—5x+—/-----5=0,貝I」2--5x-l的值為.

2x-5x+l

思路點撥視2，_5x為整體，令2--5x=y,用換元法求出y即可.

【例2］若方程向五=-x有兩個不相等的實數根，則實數p的取值范圍是

（）

A.p>-1B.p<0C.-1<p<0D.-1<p<0

思路點撥通過平方有理化，將無理方程根的個數討論轉化為一元二次方程實根

個數的討論，但需注意注而元=-x20的隱含制約.

注：轉化與化歸是一種重要的數學思想，在數學學習與解數學題中，我們常常用

到下列不同途徑的轉化：實際問題轉化大為數學問題，數與形的轉化，常量與變

量的轉化，一般與特殊的轉化等.

解下列方程：

z1x+3xx~+x—411

（19--------------+——--------=—;

2X2+2X-83X2+9X12

(2)(1999-x)3+(x-1998)3=1；

20

/o\13x-x2/13-％、

(3)-------(4+-----)=42.

x+1x+1

按照常規思路求解繁難，應恰當轉化，對于（1）,利用倒數關系換元；對于（2）,

從（1999-x）+（x-1998）=l受到啟示；對于⑶，設則可導出x+y、xv的

X+1

結果.

注：換元是建立在觀察基礎上的，換元不拘泥于一元代換，可根據問題的特點，

進行多元代換.

【例4】若關于x的方程絲-4=竺也只有一個解（相等的解也算作一個），

X-1X1-XX

試求人的值與方程的解.

思路點撥先將分式方程轉化為整式方程，把分式方程解的討論轉化為整式方程

的解的討論，“只有一個解”內涵豐富，在全面分析的基礎上求出k的值.

注：分式方程轉化為整式方程不一定是等價轉化，有可能產生增根，分式方程只

有一個解，可能足轉化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉化后的整式方

程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別

式、增根等知識全面分析.

【例5】已知關于x的方程（犬+與2一5X-2=-6有兩個根相等，求a的值.

XX

思路點撥通過換元可得到兩個關于X的含參數。的一元二次方程，利用判別式

求出”的值.

注：運用根的判別式延伸