專題1.5實際問題與一元二次方程【十大題型】

【蘇科版】

?題型梳理

【題型1傳播問題】.............................................................................1

【題型2增長率問題】...........................................................................4

【題型3營銷問題】.............................................................................7

【題型4工程問題】............................................................................12

【題型5行程問題】............................................................................14

【題型6圖表信息題】..........................................................................19

【題型7數字問題】............................................................................22

【題型8與圖形有關的問題】...................................................................24

【題型9動態幾何問題】........................................................................28

【題型10其他問題】............................................................................36

，舉一反三

【題型1傳播問題】

【例1】（2023春?福建泉州?九年級校聯考期中）2019年年底以興，湖北省武漢市發現一種新型冠狀病毒引

起的急性呼吸道傳染疾病。

（I）在新冠初期，人們因為不了解這種病毒所以也沒有及時進行隔離，若有1人感染后經過兩輪的傳染將會

有144人感染了“新冠”，求每一輪傳染后平均一個人會傳染了幾個人？

（2）后來，大家眾志成城，全都隔離在家，但玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到了滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺

銷售，糖心蘋果的成本為8元/千克，她發現當售價為12元/千克時，每天可賣出40千克，而每漲1元時，

每天就少賣出10千克.如果每天要達到150元的利潤而且又最大限度地幫爺爺增加銷量，請你幫玲玲確定銷

售單價.

【答案】（1）11人

（2）11元

【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了工人，根據1人感染“新冠”經過兩輪傳染后共有144人感染“新

冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

（2）設小玲應該將售價定為y元，則每天可以賣出［40-10（y-124千克，根據總利潤=每斤的利潤銷售x數

量，列出一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論.

【詳解】(1)解：設每輪傳染中平均一個人傳染了工人，

依題意,得：1+x+x(l+%)=144,

即(1+%)2=144

解得：Xi=11,x2=-13(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人.

(2)解：設玲玲應該將售價定為y元，則每天可以賣出[40-10。-12)]千克，

依題意得：

(y-8)[40-10(y-12)]=150,

整理，得：y2-24y+143=0,

解得：Yi=11?y2=13

???最大限度的幫爺爺增加銷量，

小玲應該將售價定位11元，

答：小玲應該將售價定為11元.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

【變式1-1](2023春?遼寧沈陽?九年級統考期末)一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經

統計所有人一共握了66次手，則這次會議到會的人數是()

A.11B.12C.22D.33

【答案】B

【分析】可設參加會議有x人，每個人都與其他(％-1)人握手，共握手次數為根據一共握了66

次手列出方程求解.

【詳解】解：設參加會議有工人，依題意得，

如(％-1)=-66,

整理，得/7—132=0,

解得.=12,x2=-11,(舍去)

則參加這次會議的有12人.

故選:B.

【點睛】考查了一元二次方程的應用，計算握手次數時，每兩個人之間產生一次握手現象，故共握手次數為

1x(x-1).

【變式1-2](2023春?黑龍江七臺河?九年級統考期末)某種植物的主干長出若干個數目的支干，每個支干又

長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是111,則每個支干長出一個小分支.

【答案】10

【分析】設每個支干長出T個小分支，利用主干、支干和小分支的總數是111,列出一元一次方程，解方程即

可求解.

【詳解】解：設每個支干長出％個小分支，根據題意得，

14-x+xxx=111

即%2+%—110=0,

(x-10)(%+11)=0

解得：=10,x2=-11(舍去)

故答案為：10.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵.

【變式1-3](2023春?廣東江門?九年級臺山市新宇中學校考期中)組織一次排球邀請賽，采取單循環的形式,

即每兩個隊都要打一場比賽.

(I)如果有四個隊參賽，則需要打多少場比賽？

(2)寫出比賽的總場數y與參賽隊伍數量x之間的函數關系式：

(3)經過最后統計，共打了28場比賽，求這次比賽共有多少個隊參加？

【答案】(1)6：

(2)y=jx(x-1)

(3)8

【分析】(1)采取單循環的形式，如果有四個隊參賽，則需要打：；x4x(4—l)場;

(2)直接根據題意列出函數關系式即可;

(3)根據參賽的每兩個隊之間都要比賽一場結合總共28場，即司.得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】(1)如果有四個隊參賽，則需要打:

|x4x(4—1)=6場;

解得，a%=:,或a%=0（舍去）

6

故a%的值為:

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

【變式2-1］（2023春?黑龍江大慶?九年級校考期末）隨著我國數字化閱讀方式的接觸率和人群持續增多，數

字閱讀憑借獨有的便利性成為了更快獲得優質內容的重要途徑.某市2020年數字閱讀市場規模為400萬元，

2022年數字閱讀市場規模為576萬元.

⑴求2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率；

（2）若年平均增長率不變，求2023年該市數字閱讀市場規模是多少萬元？

【答案】（1）20%

（2）預計2023年該市數字閱讀市場規模是691.2萬元

【分析】（1）設2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率為，利用2022年該市數字閱讀

市場規模=2020年該市數字閱讀市場規模x（1+

2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率）1即可得出關于”的一元二次方程，解之取其符

合題意的值即可得出結論；

（2）利用2023年該市數字閱讀市場規模=2022年該市數字閱讀市場規模x（1+

2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率），可預計出2023年該市數字閱讀市場規模.

【詳解】（1）解：設2020年到2022年該市數字閱讀市場規模的年平均增長率為工

根據題意得:400（1+4）2=576

解得：右=0.2=20%,不=一2,2（不符合題意，舍去）

答：2020年到2022年該市數字I兌讀市場規模的年平均增長率為20%

（2）576X（1+20%）=691.2（萬元）

???預計2023年該市數字閱讀市場規模是691.2萬元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（I）找準等量關系，正確列出一元二次方程；

（2）根據各數量之間的關系，列式計算.

【變式2-2］（2023春?河北承德?九年級承德市第四中學校考期中）在國家的宏觀調控卜,某市的商品房成交

價由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m?

⑴問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？

(2冽果房價繼續回落，按此降價的百分率，你預測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破3000元/nf?

請說明理由.

【答案】(1)10%

(2)不會，理由見解析

【分析】(1)設4、5兩月平均每月降價的百分率是x,那么4月份的房價為5000(1—幻，5月份的房價為

5000(1-%)2,然后根據5月份的4050元/m2即可列出方程解決問題；

(2)根據(I)的結果可以計算出今年7月份商品房成交均價，然后和300()元/nF進行比較即可作出判斷.

【詳解】(1)解：設4、5兩月平均每月降價的百分率是工，

5000(1-%)2=4050

Xi=^=10%,x2=^(舍)

答：4、5兩月平均每月降價的百分率是10%.

(2)否，理由如下：

V4050X(1=3280.5(元)

3280.5>3000,

???預測到7月份該市的商品房成交均價不會跌破3000元/m2.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，和實際生活結合比較緊密，正確理解題意，找到關鍵的數量關系,

然后列出方程是解題的關鍵.

【變式2-3](2023春?山西太原?九年級期末)某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進貨價為2500元,

已知該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺.

⑴求該商店II,12兩個月的月均增長率；

(2)調查發現，當該冰箱伐價為2900元時，平均每天能伐出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4

臺.該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達到5(X)0元，求每臺冰箱的售價.

【答案】(1)20%

(2)2750元

【分析】(1)設該商店11,12兩個月的月均增長率為％,則該商店去年II月份售出50(1+%)臺，12月份

售出50(l+x)2臺，根據該商店去年第四季度累計售出182臺，可得出關于％的一元二次方程，解之取其符

合題意的值即可得出結論；

(2)設每臺冰箱的售價為y元，則每臺的銷售利潤為2500)元，平均每天可售出(8+4X%羅)臺，利

用總利潤=每臺的銷售利潤x平均每天的銷售量，可得出關于y的一元二次方程，解之即可得出結論.

【詳解】(1)解：設該商店II,12兩個月的月均增長率為X,則該商店去年II月份售出50(1+%)臺，12

月份售出50(1+幻2臺,

根據題意得:50+50(1+%)+50(14-%)2=182,

整理得：25/+75%-16=0,

=~

解得：=0.2=20%,%23,2(不符合題意，舍去).

答：該商店11,12兩個月的月均增長率為20%；

(2)設每臺冰箱的售價為y元，則每臺的俏售利潤為2500)元，平均每天可售出(8+4x罷了)臺，

Ov

根據題意得：(y-2500)(8+4x嗤斗=5000,

整理得：y2-5500y+7562500=0,

解得：%=%=2750.

答：每臺冰箱的售價為2750元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

【題型3營銷問題】

【例3】(2023春?湖南長沙?九年級校聯考期中)春節是中國的傳統節日，每年元旦節后是購物的高峰期，

2023年元月某水果商從農戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售

價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件.(注：利潤=銷售價-進貨價)

⑴水果店第一次用720元購進A、8兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數；

⑵第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進4、B兩種紅富士蘋果共80件(進貨價和銷售

價都不變)，且進貨總費用不高于2O(X)元.應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤

是多少？

(3)春節臨近結束時，水果店發現B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對6種紅富士蘋果調價銷售.如果按

照原價銷售，平均每天可售4件.經調查發現，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，

將銷售價定為每件多少元時，才能使8種紅京士蘋果平均每天銷售利潤為90元？

【答案】(1)4中蘋果購進10件，8中蘋果購進2()件

⑵購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元

(3)將銷售價定為每件27元時，才能使8種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元

【分析】(1)設A,8兩種蘋果分別購進工件和y件，列方程組求解即可.

(2)設購進4種蘋果m件，利潤為w元，列出w關于m的函數關系式討論最值即可.

(3)設8種蘋果降價a元銷售，根據利潤=90元，列出一元二次方程求出a,得到結果.

【詳解】(1)解：設A,8兩種蘋果分別購進工件和y件，

5

由題意得：［28X+22y=720

解蹴:公

答：A中蘋果購進10件，3中蘋果購進20件.

(2)解：設購進A種蘋果m件，則購進8種蘋果(80-m)件，

由題意得:28m+22(80-m)<2000,

m<40,

設利潤為w元，

則w=(42-28)m+(34-22)(80-m)=2m+960,

???2>0.

???W隨TH的增大額增大，

???當m=40時，=2x40+960=1040.

故購進A種蘋果40件，B中蘋果40件時，獲得最大銷售利潤為1040元.

(3)解：設8種蘋果降價a元銷售，則每天多銷售2a件，每天每件利潤為(12-Q)元，

由題意得：(4+2a)(12-a)=90,

解得，a=3或a=7,

???為了盡快減少庫存，

,a=7,

.??34-7=27,

答：將銷售價定為每件27元時，才能使8種紅富士蘋果平均每天俏售利潤為90元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組，一次函數，一元一次不等式以及一元二次方程的應用，讀懂題意找出

等最或不等關系是解題關鍵.

【變式3-1]（2023春?廣東江門?九年級期末）汽車專賣店銷售某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為10

萬元/輛，銷售?段時間后發現：當該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬

元，平均每周多售出2輛.

（1）當售價為13.5萬元/輛時，求平均每周的銷售利澗.

（2）若該店計劃下調售價，增大銷量，但要確保平均每周的銷售利潤為40萬元，每輛汽車的售價定為多少合

適？

【答案】（I）平均每周的銷售利潤是49萬元

⑵每輛汽車的售價定為12萬元更合適

【分析】（1）根據當該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周

多售出1輛，即可求出當售價為13.5萬元/輛時，平均每周的銷售量，再根據銷售利澗=一輛汽車的利澗x銷

售數量列式計算：

（2）設每輛汽車降價％萬元，根據每輛的盈利X銷售的輛數=40萬元，列方程求出"勺值，進而得到每輛汽

車的售價.

【詳解】（1）解：???當售價為13.5萬元/輛時，平均每周銷量為：8+/薩X2=14（輛），

???平均每周利潤為：（13.5-10）x14=49（萬元），

答：平均每周的銷售利潤是49萬元；

（2）解：設每輛汽車的售價是％萬元，

（%-10）（8+*X2）=40.

化簡，得（％-10）（17-x）=10,

x2-27%4-180=0,

解得：=12,x2=15，

由于希望增大銷量，定價12萬元售價更合適，

答：每輛汽車的售價定為12萬元更合適.

【點睛】本題主要考查了?元二次方程的應用，讀懂題意找準數量關系與等量關系是解題的關鍵.

【變式3-2]（2023春?四川樂山?九年級統考期末）今年超市以每件25元的進價購進?批商品，當商品售價

為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續上漲，在售價不變的基礎上，五月

份的銷售量達到400件.

(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率.

(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經調查發現,

該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？

【答案】⑴25%

(2)5元

【分析】(1)利用平均增長率的等量關系：。(1+幻2=從列式計算即可；

(2)利用總利潤=單件利潤x銷售數最，列方程求解即可.

【詳解】(1)解：設平均增長率為％,由題意得：

256x(1+%)2=400,

解得：k=0.25或;v=-2.25(含:，；

???四、五這兩個月的月平均增長百分率為25%；

(2)解：設降價y元，由題意得：

(40-y-25)(400+5y)=4250,

整理得：y2+65y-350=0,

解得：、=5或、=一70(舍)；

，當商品降價5元時，商場六月份可獲利4250元.

【點睛】本題考杳?元二次方程的實際應用.根據題意正確的列出?元二次方程是解題的關鍵.

【變式3-3](2023春?重慶沙坪壩?九年級重慶南開中學校考開學考試)正月十五是中華民族傳統的節日——

元宵節，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習俗.位于北關古城內的盼盼手工湯圓店，計劃在元

宵節前用21天的時間生產袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天

能生產450斤湯圓餡或300斤湯圓粉(每天只能生產其中一種).

(I)若這21天生產的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產了多少袋手工湯圓？

(2)為保證手工湯圓的最佳風味，湯圓店計劃把達21天生產的湯圓在10天內銷售完畢.據統計，每袋手工

湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋.湯圓店按

售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全

部賣給古城小吃店，若最終獲利”)500元，則促銷時每袋應降價多少元？

【答案】(1)總共生產了9000袋手工湯圓

(2)促銷時每袋應降價3元

【分析】(1)設總共生產了Q袋手工湯圓，利用這21天生產的湯圓餡和湯圓粉恰好配套做等量關系列出方

程即可;

(2)設促銷時每袋應降價%元，利用最終獲利40500元做等量關系列出方程即可.

【詳解】(1)設總共生產了Q袋手工湯圓，

依題意得，鬻+翳=21

解得a=9000,

經檢驗Q=9000是原方程的解，

答：總共生產了9000袋手工湯圓

(2)設促銷時每袋應降價%元，

當剛好10天全部賣完時，

依題意得，225x2x(25-13)+8(25-13-%)(225+=40500

整理得：x2-6%+45=0

△=62-4x45<0,

???方程無解

A10天不能全部賣完

???第10天結束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店的利潤為(15-13)[9000-

2X225-8(2254-y%)]=12600-600x

，依題意得，225X2x(25-13)+8(25-13-x)(225+y%)4-12600-600%=40500

解得》1=l,x2=3

???要促銷

Ax=3

即促銷時每袋應降價3元.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵：(1)找準等量關系，正

確列出一元?次方程；(2)找準等量關系，正確列出一元二次方程，需要注意分情況討論.

【題型4工程問題】

【例4】(2023春?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學校考期末)某工程隊采用4、3兩種設備同時對長度為4800

米的公路進行施工改造.原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成

改造任務.

⑴求A型設備每小時鋪設的路面長度；

(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米.在實際施工中，8型設備在鋪路效率

不變的情況下，時間比原計劃增加了(6+25)小時，同時,A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，

而使用時間增加了m小時，求m的值.

【答案】(l)A型設備每小時鋪設的路面110米

⑵18

【分析】(1)設3型設備每小時鋪設的路面工米，可得：32x+32(2x+30)=4800,解方程即可解得答案；

(2)根據A型設備鋪的路+8型設備鋪的路=5800列方程，解方程即可得答案.

【詳解】(1)設5型設備每小時鋪設的路面x米，則A型設備每小時鋪設路面(2x+30)米，由題意得

32%+32(2%+30)=4800,

解得x=40,

2%+30=80+30=110米，

所以A型設備每小時鋪設的路面110米：

(2)根據題意得：40(32+m+25)+(110-3m)(m+32)=4800+1000,

解得771=18,771=0(舍去)，

答：〃，的值是18.

【點睛】本題考查一元一次方程、一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程.

【變式4-1](2023春?寧夏中衛?九年級校考期中)隨著鐵路運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為

了滿足鐵路交通的快速發展，該火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時

間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間

之和的6倍.

(1)求甲、乙隊單獨完成這項工程各需幾個月？

(2)若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元，在保證工程質量的前提下，為

了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程.在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時

間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過15（X）萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整

數）

【答案】（1）甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月.

（2）甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元.

【分析】（1）若乙隊單獨完成這項工程需x個月，則中隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，等量關系為：“兩

隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍”，據此列方程求解即可.

（2）設甲隊施工小個月，求出乙施工的時間，根據工程款不超過1500萬元，列不等式求解.

【詳解】解：（1）設乙隊單獨完成這項工程需『個月，則中隊單獨完成這項工程需（x+5）個月，

根據題意，得x（x+5）=6（x+x+5）,

即7—7%—30=0,

解得%1=10，亞=-3（不合題意，舍去）.

A+5=15.

答：甲隊單獨完成這項工程需15個月，乙隊單獨完成這項工程需10個月.

（2）設甲隊施工6個月，則乙施工的時間為，〃個月，

由題意得，100m+（100+50）*1500,

解得：m<8：

;施工時間為整數，

;?<8,

答：完成這項工程，甲隊最多施工8個月才能使工程款不超過1500萬元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用和一元一次不等式的應用，難度一般，解本題的關鍵是根據題意設

出未知數列出方程及不等式求解.

【變式4-2】（2023春?重慶云陽?九年級校聯考期中）2020年初，武漢爆發了新型冠狀病毒引起的肺炎，并

迅速在全國傳染開來，與此同時醫護人員一直堅守在抗擊肺炎的前線，為我們保駕護航！羅曼?羅蘭說：“凡

是行為善良與高尚的人，定能因之而擔當患難.”他們是最可親可敬的人！由此，醫療物資護目鏡的需求量

大大增加，兩江新區某護目鏡生產廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗，在接到單位的返崗通知后，

員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用自己的實際行動踐行著一份責任和擔當.已知該廠擁

有兩條不同的護目鏡加工生產線4,8.原計劃A生產線每小時生產護目鏡400個，8生產線每小時生產護目鏡

500個.

（1）若生產線48一共工作12小時，且生產護目鏡的總數量不少于5500個，則8生產線至少生產護目鏡多少

小時？

（2）原計劃48生產線每天均工作8小時，但現在為了盡快滿足我市護目鏡的需求，兩條生產線每天均比原

計劃多工作了相同的小時數，但因為機器損耗及人員不足原因，A生產線每增加1小時，該生產線每小時的

產量將減少10個，B生產線每增加1小時，該生產線每小時的產量將減少15個.這樣一天生產的護目鏡將比

原計劃多3300個，求該廠實際每天生產護目鏡的時間.

【答案】（1）B生產線至少生產口罩7小時；（2）該廠實際每天生產口罩的時間為14九.

【分析】（I）設B生產線至少生產口罩不小時，根據生產護目鏡的總數量不少于5500個列出不等式求解即可;

（2）設該廠實際每天生產口罩比原計劃多的時間為匕根據實際一天生產的護目鏡將比原計劃多3300個列出

方程求解即可.

【詳解】（1）解：設6生產線至少生產口罩3小時

（12-x）400十500x>5500

解得：x>7

答：8生產線至少生產口罩7小時.

（2）解：設該廠實際每天生產口罩比原計劃多的時間為t

（400-10t）（8+t）+（500-15t）（8+t）=8x400+8x500+3300

解得:ti=22,t2=6

生產時間：6+8=14九

答：設該廠實際每天生產口罩的時間為14,

【點睛】此題主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的實際應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的

不等關系和等量關系，列山不等式和方程.

【變式4-3]（2023春?重慶合川?九年級校考期中）甲、乙兩工程隊共同承建某高速路隧道工程，隧道總長

200）米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米.因地質情況不同，兩支隊伍每合格完

成I米隧道施工所需成本不一樣.甲每合格完成I米，隧道施工成本為6萬元；乙每合格完成1米，隧道

施工成本為8萬元.

（1）若工程結算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的右求甲最多施工多少米？

（2）實際施工開始后因地質情況比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化.甲每合格完成1

米隧道施工成本增加〃，萬元時，則每天可多挖米，乙因特殊地質，在施工成本不變的情況下，比計劃每

天少挖米，若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求〃?的值.

4

【答案】（1）1000米；（2）4

【分析】（1）設甲工程隊施工工米，則乙工程隊施工（2000.）米，由工程結算時乙總施工成本不低于甲總

施工成本的土即可得出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論；

（2）根據總成本:每米施工成木x每天施工的長度結合每天實際總成本比計劃多萬元，即可得出關

于加的一元二次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：（I）設甲工程隊施工方米，則乙工程隊施工（2000-x）米，

依題意，得：8（2000-x）、x6.r,

解得:爛1000.

答：甲最多施工1000米.

（2）依題意，得：（6+〃］）（6+，”）+8（6-，〃）=6x（6+8）+1\in-S,

整理，得：〃?2-8帆+16=0,

解得:"〃="72=4.

答："?的值為4.

【點睛】考查了一元一次不等式的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（I）根據各數量之間的

關系，正確列出一元一次不等式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程.

【題型5行程問題】

【例5】（2023春?重慶云陽?九年級校聯考期中）周末，小明和小紅約著?起去公園跑步鍛煉身體若兩人同

時從A地出發，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小

紅早5分鐘到達B地.

（1）求小明、小紅的跑步速度；

（2）若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續前進到C地（整個過程不休息），據了解，在他從跑步開始

前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量1（）卡路里，超過30分鐘后，每多跑步I分鐘，平均每分鐘消耗的熱量

就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分

鐘.

【答案】（l）480m/min：400m/min

(2)70min

【分析】（1）分別設小紅和小明的速度，根據等量關系（小明比小紅早5分鐘到達B地）列出等量關系式,

按照分式方程即可求解.，求解后檢驗所求解是不是方程解.

（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最

后求解.

【詳解】（1）解：設小紅的速度為xm/min,則小明的速度為1.2xm/min,

依據題意列方程得，港—粵=5,

xl.2x

12000x1.2-12000=5x1.2r,

???x=400,

經檢驗，x=400是原式方程的解.

???1.2x400=480m/min.

???小紅的速度為400m/min,小明的速度為480m/min.

故答案為:480m/min；400m/min.

（2）解：???小明的速度為480m/min,

.??小明從A地道B地需要的時間為:12000+480=25min.

???小明在他從跑步開始前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里,

30-25=5min.

設B地到C地的距離為%m,依據題意列方程得,

(x-480x5)/x-480x5\

30x10+

480X(1°+F^)=23。。

二3。。+（急-5）x（10+急一5）=23。。,

二島—5）x（焉+5）=2。。。,

薪-25=2。。。,

???(方=2。25,

二%=21600或3=—21600(舍去).

.-.A地到C地所需要時間為：…u『uu=70min

480

故答案為:70min.

【點睛】本題考查了分式方程的應用和一元二次方程的應用.解題的關鍵在于是否能根據題意列出等量關系

式，解題的重點在于是否能了解小明的前30分鐘內的最后5分熱是屬于B地到C地時間.

【變式5-1］（2023春?重慶?九年級西南大學附中校考期中）小明鍛煉健身，從A地勻速步行到B地用時25

分鐘.若返回時，發現走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結果比去時少用

2.5分鐘.

（1）求返回時A、B兩地間的路程；

（2）若小明從A地步行到B地后.以跑步形式繼續前進到C地（整個鍛煉過程不休息）.據測試，在他整

個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量

10卡路里;鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內平均每分鐘消耗的熱量就增加I卡路里.測

試結果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量.問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘.

【答案】（1）1800米；（2）52分鐘.

【分析】（1）可設AB兩地之間的距離為x米，根據兩種步行方案的速度相等，列出方程即可求解；

（2）可設從A地到C地一共鍛煉時間為y分鐘，根據在整個鍛煉過程中小明共消耗900卡路旦熱量，列出

方程即可求解.

【詳解】解：（1）設返回時A,B兩地間的路程為x米，由題意得：

X+2D0_X

25-25-2.5’

解得X=l800.

答：A、B兩地間的路程為1800米；

（2）設小明從A地到B地共鍛煉了y分鐘，由題意得：

25x6+5x10+110+（y-30）xlj（y-30）=904,

整理得y2?50y?104=0,

解得yi=52,y2=-2（舍去）.

答：小明從A地到C地共鍛煉52分鐘.

【點睛】本題考查一元一次方程，一元二次方程.

【變式5-2］（2023?九年級單元測試）甲、乙兩個機器人分別從相距70/〃的A、B兩個位置同時相向運動.甲

第I分鐘走2〃?，以后每分鐘比前I分鐘多走Im,乙每分鐘走5，〃.

⑴甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？

（2）如果甲、乙到達A或3后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1〃?，乙繼續按照每分鐘5機的速度行

走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同?位置？

【答案】（1）7分鐘

（2）15分鐘

【分析】（1）根據題意先設〃分鐘后第1次相遇，利用數列求和知識得到關于〃的方程，解此方程即可得甲、

乙開始運動后幾分鐘相遇；

（2）先設〃分鐘后第2次相遇，依路程關系得到一個關于〃的方程，解方程即得第2次相遇是在開始后多少

分鐘.

【詳解】⑴解：設〃分鐘后第1次相遇，依題意，有"?%5〃—70,

整理得/+13心140=0,

解得〃=7,〃=-20（不符合題意，舍去）

第1次相遇是在開始后7分鐘.

答：甲、乙開始運動后7分鐘第一次同時到達同一位置：

（2）解：設〃分鐘后第2次相遇，依題意，有也羅+5/7=3x70,

整理得〃2+⑶?-420=0,

解得〃=15,ii=-28（不符合題意，舍去）

故第2次相遇是在開始后15分鐘.

答：開始運動后15分鐘第二次同時到達同一位置.

【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解題意，找出等最關系，設恰當未知數，列出方程是解題的關鍵.

【變式5-3］（2023.四川成都.成都實外校考一模）為切實推進廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到

陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動.學生堅持長跑，

不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅.周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步.若兩人同

時從A地出發，勻速跑向距離12000m處的8地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊

早5分鐘到達B地.

根據以上信息，解答下列問題：

（I）小明每分鐘跑多少米？

（2）若從A地到達8地后，小明以跑步形式繼續前進到C地（整個過程不休息）.據了解，從他跑步開始，前

30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就

增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘.

【答案】（1）480米

（2）70分鐘

【分析】（1）設小齊每分鐘跑X米，則小明每分鐘跑1.2%米，根據題意建立分式方程，解方程即可得;

（2）設小明從⑷也到C地鍛煉共用y分鐘，再根據熱量的消耗規律建立方程，解方程即可得.

【詳解】（1）解：設小齊每分鐘跑”米，則小明每分鐘跑1.2%米，

12000_12000

由題意得:----------5=

1.2X

解得：X=4U0,

經檢驗，％=400既是所列分式方程的解也符合題意，

則1.2%=1.2x400=480,

答：小明每分鐘跑480米.

（2）解：設小明從4地到。地鍛煉共用y分鐘，

由題意得:10x30+（y-30）（10+y-30）=2300,

解得：yi=70,y2=-20（不符合題意，舍去），

答：小明從4地到C地鍛煉共用70分鐘.

【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵.

【題型6圖表信息題】

【例6】（2023春?河北衡水?九年級校考期末）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城

市的難題.某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水最每

月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取

水費（水費+污水處理費）.

（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元：

（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；

月份用水量（噸）交水費總金額（元）

4770

5540

根據上表數據，求規定用水量a的值.

（3）結合當地水資源狀況，談談如何開展水資源環境保護？如何節約用水？

【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3噸；（3）見解析；

【分析】（1）根據總費用=10+超出費用列出代數式即可；（2）根據題意分別列出5a（7-a）+10=70,5a（5-a）

+10=40,取滿足兩個方程的a的值即為本題答案；(3)結合當地水資源狀況，敘述合理即可；

【詳解】(1)3月份應交水費10+5a(8-a)=10+40a-5a27t;

(2)由題意得:5a(7-a)+10=70,

解得：a=3或a=4

5a(5-a)+10=40

解得：a=3或a=2,

綜上，規定用水量為3噸；

(3)既然我們的水資源比較缺乏，就要提高節水技術、防治水污染、植樹造林.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是了解本題的水費收取標準.

【變式6-1](2023春?江蘇蘇州?九年級統考期末)根據龍灣風景區的旅游信息，某公司組織一批員工到該風

景區旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數嗎？

高果人數不選陽果超230人每\

增加1人,人均旅游費

用降低10元，但人均旅

游費用不圖軒500元

【答案】參加旅游的人數40人.

【分析】首先設有x人參加這次旅游，判定》>30,然后根據題意列出方程，再判定出符合題意的解即可.

【詳解】設有工人參加這次旅游

V30X800=24000<28000

，參加人數%>30

依題意得：%(800-X10)=28000

解得：=40,x2=70

當勺一40時，800—七含x10=700>500,符合題意.

當起=70時，800=^x10=400<500,不符合題意

答：參加旅游的人數40人.

【點睛】此題主要考查一元二次方程的實際應用，解題關鍵是理解題意，列出方程.

【變式6-2](2023春?江蘇蘇州?九年級統考期中)某旅行社一則旅游消息如下：

旅游人數收費標準

不超過10人人均收費2400元

超過10人每增加一人，人均收費減少60元，但人均收費不低于1500元

⑴甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有人.

（2）乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員T多少人？

【答案】（1）15；

（2）乙公司20人.

【分析】（1）設甲公司員工有x人，根據第一次、第二次支付的費用和人均收費標準，判斷出兩次都不超過

10人，直接用總費用除以人均收費，即可得出答案；

（2）設乙公司員工工人，根據支付的費用先判斷出公司去的人數超過了10人，再根據每增加一人，人均收

費減少60元，列出方程，求出x的值，再根據人均收費不低于1500元，即可得出乙公司去的人數.

【詳解】（1）解:設甲公司有無人，

12000+2400+24000+2400,

=10+5,

=15（人）.

故答案為：15

（2）設乙公司工人，

[2400-60（x-10）]x=36000,

xt=20,x2=30,

若x=30,每人費用：2400-60X20=1200<1500,不符舍去，

若x=20,每人費用：2400-60X10=1800>1500,符合，

答：乙公司20人.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題意正確列式和列方程是解題的關鍵.

【變式6-3】（2023春?九年級課時練習）海洲市出租車收費標準如下（規定：四舍五入，精確到元，N<15）

N牯走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應收29.1元，你能依據以上信息，

推算出起步價N的值嗎？

里程X(如)0<后33〈爛6x>6

2225

單價y(元)N

~N~N

【答案】見解析

【分析】里程11公里，應收29.1元，即：起步價+3公里到6公里這段的收費+大于6公里部分的價格=29.1

元.據此相等關系即可列方程求解.

【詳解】由題意，可列出方程可+[6-3)管+(11-6虛=29.1.

解之，N2—29.1N+191=0.

ANi=IO,N2=19.1(不合題意舍去)

，起步價是10元.

【點睛】本題主要考查了列方程解決實際問題，正確理解收費標準是解決本題的關鍵.

【題型7數字問題】

【例7】(2023春?山西太原?九年級統考期中)直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關系，在中國稱為“商

而定理“，在國外又稱為“畢達哥拉斯定理由此發現三個連續正整數3,4,5,滿足32+42=52,即前兩

個數的平方和等于第三個數的平方.請你探究：是否存在五個連續正整數，滿足前三個數的平方和等于后

兩個數的平方和？若存在，請求出這五個正整數；若不存在，請說明理由.

【答案】存在五個連續正整數，它們分別為：10、11、12、13、14

【分析】假定存在這樣的五個正整數，設其中第一個數為Q,則連續的其他四個數為：(Q+l)、(a+2)、(a+3)、

(a+4),再根據題意，得出a?+(Q+1)2+(Q+2y=(Q+3產+(a+4產，解出然后再根據題意，得出符

合題意的Q的值，進而即可得出第?個正整數，再通過計算即可得出這五個正整數.

【詳解】解：假定存在這樣的五個正整數，設其中第一個數為Q，則連續的其他四個數為：3+1)、3+2)、

(a+3)、(a+4),

，可得：a2+(a+I)2+(a+2)2=(a4-3)2+(a+4)2,

解得：Q=10或a=-2,

???這五個數為正整數，

.*.G=10,

G+1=11,a+2=12>a+3=13,a+4=14,

???這五個正整數為:10、11、12,13、14,

???存在五個連續正整數，它們分別為：10、11、12、13,14.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解本題的關鍵在設出這五個正整數，再找到等量關系準確列出方

程.

【變式7-1](2023春?廣東梅州?九年級校考開學考試)一個兩位數，其個位上的數與十位上的數的和等于6,

而個位與十位上的數的積等于這兩位數的三分之一求這個兩位數.

【答案】24或15

【詳解】試題分析：首先設個位數字為x,則十位數字為(6-x),由題意得等量關系：兩個數字的積=這個

兩位數的%根據等量關系列出方程，再解即可.

試題解析：設個位上的數為x,見十位數字為(6-x),由題意得：

x(6-l)=^[10(6-x)+x],

3

解得：xi=4,xz=5,

十位數字為：6-4=2,或6-5=1

這個兩位數是：15或24

【變式7-2](2023春?遼寧沈陽?九年級統考期末)2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表

上可以用小方框圈出四個數(如圖所示)，圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積能否為33或65,若能

求出最小數：若不能請說明理由.

2021年07月

日一二三四五六

建1加節23

45678910

11121314p5~16117

202112223124

1819

25262728293031

【答案】最小的數是5,理由見解析

【分析】設這個最小數為無則最大數為(x+8),根據最小數與最大數的乘積為65或33,即可得出關于x的

一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【詳解】解:設最小的數為工，則最大數為。+8),

由題意得x(x+8)=33,

解得3=11,必=3.由表格知不符合實際舍去;

由題意得x(x?8)=65,

解得x/=-13（舍去），歷二5,

所以當最大數與最小數乘積為65時，最小的數是5.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

【變式7-3］（2023春?福建南平?九年級統考期中）解讀詩詞（通過列方程算出周瑜去世時的年齡）：大江東去

浪淘盡，千古風流數人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位

學子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數，H立數字比

個位數字小三，個位數字的平方等于他去世時的年齡.

【答案】周瑜去世時的年齡為36歲

【分析】設周瑜去世時的年齡的個位數字為，則十位數字為％-3根據題意建立方程10（%-3）+%=/求出

其值即可.

【詳解】解：設周瑜去世時的年齡的個位數字為，則十位數字為“-3,依題意得：

10（x—3）+x