上海師大附中2025屆高三第三次聯考（5月）數學試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．2．某網店2019年全年的月收支數據如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數與眾數均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元3．雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=04．已知滿足，則（）A． B． C． D．5．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內有無數條直線與平行 B．且C．且 D．內的任何直線都與平行6．已知函數，集合，，則（）A． B．C． D．7．設集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．黨的十九大報告明確提出：在共享經濟等領域培育增長點、形成新動能.共享經濟是公眾將閑置資源通過社會化平臺與他人共享，進而獲得收入的經濟現象.為考察共享經濟對企業經濟活躍度的影響，在四個不同的企業各取兩個部門進行共享經濟對比試驗，根據四個企業得到的試驗數據畫出如下四個等高條形圖，最能體現共享經濟對該部門的發展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．9．設函數定義域為全體實數，令．有以下6個論斷：①是奇函數時，是奇函數；②是偶函數時，是奇函數；③是偶函數時，是偶函數；④是奇函數時，是偶函數⑤是偶函數；⑥對任意的實數，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤10．要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的橫坐標（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度11．直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為A． B． C． D．12．已知等差數列{an}，則“a2＞a1”是“數列{an}為單調遞增數列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______14．已知函數為奇函數，則______.15．若實數x,y滿足不等式組x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,則目標函數16．已知函數，若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現在市場上流行多種可實現語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關聯程度，從某地區隨機抽取了100名購買“小愛同學”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數據如下：“小愛同學”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計男4560105女554095合計100100200（1）若該地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據列聯表，能否有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.19．（12分）設的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）解不等式；（2）記函數的最大值為，若，證明：.21．（12分）已知函數.(1)求不等式的解集；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.22．（10分）已知函數（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.2．D【解析】

直接根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項A正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；易求得總利潤為380萬元，眾數為30，中位數為30，故選項C正確，選項D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力和應用能力.3．A【解析】試題分析：漸近線方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線的漸近線．解：雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點評：本題考查了雙曲線的漸進方程，把雙曲線的標準方程中的“1”轉化成“1”即可求出漸進方程．屬于基礎題．4．A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結果.【詳解】，.故選：A.【點睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.5．B【解析】

根據充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.內有無數條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內的任何直線都與平行，故，若，則內的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的綜合應用能力.6．C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.7．C【解析】

作出韋恩圖，數形結合，即可得出結論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關系及充要條件，注意數形結合方法的應用，屬于基礎題.8．D【解析】根據四個列聯表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業經濟活躍度的差異最大，它最能體現共享經濟對該部門的發展有顯著效果，故選D．9．A【解析】

根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數，則，所以，所以是偶函數；當是奇函數時，則，所以，所以是偶函數；當為非奇非偶函數時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關鍵，屬于基礎題.10．B【解析】

分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可．詳解：將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵．11．D【解析】

設出坐標，聯立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導數求最值．【詳解】設，，聯立，得則，則由，得設，則，則點到直線的距離從而．令當時，；當時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用，考查利用導數求最值的問題．解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構造函數關系的方式，然后結合導數或者利用函數值域的方法來求解最值.12．C【解析】試題分析：根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．解：在等差數列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數列{an}為單調遞增數列，若數列{an}為單調遞增數列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數列{an}為單調遞增數列”充分必要條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由，則，所以點，因為，可得，點坐標化簡為，代入雙曲線的方程求解.【詳解】設，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數形結合的思想，屬于中檔題.14．【解析】

利用奇函數的定義得出，結合對數的運算性質可求得實數的值.【詳解】由于函數為奇函數，則，即，，整理得，解得.當時，真數，不合乎題意；當時，，解不等式，解得或，此時函數的定義域為，定義域關于原點對稱，合乎題意.綜上所述，.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性求參數，考查了函數奇偶性的定義和對數運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.15．12【解析】

畫出約束條件的可行域，求出最優解，即可求解目標函數的最大值．【詳解】根據約束條件畫出可行域，如下圖，由x+y-4=02x-3y-8=0，解得目標函數y=3x-z，當y=3x-z過點(4,0)時，z有最大值，且最大值為12．故答案為：12．【點睛】本題考查線性規劃的簡單應用，屬于基礎題．16．【解析】

函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象如下圖所示：由圖象可知：實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了已知函數零點個數求參數取值范圍問題，考查了數形結合思想和轉化思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）多2350人；（2）有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【解析】

（1）根據題意，知100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計該地區購買“小愛同學”的女性人數和購買“天貓精靈”的女性的人數，即可求得答案；（2）根據列聯表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區共有13000人購買了“小愛同學”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計購買“小愛同學”的女性有人.估計購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計該地區購買“小愛同學”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認為購買“小愛同學”、“天貓精靈”與性別有關.【點睛】本題考查隨機抽樣估計總體以及獨立性檢驗的應用，考查計算能力.18．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據線面垂直的性質定理，可得DE//BF，然后根據勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關系，可得結果.【詳解】（1）因為DE⊥平面ABCD，所以DEAD，因為AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以DE//BF，又BF＝DE，所以平行四邊形BEDF，故DF//BE，因為BE平面BCE，DF平面BCE所以DF//平面BCE；（2）建立如圖空間直角坐標系，則D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），F（4，3，﹣3），，設平面CDF的法向量為，由，令x＝3，得，易知平面ABF的一個法向量為，所以，故.【點睛】本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎題.19．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得的大小.（2）利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題設知，，即，所以，即，又所以.（2）由題設知，，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.20．（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數整理為分段函數形式可得,進而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當時，恒成立，；②當時，，即，；③當時，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當且僅當時取等號）（當且僅當時取等號）（當且僅當時取等號）上述三式相加可得（當且僅當時取等號），，故得證.【點睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的