2024-2025學(xué)年河南省開封市高一下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【正確答案】A【分析】根據(jù)向量的知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】質(zhì)量、密度、功是標(biāo)量，不是向量；速度、力、加速度、位移是向量；所以向量共有個.故選：A2.如果是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】結(jié)合單位向量的方向、長度以及數(shù)量積的定義進行判斷.【詳解】對于A，是兩個單位向量，長度都是1，但方向不一定相同，故A錯誤；對于B、C,因為是兩個單位向量，所以，則，故B正確，C錯誤；對于D，，所以，故D錯誤.故選：B.3.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】根據(jù)平面向量基底的意義，利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷作答.【詳解】對于A，與共線，A不是；對于B，由知，與不共線，B是；對于C，由知，，共線，C不是；對于D，由知，，共線，D不是.故選：B4.，，且，則（）A. B. C. D.1【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模的運算得到，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解.詳解】由得,即,解得,因為,解得.故選：D.5.已知向量，．若向量滿足，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】試題分析：設(shè),則,,由已知可知,解得,故.選D.考點：共線向量與垂直向量的性質(zhì).6.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于M，若，，用表示為()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用向量線性運算，結(jié)合圖形幾何關(guān)系即可求解．【詳解】．故選：D．7.在三角形ABC中，A、B、C表示角度，a、b、c表示邊長已知b=5，c=4，B=45°，則sinC=（）A. B. C. D.或【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理即可解出．【詳解】根據(jù)正弦定理可知，解得故選：B8.已知在所在平面內(nèi)，滿足，且，則點依次是的（）A.外心，重心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.重心，外心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心【正確答案】A【分析】利用向量的加法法則，可得是中線的三等分點；利用數(shù)量積的運算律可得即可.【詳解】因，則為的外心；取中點，則，即為中線上靠近點的三等分點，則為的重心；因，則，則，同理，，則為的垂心.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分）9.下列命題正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AB【分析】根據(jù)向量線性運算法則即可判斷ABC，根據(jù)數(shù)量積的定義判斷D.詳解】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB10.與向量共線的單位向量（）A. B. C. D.【正確答案】BD【分析】結(jié)合平面向量共線以及單位向量即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，且，所以，即或.故選：BD.11.設(shè)是兩個非零向量，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在方向上的投影向量為 D.【正確答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直關(guān)系，然后對選項一一驗證即可.【詳解】因為，所以，所以，所以選項A正確；因為，所以，即有，所以，所以選項B正確；因為，所以在方向上的投影向量為，所以選項C正確；由向量數(shù)量積的定義可知，，所以，所以選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.下列說法中，正確的序號是_____________．①零向量都相等；②任一向量與它的平行向量不相等；③若四邊形是平行四邊形，則；④共線的向量，若始點不同，則終點一定不同．【正確答案】①③【分析】根據(jù)向量、零向量及共線向量的定義逐一分析即可判斷.【詳解】對于①：因為零向量的長度都為0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正確；對于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，所以任一向量與它的平行向量可能相等，故②錯誤；對于③：根據(jù)向量的定義知與的方向相同，且長度相等，所以，故③正確；對于④：根據(jù)共線向量的定義可知：共線的向量，始點不同，終點可能相同，所以④錯誤.故①③.13.已知向量，，若，則__________．【正確答案】【分析】先由向量垂直的坐標(biāo)表示，求出，得到的坐標(biāo)，再由向量模的坐標(biāo)表示，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，則，解得，∴，則，故.故答案為.14.在中，若．則_____________．【正確答案】##【分析】根據(jù)二倍角公式結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍求角.【詳解】由.因為為三角形內(nèi)角，所以，所以，所以，所以.故四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知，.（1）求；（2）設(shè)，的夾角為，求的值；（3）若向量與互相垂直，求的值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)運算直接可得解；（2）利用夾角公式直接可得解；（3）根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積，進而可得參數(shù)值.【小問1詳解】由已知，，則；【小問2詳解】由已知可得，，，則；【小問3詳解】由向量與互相垂直，則，解得.16.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點O，M為BO中點.設(shè)向量，（1）用，表示（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點C的坐標(biāo)為，求點M的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及平面向量的線性運算法則.(2)以A為坐標(biāo)原點，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，滿足題意,可求出各點的坐標(biāo).【小問1詳解】由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點O所以，因為M為BO中點，【小問2詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點，AD所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，，可求得點C的坐標(biāo)為，所以，，，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，可求得點M的坐標(biāo)為17.已知中，角的對邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化，再利用余弦定理可得；（2）把邊化為角，利用角范圍求解.【詳解】解：（1）由題可得，所以，，.（2）由正弦定理得，，，，.本題主要考查利用正余弦定理求解三角形及范圍問題.邊角互化是求解這類問題的常用策略.18.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合條件即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，可得，然后再由正弦定理即可得到結(jié)果.【小問1詳解】在中，.由余弦定理，.【小問2詳解】由（1）知，.，又19.在氣象臺A正西方向處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度的大小為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風(fēng)的影響？如果會，大約多長時間后受到影響？持續(xù)時間有多長（精確到）？【正確答案】大約2小時后，氣象臺所在地會受到臺風(fēng)影響，持續(xù)時間約為6小時36分鐘.【分析】先作圖，根據(jù)圖像算出氣象臺所在地距離臺風(fēng)中心的距離即可判斷是否會受到臺風(fēng)的影響；另外利用余弦定理，算出會受到臺風(fēng)影響的臨界點，進而可得受到影響的時間．【詳解】解：如圖設(shè)臺風(fēng)中心為B