PAGE1-第4講基本不等式[基礎題組練]1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：選D.因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A錯誤．對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤．對于D，因為ab>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.2．(2024·安徽省六校聯考)若正實數x，y滿意x＋y＝2，且eq\f(1,xy)≥M恒成立，則M的最大值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.因為正實數x，y滿意x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1；又eq\f(1,xy)≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值為1.3．設x>0，則函數y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值為()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)解析：選A.y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，當且僅當x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)時等號成立．所以函數的最小值為0.故選A.4．(2024·長春市質量檢測(一))已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為()A．8 B．9C．12 D．16解析：選B.由4x＋y＝xy得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)＝1，則x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)＋1＋4≥2eq\r(4)＋5＝9，當且僅當eq\f(4x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B.5．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，則xy的最大值為________．解析：xy＝eq\f(2xy,2)＝eq\f(1,2)×2xy≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,8)，當且僅當2x＝y＝eq\f(3,2)時取等號．答案：eq\f(9,8)6．(2024·高考江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．解析：一年購買eq\f(600,x)次，則總運費與總存儲費用之和為eq\f(600,x)×6＋4x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)＋x))≥8eq\r(\f(900,x)·x)＝240，當且僅當x＝30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.答案：307．函數y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值為________．解析：因為y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，x>－1，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，當且僅當x＝0時，等號成立．答案：08．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，當且僅當x＝16，y＝4時，等號成立．所以xy的最小值為64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，則x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.當且僅當x＝12且y＝6時等號成立，所以x＋y的最小值為18.[綜合題組練]1．若a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，則3a＋81b的最小值為()A．6 B．9C．18 D．24解析：選C.因為a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，所以ab(a＋b)＝a＋b>0，所以ab＝1.則3a＋81b≥2eq\r(3a·34b)＝2eq\r(3a＋4b)≥2eq\r(32\r(a·4b))＝18，當且僅當a＝4b＝2時取等號．所以3a＋81b的最小值為18.故選C.2．不等式x2＋x<eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則實數x的取值范圍是()A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：選C.依據題意，由于不等式x2＋x<eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)對隨意a，b∈(0，＋∞)恒成立，則x2＋x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))eq\s\do7(min)，因為eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，當且僅當a＝b時等號成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范圍是(－2，1)．3．已知x>0，y>0，且2x＋4y＋xy＝1，則x＋2y的最小值是________．解析：令t＝x＋2y，則2x＋4y＋xy＝1可化為1＝2x＋4y＋xy≤2(x＋2y)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)＝2t＋eq\f(t2,8).因為x>0，y>0，所以x＋2y>0，即t>0，t2＋16t－8≥0，解得t≥6eq\r(2)－8.即x＋2y的最小值是6eq\r(2)－8.答案：6eq\r(2)－84．已知正實數a，b滿意a＋b＝4，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值為________．解析：因為a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8，所以eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)＝eq\f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq\f(1,8)eq\b\l