PAGE1-2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知相互垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n解析：選項(xiàng)A，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m∥l；選項(xiàng)B，只有當(dāng)m⊥β時(shí)，m∥n；選項(xiàng)C，由于l?β，所以n⊥l；選項(xiàng)D，只有當(dāng)m∥β或m?β時(shí)，m⊥n.答案：C2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α解析：對(duì)于A，若m⊥n，n∥α，則m?α或m∥α或m⊥α或m與α斜交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m∥β，β⊥α則m?α或m∥α或m⊥α或m與α斜交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥β，n⊥β，則m∥n，又n⊥α，則m⊥α，故C正確；對(duì)于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m?α或m∥α或m⊥α或m與α斜交，故D錯(cuò)誤．答案：C3.(2024·全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM、EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM、EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM、EN是異面直線答案：B4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥A1B1于點(diǎn)F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A．平行B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直解析：由于正方體中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，EF與平面A1B1C1D1相交且垂直．答案：D5．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，則下列結(jié)論中正確的是()A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C解析：連接BD(圖略)．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，所以AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因?yàn)锽D1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.答案：C二、填空題6．如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個(gè)矩形所在的平面相互垂直，則cosα∶cosβ＝________．解析：由題意，兩個(gè)矩形的對(duì)角線長分別為5，2eq\r(5)，則cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))＝eq\f(5,29)eq\r(29)，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))＝eq\f(2,29)eq\r(145)，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)∶2.答案：eq\r(5)∶27．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)說法：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確的個(gè)數(shù)為________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b?α，可得出b∥α，①正確；②若a∥α，a⊥β，由線面平行的性質(zhì)定理可以得出在α內(nèi)存在一條線c⊥β，故可得出α⊥β，②正確；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a?α，③正確；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正確．答案：48．已知直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，點(diǎn)C為垂足，B∈β，BD⊥l，點(diǎn)D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為________．解析：如圖，連接BC.因?yàn)槎娼铅?l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC?β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答題9.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.又因?yàn)锳C⊥CD，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)锳B∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.10.(2024·全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解：如圖，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而結(jié)合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).B級(jí)實(shí)力提升1.如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與② B．①與③C．②與③ D．③與④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，解除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S沖突，解除A.答案：B2．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為________．解析：如圖，連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7).答案：2eq\r(7)3.如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線EC與平面ABE所成角正切值．(1)證明：因?yàn)槠矫鍭CDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，所以BC⊥AM.因?yàn)樗倪呅蜛CDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)解：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF.因?yàn)镋A⊥AC，平面ACDE