27/27合肥市包河區2024年九年級《數學》上學期期末試題與參考答案一、選擇題（共10小題）1.下面四個圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據中心對稱圖形的定義：一個平面圖形，繞一點旋轉，與自身完全重合．逐一進行判斷即可．【詳解】A、不是中心對稱圖形，不符合題意；B、是中心對稱圖形，符合題意；C、不是中心對稱圖形，不符合題意；D、不是中心對稱圖形，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查中心對稱圖形．熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵．2.已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為()A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【分析】本題考查了點與圓的位置關系：若半徑為，點到圓心的距離為，則有當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．根據點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑可對各選項進行判斷．【詳解】解：點是外一點，，的長可能為，故選：D．3.已知反比例函數的圖象經過點，那么該反比例函數圖象也一定經過點（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，反比例函數圖象性質，先利用待定系數法求出反比例函數解析式為，再由反比例函數圖象的性質得到在反比例函數的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為6，據此可得答案．【詳解】解：因為反比例函數的圖象經過點，所以，所以反比例函數解析式為，因為反比例函數圖象上點橫縱坐標一定滿足其解析式，所以在反比例函數的圖象上的點橫縱坐標的乘積一定為6，所以四個選項中只有A選項中點符合此條件，故選：A．4.將拋物線沿著y軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達式是()A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，根據平移規律“上加下減，左加右減”即可求解．【詳解】解：將拋物線沿著y軸向上平移1個單位后，所得新拋物線的表達式是，故選：C．5.如圖，是的切線，M是切點，連結、．若，則度數為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據切線的性質定理得到，再根據直角三角形兩銳角互余即可得到的度數．此題主要考查了切線的性質定理，熟練掌握切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵．【詳解】解：因為是的切線，M是切點，所以，所以，因為，所以．故選：D6.若點，，都在二次函數的圖象上，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了比較二次函數值的大小，根據函數解析式的特點，確定其開口方向和對稱軸，根據開口向下的二次函數，離對稱軸越遠函數值越小即可得到答案．【詳解】解：因為二次函數解析式為，所以拋物線開口向下，對稱軸為直線，所以離對稱軸越遠，函數值越小，因為點，，都在二次函數的圖象上，所以，故選：A．7.小明準備畫一個二次函數的圖像，他首先列表（如下），但在填寫函數值時，不小心把其中一個蘸上了墨水（表中），那么這個被蘸上了墨水的函數值是（）x…-10123…y…3430…A.-1 B.3 C.4 D.0【答案】D【分析】利用拋物線的對稱性即可求出拋物線的對稱軸，再利用拋物線的對稱性即可求出結論．【詳解】解：由表格可知：拋物線過（0，3）、（2，3）、（3，0）所以拋物線的對稱軸為直線x==1而所以x=-1對應的縱坐標與x=3對應的縱坐標相等，都是0所以這個被蘸上了墨水的函數值是0故選D．【點睛】此題考查的是拋物線對稱性的應用，掌握利用拋物線的對稱性求對稱軸是解題關鍵．8.如圖，某零件的外徑為，用一個交叉卡鉗（）可測量零件的內孔直徑．若，且量得，則零件的厚度x為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求出x的長．求出和相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出，再根據外徑的長度解答．解：因為，，所以，所以，所以，所以，因為外徑為，所以，所以．故選：C．9.在中，已知，，，那么的長等于()A.1 B.9 C. D.【答案】A【分析】本題考查解直角三角形，根據題意，表示出的正切即可解決問題．【詳解】解：在中，，又因為，，所以，解得．故選：A．10.如圖，在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C、D、E都在小正方形頂點的位置上，連接、相交于點P，根據圖中提示添加的輔助線，可以得到的值等于（） B. C. D.【答案】B【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，過點B作于H，先證明，進而解直角三角形得到，，再證明得到，則，利用勾股定理求出，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點B作于H，因為，所以，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，故選：B．二、填空題（共5小題）11.拋物線的頂點坐標為______．【答案】【分析】本題考查了二次函數的頂點式；根據拋物線的頂點式可直接得出答案．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，故答案為：．12.已知，那么__．【答案】【分析】根據比例的性質，設x＝5a，則y＝2a，代入原式即可求解.【詳解】解：因為，所以設x＝5a，則y＝2a，那么．故答案為：．【點睛】本題主要考查了比例的性質，根據比例式用同一個未知數得出的值進而求解是解題關鍵．13.已知線段的長是，點P是線段的黃金分割點，則較長線段的長是___．【答案】【分析】根據黃金分割點的定義即可進行解答．【詳解】解：因為點P是線段的黃金分割點，線段的長是，線段為較長線段，所以，故答案為：．【點睛】本題考查的是黃金比例，解題的關鍵清楚黃金比例概念以及黃金分割比為．14.如圖，為半圓O的直徑，現將一塊等腰直角三角板如圖放置，銳角頂點P在半圓上，斜邊過點B，一條直角邊交該半圓于點Q．若，則弧的長為___________．當P點為弧三等分點時，扇形的面積為___________．【答案】①.②.或【分析】連接，根據圓周角定理求出，根據弧長公式計算即可得到弧的長；分的長等于弧長的和的長等于弧長的兩種情況，求出扇形圓心角度數，根據扇形面積公式進行計算即可得到扇形的面積．【詳解】連接AQ，OQ，因為，所以，所以，因為，所以弧的長為．連接，當的長等于弧長的時，因為，所以，所以，所以扇形的面積為，當的長等于弧長的時，因為，所以，所以，所以扇形的面積為，故答案為：，或三、解答題共2小題，每小題8分，計16分。15計算：【答案】【分析】本題主要考查了特殊角三角函數值的混合計算，先計算特殊角三角函數值和乘方，再根據實數的運算法則求解即可．【詳解】解：．16.如圖，等邊三角形△ACB的邊長為3，點P為BC上的一點，點D為AC上的一點，連接AP、PD，∠APD=60°．（1）求證：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的長．【答案】（1）見解析（2）CD的長為【分析】（1）由等邊三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的結論△ABP∽△PCD可得，從而可以求出線段CD的長．【小問1詳解】證明：因為等邊三角形ABC，所以∠B=∠C=60°，因為∠APD=60°，所以∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，所以∠BAP=∠CPD，所以△ABP∽△PCD；【小問2詳解】解：等邊三角形邊長為3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，所以，所以CD=．答：CD的長為．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，關鍵是推出△ABP∽△PCD．四、解答題共2小題，每小題8分，計16分。17.如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于和；（1）求一次函數及反比例函數的表達式；（2）根據圖像，直接寫出關于x的不等式的解集．【答案】（1）一次函數的解析式為：；反比例函數的解析式為（2）或【分析】（1）將代入，求出的值，進而求出點的坐標；將點和點的坐標代入一次函數表達式求解即可；（2）根據圖像判斷即可；【小問1詳解】解：（1）將代入，得所以將代入，得，所以將、代入得：解得：故一次函數的解析式為：【小問2詳解】解：由圖像可知：當時，當時，故關于x的不等式的解集為：或【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數圖像的性質；熟練掌握函數圖像與函數表達式之間的關系是解題的關鍵．18.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點都在網格的格點上，按要求解決下列問題．（1）畫出關于y軸的軸對稱圖形；（2）以點O為位似中心，在第一象限中出畫出，使得與位似，且相似比為．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題主要考查軸對稱及位似，熟練掌握軸對稱及位似的性質是解題的關鍵；（1）分別得出點A、B、C關于y軸的對稱點，然后連線即可；（2）由（1）及位似的性質可進行作圖【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求．【小問2詳解】解：如圖所示，即為所求．五、解答題共2小題，每小題10分，計20分。19.為弘揚我國傳統文化，合肥市一年一度的端午節龍舟賽在政務區天鵝湖舉行，小剛在天鵝湖北廣場點P處觀看500米直道競速賽，如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點A位于點P的南偏東方向上，終點B位于點P的南偏西方向上，米，求點P到賽道的距離（結果保留整數，參考數據：）【答案】米．【分析】過點作，垂足為，設米，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出，的長，再根據米，列出關于的方程，進行計算即可解答．本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點作，垂足為，設米，在中，，所以（米），在中，，所以（米），因為米，所以，所以，所以，所以米，所以點到賽道的距離約為米．20.如圖，為的直徑，平分，點C、D都在上，過點D作，交的延長線于點E．（1）求證：是的切線．（2）延長交的延長線于點F．若，，則的長為．【答案】（1）見解析（2）6【分析】本題考查了切線的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質．（1）連結，如圖，先證明得到，再利用得到，然后根據切線的判定方法得到結論；（2）根據含30度角的直角三角形三邊的關系，先在中計算出，則，然后在中可計算出的長．掌握切線的判定方法，是解題的關鍵．【小問1詳解】證明：連結，如圖，因為平分，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以是的切線；【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，在中，因為，所以，所以，因為，所以，在中，因為，所以．故答案為：6．六、解答題共2小題，每小題12分，計24分。21.某景區紀念品超市以50元每個的價格新進一批工藝擺件，經過一段時間的銷售發現日銷量（個）與單個售價（元）之間的函數關系如下圖．（景區規定任何商品的利潤率不得高于）（1）根據圖象，直接寫出與的函數關系式；（2）該超市要想每天獲得2400元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？（3）銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）；（2）銷售單價應定為70元；（3）銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元【分析】（1）設y=kx+b，將點(60，140)，(70，120)代入即可求出y與x的函數關系式；（2）由題意得：利潤=單個利潤×日銷量，根據等量關系列方程，即可求解．（3）設每天獲得的利潤為W元，由題意得W與x的二次函數關系式，分析二次函數的圖像與性質，以及二次函數的最值，即可求解．【詳解】解：（1）設（，為常數）將點，代入得，解得所以y與x的函數關系式為：y=?2x+260；（2）由題意得：，化簡得：，解得：，，因為，且，所以（舍去），答：銷售單價應定為70元．（3）設每天獲得的利潤為元，由題意得，因為，拋物線開口向下，所以有最大值，當時，，答：銷售單價為90元時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是3200元．【點睛】本題考查了一次函數和二次函數在實際問題中的應用，明確二次函數的相關性質及正確列出函數關系式，是解題的關鍵.22.已知：如圖，在中，點D在邊上，，，與交于點F．（1）求證：；（2）連接，如果，求證∶．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）證明，即可得出；（2）先推導出，證明，得，即可證明進而得出結論．【小問1詳解】證明：，，，在和中，，所以，所以；【小問2詳解】證明：如圖：因為，所以，因為，所以，所以，因為，所以，所以．七、解答題共1小題，計14分。23.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和，與y軸交于點C．（1）求這個拋物線的表達式；（2）如果點D是拋物線位于第三象限上一點，交x軸于點E，且E為的中點．①求D點坐標；②點P在x軸上，如果，求點P的坐標．【答案】（1）（2）①，②或【分析】（1）將點和代入，求出a和b的值即可；（2）①先求出點C的坐標，設點D的坐標為，根據點E為的中點可求出t的值，即可求出點D的坐標；②分兩種情況進行討論，當點P在點A左側時和當點P在點A右側時，畫出輔助線，構建全等三角形，根據全等三角形對應邊相等即可進行解答．【小問1詳解】解：將點和代入得：