升和毫升

一、容量導學點睛

1.意義。

容器的大小決定容納液體的多少，容

容器中所能容納液體的多少，就是容器器越大，容納的液體就越多。

的容量C

溫馨提示：

如右圖的鍋能裝水2.5L,我們就說這個

容器能盛的液體越多，它的容量就越

鍋的容量是2.5Lo

大;反之,容器能盛的液體越少，它的容量

就越小。

2.比較兩個容器容量的大小。

溫馨提示：

方法一:把甲容器裝滿水，倒入乙容器，可

能出現(xiàn)三種結果：量筒與量杯的區(qū)別盤筒的直徑上下

相等,所以刻度均勻，量杯口徑上粗下細，

①沒有倒?jié)M,甲容器的容量小于乙容器的容量;

所以刻度上密下疏。

甲乙

易錯點：

②正好倒?jié)M,甲容器的容量等于乙容器的容量；

對容器容量的大小感知不準確，在選

③倒?jié)M后還有剩余,甲容器的容量大于乙容器的容量。擇容量單位時出現(xiàn)錯誤。

方法二:可以利用量筒或量杯測量。例如：

觀察量筒或量杯的刻度時,要將量筒或量杯平放在桌面判斷:家用電熱水器的容量是30毫

上，視線與量筒內液體的凹液面的最低處保持水平，再讀出對升。（）

應的數(shù)。否則,讀數(shù)會偏高或偏低。

正解:X

二、升和毫升的認識

錯因:家用電熱水器的容量比較大，應

該用升作單位。

1.升和毫升的認識。

①計量液體，如汽油、飲料、藥水時，用升或毫升作單位。

易錯舉例：

②計量較少的液體用亳升作單位,計量較多的液體用升

作單位。

例:在里填上或“=”。

2.用字母表示。

800亳升升

升用字母“L”表示，毫升用字母“mL”表示。

三、升與亳升的關系

錯解:800毫升升

1.升與毫升的大小關系。正解：800毫升。8升

升是比較大的容量單位,毫升是比較小的容量單位。

錯因:比較時沒有先統(tǒng)一單位,直接比

2.升與毫升的換算關系。較兩個數(shù)值，應該先統(tǒng)一單位，再比較。

①升與毫升之間的進率是1000。

②1升=1000毫升或1L=1000mL

二三位數(shù)除以兩位數(shù)

一、除以整十數(shù)導學點睛

1.除以整十數(shù)的口算，

除法的意義：

(1)除以整十數(shù)的口算題解題方法。

已知兩個因數(shù)的積和其中

①列表法:結合數(shù)據(jù)的特點，從最小數(shù)據(jù)開始,逐次列表求出正確答的一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的

案。運算。或求一個數(shù)里面包含多

少個另一個數(shù)，用除法計算。

②根據(jù)除法的意義，列除法算式計算。

溫馨提不：

(2)除以整十數(shù)的口算方法。

除法是乘法的逆運算。

①把被除數(shù)幾百幾十看作幾十個十，除數(shù)整十數(shù)看作幾個十，然后

利用口訣計算。小竅門：

如360?40,把被除數(shù)360看作36個十，除數(shù)40看作4個十,然后根幾百幾十除以整十數(shù)，可

據(jù)口訣“四九三十六”計算出36+4=9o以把被除數(shù)與除數(shù)都去掉一個

0,變成兩位數(shù)除以一位數(shù)，直接

②根據(jù)乘除法的關系用乘法計算除法。

根據(jù)口訣計算，結果不變。

如因為40X9=360,所以360+40=9。

易錯舉例：

2.除以整十數(shù)的筆算，

易錯點:寫錯商的位置。

（1）除數(shù)是整十數(shù)的筆算除法可以分為五步：例如：640+90=70……10

①確定商的位置；70

907640

63

6……商要寫在個位上10

80/4V5……想495里面最多有幾個80

480……除數(shù)與商的積正解：

例如：15……余數(shù)（一定要小于除數(shù)）

6404-90=7........10

②確定商幾；

錯因:寫錯了商的位置，導

③把商和除數(shù)相乘,再用被除數(shù)減乘積；致商出現(xiàn)錯誤。

④比較除數(shù)和余數(shù)的大小，余數(shù)一定要比除數(shù)小；巧記：

⑤把余數(shù)落下來。一看;二試;三減;四比;五

落。

（2）驗算。

驗算時根據(jù)“商X除數(shù)+余數(shù)二被除數(shù)”來驗算，結果等于被除數(shù)，說明除法中的數(shù)量關系（有余數(shù)的

計算正確，否則錯誤。除法）：

二、除以兩位數(shù)被除數(shù)+除數(shù)-商……余

數(shù)

1.商是一位數(shù)。

被除數(shù)=商乂除數(shù)?余數(shù)

⑴分類。

（驗算）

①兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算（試商）；

溫馨提示：

②兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算（調商）；

把除數(shù)和被除數(shù)看作和它

③除數(shù)接近幾十五的筆算除法。最接近的整十數(shù)來試商。

（2）試商、調商方法。試商歌：

①兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算試商方法：一二丟，八九收；

當除數(shù)的個位上是1、2、3、4時,可以把除數(shù)個位上的數(shù)舍去，把四六當五來動手；

它看作整十數(shù)來試商;當除數(shù)的個位上是5、6、7、8、9時，可以把除數(shù)

四舍商大減去一；

個位上的數(shù)去掉，同時向前一位進一，把它看作整十數(shù)來試商。

五入商小加一好；

②兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算調商方法：同頭無除商八九；

把除數(shù)“四舍”來試商，由于除數(shù)變小了,試商容易偏大，要調小；除數(shù)折半商四五。

把除數(shù)“五入”來試商，由于除數(shù)變大了,試商容易偏小，要調大。易錯點：

③除數(shù)接近幾十五的筆算試商方法:試商時可以根據(jù)四舍五入法看例如:用豎式計算

作整十數(shù)來試商,也可以看作幾十五來試商。347+38。

2.商是兩位數(shù)。錯解:347?38:8……43

8

⑴分類。38/341

304

43

①商的末尾不是0；

正解:347?38=9.......5

②商的末尾是0；

yQ

38；347

③商和被除數(shù)的末尾都是0。

342

R

(2)算法說明。

錯因:試商時商8小了，需

①商的末尾不是0：如果除數(shù)比被除數(shù)的前兩位小，商的位數(shù)比被除要調商。

數(shù)少一位，如果除數(shù)比被除數(shù)的前兩位大，商的位數(shù)就比被除數(shù)少兩位。

②商的末尾是()：當求出商的最高位以后，無論除到被除數(shù)的哪一

易錯舉例：

位，只要這一位不夠商1,都在這一位上商0占位。

例如:用豎式計算

③商和被除數(shù)末尾都是0：先用被除數(shù)的前兩位除以除數(shù),如果被除數(shù)的

720?36。

前兩位能被除數(shù)整除，被除數(shù)的個位上的數(shù)字是0,個位上的0不用落下

來。

錯解:720彳36=2

，算法總結。2……個」的。漏掉了

36；720

72

除數(shù)是兩位數(shù)的除法的計算方法：0

(1)從被除數(shù)的最高位除起，先用被除數(shù)的前兩位除以除數(shù),如果它正解:720彳36=20

比除數(shù)小，再用被除數(shù)的前三位除以除數(shù)；20

367720

72

(2)除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫在那一位上面；0

（3）每次除后余下的數(shù)必須比除數(shù)小；錯因:商的個位忘記用0占

位。

（4）最后根據(jù)豎式補充完橫式，注意要寫余數(shù)。

小竅門：

三、商的變化規(guī)律

被除數(shù)不變時，除數(shù)和商

1.在除法算式中，除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除以）幾（0除外），商也要乘

是反向變化的，其余都是同向

（或除以）幾。

變化的。

2.在除法算式中，被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）幾（0除外），商反而要

商不變規(guī)律的應用：

除以（或乘）幾。

32……根據(jù)商不變

3.在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘（或除以）相同的數(shù)（0除外），3QQJ97QQ規(guī)律，被除

_9_____數(shù)與除數(shù)都

商不變。這叫做商不變規(guī)律。7畫掉兩個0

6

100……余數(shù)是1,

不添上去掉

4.運用商不變規(guī)律簡化豎式。的兩個0

當被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0時，可以運用商不變規(guī)律簡化豎式，在被

除數(shù)和除數(shù)末尾畫掉相同個數(shù)的0,按照畫掉0后的豎式進行計算。驗算舉例：

四、筆算除法的驗算方法9674-24=40........7

40

筆算除法的驗算一定要用乘法，不可用除法驗算。24；967

96

7

用除數(shù)與商相乘，再加上余數(shù)，看是否等于被除數(shù)。

驗算：

五、連除

24：

1.連除的運算順序:在沒有括號的連除算式中，要按照從左往右的X4：0

96：0

+'7

順序依次計算。967

2.用連除解決實際問題。

①理清題意,弄清先算什么，再算什么；

②列分步算式或綜合算式求解。

三解決問題

一、簡單的乘除混合運算的應用題（沒有括號）

導學點睛

1.乘除混合運算的運算順序。

易錯舉例：

在沒有小括號的乘除混合運算中，如果只有乘除法，要按照從

例如:計算600?25X4。

左往右的順序依次計算。

錯解：600+25X4

2.簡單的乘除混合運算的（歸一問題）解題策略。

=6004-100

解決此類問題是根據(jù)已知條件,在解題時要先求出一份是多

=6

少（歸一）,如單位時間的工作量、單位面積的產量、商品的單價、

單位時間內所行的路程等再求出所要求的問題。正解：6004-25X4

3.常用的關系式。=24X4

=96

①工作效率=工作總量+工作時間.

錯因:在計算時看到25X4能湊

②速度=路程+時間成整百數(shù),然后與600相除，直接口算

出了結果而忽略運算順序，導致出現(xiàn)

③單價=總價+數(shù)量錯誤。

巧記：

歸一問題的特點是在已知條件

二、稍復雜的乘除混合運算的應用題（含有小括號）

中隱藏著一個固定不變的“單一量”，

常常用“照這樣計算”“用同樣的”等詞

1.連除的運算順序。語來表達不變的量。

按從左往右的順序計算。

2.連除與乘除混合運算。學一招：

計算乘除混合運算時，如果想要

連除算式可以轉化成乘除混合運算——

改變運算順序，就要加上小括號。

3.含有小括號的乘除混合運算的運算順序。易錯舉例：

在乘除混合運算中,如果有小括號，要先算小括號里面的。例如:小明有21塊巧克力，弟弟

只有15塊，要使兩人的巧克力一樣

4.分步算式改寫成綜合算式。多，小明要給弟弟多少塊巧克力？

錯解塊）

分步算式改寫成綜合算式，要分清運算順序，如果需要改變運

算順序，可以加上小括號。答:小明要給弟弟6塊巧克力。

三、“移多補少”和“等量代換”問題正解：（21-15）;2

=64-2

1.移多補少。

=3（塊）

（1）在甲、乙兩者物品不相等的情況下，把物品數(shù)量多的拿出一

部分給物品少的，使兩者物品數(shù)量相等,此類問題就是“移多補少”答:小明要給弟弟3塊巧克力。

問題。錯因:本題錯在把二人巧克力的

數(shù)量差當作最終結果，如果按照這個

（2）解法。結果，那么弟弟巧克力的數(shù)量就比小

明多了。

方法一:先求出兩者物品總量的平均數(shù),用數(shù)量多的減去平均

數(shù),或者用平均數(shù)減去數(shù)量少的，就可得到答案。

方法和策略：

方法二:先求出兩者的物品數(shù)量之差，再用這個差除以2即可。

“等量代換”這一數(shù)學思想是基

2.等量代換。本的數(shù)學思想之一，也是重要的數(shù)學

思想之一。掌握這一基本數(shù)學思想，

（1）特點:問題中包含兩個量，其中一個發(fā)生變化（一般是增減），學會從不同的角度思考問題，從而解

決生活中的簡單的實際問題。運用這

另一個量保持不變。

一數(shù)學思想解決問題的關鍵在于抓

住“變化的量

⑵解法:根據(jù)變化的量的增減情況，先求出這個量的值，再求出

另一個量的值。

四線和角

一、線段、直線、射線導學點睛

1.線段。

線段和射線都是直線的一部分。

(1)繃緊的弓弦、人行橫道線都可以近似地看作線段;，

直線、射線與線段的區(qū)別：

(2)線段是直線的一部分，有兩個端點，可以度量長度,不可延

直線和射線都可以無限延伸，線段

長。

不能無限延伸，可以量出長度;線段有

(3)線段的記法:可以用兩個端點的大寫字母來記，例如:線段兩個端點,直線沒有端點，射線只有一

ABO個端點。

(4)畫給定長度的線段先點上一個點，把直尺上的0刻度線易錯點：

對準這個點,然后在直尺上找出給定數(shù)值的刻度，再點上一個點，

誤認為直線和射線都可以度量。

把這兩點連接起來就得到了要畫的線段。

例如：

2.直線。

判斷:畫一條長5厘米的直線。

(1)把一條線段向兩端無限延伸，就得到一條直線。

()

⑵直線沒有端點,(或者說“有0個端點”)，可以向兩端無限延

正解:X

伸，不可度量,是無限長的。

錯因:直線沒有端點，能向兩端無

(3)記法:直線可以用上面的兩點來記，例如:直線14也可以

限延伸，不可度量。

用一個小寫字母來記，例如:直線1。

3.射線。

(1)把線段向一個方向無限延伸就得到一條射線。

(2)射線是直線的一部分，只有一個端點，可以向一端無限延

伸，不可度量。

(3)記法:射線可以用端點和射線上的另一點來表示，例如:射

線AB。

二、兩點間的距離

1.兩點之間的所有連線中，線段最短。

2.兩點之間的線段的長度,叫做兩點間的距離。

三、角

1.從一點引出兩條射線所組成的圖形叫做角。角的特點：

2.各部分名稱:這一點叫做角的“頂點”，兩條射線叫做角的①有一個共同的頂點；

兩條“邊

②有兩條射線；

③這兩條射線從這一個頂點引出。

頂點*邊

角的大小與所畫角的兩邊的長短

.角的記法:角的符號用“N”表示。例如：

3沒有關系。角的大小要看兩條邊叉開

的大小，叉開得越大，角越大。

記作:N1記作:N2

讀作:角1讀作:角2

4.記角時，不要把角的符號2”寫成小于號“<”。

四、角的度量

1.角的度量工具是量角器。

2.角的計量單位是“度”，用符號“。”表示。把半圓分成180

等份，每一份所對的角的大小是1度，記作1°。

3.量角的步驟：

易錯點：

(1)量角器的中心點與角的頂點重合。

平角與直線混淆。

(2)量角器的其中一條0°刻度線與角的一條邊重合。

例如：

(3)角的另一條邊所對應的量角器上的刻度就是這個角的

判斷:平角就是一條直線。()

度數(shù)。

正解:X

五、角的分類

錯因:平角與直線是兩個不同的概

1.直角:1直角=90°

念，不能混淆。

2.銳角:小于90°的角

3.鈍角:大于90°而小于180°易錯點：

4.角可以看作是由一條射線繞著它的端點,從一個位置旋把周角與射線混淆。

轉到另一個位置所成的圖形。

例如：

5.平角:一條射線繞它的端點旋轉半周,形成的圖形是平角。

判斷:周角就是一條射線。()

1平角=180°o

正解:X

6.周角:一條射線繞它的端點旋轉一周,形成的圖形是周角。

1周角=360。。錯因:周角與射線是兩個不同的概

念，不能混淆。

7.銳角、直角、鈍角、平角和周角之間的關系：

(1)銳角〈直角〈鈍角<平角<周角

(2)1個平角=2個直角;1個周角:2個平角=4個直角。

五倍數(shù)和因數(shù)

一、自然數(shù)導學點睛

1.自然數(shù)。

小知識：

(1)自然數(shù)的意義:像0、1、2、3、4、5、6、7、8……這些用來

表示物體個數(shù)的數(shù),都是自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0,沒有最大

的自然數(shù)。

(2)自然數(shù)可以用直線上的點來表示，如下圖：

小發(fā)現(xiàn)：

0~~2456~7~89^0

用直線上的點表示自然數(shù)，

2.奇數(shù)、偶數(shù)。右邊的總比左邊的大。

(1)奇數(shù):像1、3、5、7、9、11、13、15……這些都是單數(shù)，單數(shù)溫馨提不：

又叫做奇數(shù)。

最小的奇數(shù)是1,最小的偶數(shù)

(2)偶數(shù):像2、4、6、8、10、12、14、16……這些都是雙數(shù)，雙是0。

數(shù)又叫做偶數(shù)。0也是偶數(shù)。

特別提示：

二、倍數(shù)

倍數(shù)不是單獨存在的，不能

1.倍數(shù)。單獨說某個數(shù)是倍數(shù)，只能說某

數(shù)是某數(shù)的倍數(shù)。

(1)倍數(shù)的意義。

溫馨提示：

兩個自然數(shù)能夠整除我們就說被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

在研究因數(shù)和倍數(shù)時，我們

例如：36+9=4我們就說36是4和9的倍數(shù)。

所說的數(shù)，一般是指不包括。的

(2)0的特殊性。自然數(shù)，也就是說在非0自然數(shù)

的范圍內探索因數(shù)和倍數(shù)。

在自然數(shù)中,0除以任何一個非0自然數(shù)都得0,所以。是任何一個

非。自然數(shù)的倍數(shù)。易錯點：

(3)特征。誤認為個位上的數(shù)字是3的

倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有

最大的倍數(shù)。例如:

(4)求一個數(shù)的倍數(shù)的方法。判斷:個位上是3、6、9的數(shù)

是3的倍數(shù)。()

可以用這個數(shù)分別與I、2、3、4……相乘,所得的數(shù)就是這個數(shù)

的倍數(shù)。正解:X

2.2、3、5的倍數(shù)特征。錯因:誤認為個位上的數(shù)是3

的倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)。

(1)2的倍數(shù)特征:個位上是0、2、4、6或8。如36、48,因為36

的個位是“6”,所以36是2的倍數(shù);因為48的個位是“8”,所以48是2的小貼士：

倍數(shù)。

一個非0自然數(shù)，既是它本

(2)5的倍數(shù)特征:個位上是0或5的數(shù)，都是5的倍數(shù)。身的倍數(shù),又是它本身的因數(shù)。

如135,因為135的個位是“5”,所以135是5的倍數(shù)。

(3)3的倍數(shù)特征:一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)

一定是3的倍數(shù)。

如102,因為1+0+2=3,3+因1,所以102是3的倍數(shù)。

(4)既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的特征:個位上是0的數(shù)，既是2

的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)。

三、因數(shù)易錯舉例:

1.因數(shù)。易錯點:把質數(shù)與奇數(shù)、合

數(shù)、偶數(shù)混淆。

⑴意義。

例如：

如1、2、3、4、6、12這些數(shù)都是12的因數(shù)。

判斷:質數(shù)都是奇數(shù)，偶數(shù)都

(2)特征。

是合數(shù)。()

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)

正解:X

是它本身。

錯因:奇數(shù)與偶數(shù)的區(qū)分標

(3)求一個數(shù)的因數(shù)的方法。

準是看這個數(shù)是不是2的倍數(shù)，

利用積與因數(shù)的關系一對一對地找，從最小的自然數(shù)找起,一直找而質數(shù)與合數(shù)的區(qū)分標準是看

到它本身。這個數(shù)因數(shù)的個數(shù)，兩者不可混

淆。如2是質數(shù)但不是奇數(shù),9是

2.質數(shù)和合數(shù)。合數(shù),但不是偶數(shù)。

⑴非0自然數(shù)按因數(shù)個數(shù)的多少可分為質數(shù)和合數(shù),特別提示:

非

O最小的質數(shù)是2,最小的合數(shù)

自(質數(shù):只有和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質數(shù)。是4,沒有最大的質數(shù)、合數(shù)。

然1

數(shù)

,1:1既不是質數(shù),也不是合數(shù)。易錯舉例：

、合數(shù):除了1和它本身外，還有具他的因數(shù)的數(shù)叫做臺數(shù)。

錯例:自然數(shù)可以分為質數(shù)

與合數(shù)。()

(2)100以內的質數(shù)有25個,它們是2、3、5、7、11、13、17、19、

23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、23、79、83、正解:X

89、97o

錯因:這種分類方法漏掉了

(3)質因數(shù)、分解質因數(shù)。1,1既不是質數(shù)也不是合數(shù)。

①質因數(shù):每個合數(shù)都可以寫成幾個質數(shù)相乘的形式，其中每個質溫馨提示：

數(shù)叫做這個合數(shù)的質因數(shù)，

用短除法分解質因數(shù)，要保

②分解質因數(shù):把一個數(shù)用質數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質證每一步的除數(shù)必須是質數(shù)，最

因數(shù)。后得出的商也是質數(shù)。

③分解質因數(shù)的方法，

方法一:用塔式圖分解質因數(shù)。例如:

48

/\

6X8

/\/\

2X32X4

2X248=2X3X2X2X2

方法二:通常采用短除法分解質因數(shù)。

例如:把42分解質因數(shù)。

2142……用質數(shù)2去除42

3|21■”…用質數(shù)3去除21

7……商7是質數(shù)為止

42=2X3X7

六認識更大的數(shù)

一、計算器導學點睛

“啟川55口卅—顯示屏

小貼士：

QOOOOOO

OOOOOO-

OOOO-鍵盤

?。。。。心計算器體積小，便于攜帶，計算

迅速、準