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文檔簡介
2024-2025學年高二數學下學期第一次聯考試卷試題范圍:數列、導數及其應用、計數原理第一部分(選擇題共58分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.設為數列的前n項和,若,則(
)A.1032 B.1033 C.520 D.5212.已知,,,則關于,,的方程共有(
)組不同的解.A.36 B.45 C.50 D.243.市內某公共汽車站6個候車位(成一排),現有3名乘客隨便坐在某個座位上候車,則恰好有2個連續空座位的候車方式的種數是().A.48B.54C.72D.844.若數列的通項公式為,則該數列中的最大項是(
)A. B. C. D.5.漢諾塔(TowerofHanoi),是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示,有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子,A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個不同大小的圓盤,要把所有盤子一個一個移動到柱子B上,并且每次移動時,同一根柱子上都不能出現大盤子在小盤子的上方,請問至少需要移動多少次?記至少移動次數為,例如:,,則下列說法正確的是(
)A. B.為等差數列C.為等比數列 D.6.已知,,,則的大小關系為(
)A. B. C. D.7.從點可向曲線引三條不同切線,則t的取值范圍為(
).A. B. C. D.8.已知函數,若,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.e二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.9.數學中蘊含著無窮無盡的美,尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數是對稱美的一種體現,它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數,如22,121,3443,94249等,顯然兩位回文數有9個:11,22,33,…,99;三位回文數有90個:101,111,121,…,191,202,…,999.下列說法正確的是(
)A.四位回文數有45個 B.四位回文數有90個C.()位回文數有個 D.()位回文數有個10.已知函數,則下列結論正確的是(
)A.時,曲線的切線斜率最小值為B.時,有最大值C.時,有兩個零點D.時,有最小值11.已知函數,下列結論正確的是(
)A.當時,是的極大值點B.若在區間上單調遞減,則的取值范圍是C.若存在唯一的零點,且,則的取值范圍是D.存在實數,使得成立三?填空題:(本大題共3小題,每小題5分,共15分.)12.已知數列,對于任意正整數,都滿足,則13.任意時,不等式恒成立,則實數的取值范圍是.14.某城市的交通道路如圖,從城市的西南角到城市的東北角,經過城市中心廣場,最近的走法種數有種.四?解答題:(本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟)15.(13分)關于正整數2160,求:(1)它有多少個不同的正因數?(2)它的所有正因數的和是多少?16.(15分)已知數列的首項,的前項和為且滿足(1)證明:數列是等差數列;(2)若,求數列的前項和.17.(15分)已知函數.(1)討論的單調性;(2)若函數有兩個零點,求m的范圍.18.(17分)已知函數.(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍;(3)證明:.19.(17分)洛必達法則對導數的研究產生了深遠的影響.洛必達法則:給定兩個函數,當時,.已知函數,.(1)證明:在區間上單調遞減;(2)對于恒成立,求實數的取值范圍;(3),證明:(附:)參考答案題號12345678910答案BACDCBAABDAD題號11121314答案ACD6015.(1)由題意,,則2160的正因數,因為可取0,1,2,3,4;可取0,1;可取0,1,2,3;所以2160有個不同的正因數.式子的展開式就是40個正因數之和.所以,之和為.16.(1)證明:因為,即,所以,又,所以數列是以為首項,以為公差的等差數列.(2)由(1)可得,所以,當時,所以,當時也成立,所以,所以,所以①,②,①②得,則,所以.17.(1)函數,當時,在上單調遞增;當時,在內單調遞減,在單調遞增;(2),令,整理可得,設,則,由,令,得,令,得,則在內單調遞減,在內單調遞增,由題意可知:有兩個零點,則,解得,18.(1);(2)因為,恒成立,所以恒成立.令,則,令,則且不恒為0,即在上單調遞減,則,所以當時,且不恒為0,所以在區間上單調遞減,故,所以,綜上,實數的取值范圍為;(3)取,由(2)得當時,,所以.取,則有,即,所以,,,,將上述式子相加得,得證.19.(1),令,則,令,則,若,則單調遞減,單調遞減,,在上單調遞減,若,則單調遞增,,即存在唯一,使得,且在上,單調遞減,在上,單調遞增,且,在區間上單
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