中考二次函數壓軸題解題通法探討

幾個自定義概念：

①三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y

軸的三角形稱為三角形基本模型。

②動點（或不確定點）坐標“一母示”：借助于動點或不確定點所在

函數圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱“設橫表縱工

如：動點P在y=2x+l上，就可設P（t,2t+l）.若動點P在y=

3X2-2X+1,則可設為P（t,3r-2r+l）當然若動點M在X軸上，則設

為（t,0）.若動點M在Y軸上，設為（0,t）.

③動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動改變的。或至

少有一個頂點是運動，改變的三角形稱為動三角形。

④動線段：其長度是運動，改變，不確定的線段稱為動線段。

⑤定三角形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三

角形。

⑥定直線：其函數關系式是確定的，不含參數的直線稱為定直線。

如：y=3x—6o

⑦X標，Y標：為了記憶和闡述某些問題的便利，我們把橫坐標稱為

x標，縱坐標稱為y標。

⑧干脆動點：相關平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動

點稱為干脆動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”

是針對干脆動點坐標而言的。

1.求證“兩線段相等”的問題：

借助于函數解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；

然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距

離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到X軸（y地）

的距離公式或點到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分

別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。

2、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：

由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設為t）,借助于兩

個端點所在的函數圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的

代數式表示出來，再由兩個端點的凹凸狀況，運用平行于y軸的線段長度

計算公式》上-y下，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t,且開口

向下的二次函數解析式，利用二次函數的性質，即可求得動線段長度的最

大值與端點坐標。

3、求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：

先用點斜式（或稱K點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直

線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最終用中點坐標公式即可。

4、“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題：

（方法1）先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋

物線相切的直線的解析式（留意該直線與定直線的斜率相等，因為平

行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，

用代入法把字母y消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有

△二從一4ac=0（因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以

/-4ac=0）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物

線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標，然后再利用

點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。

（方法2）該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求

出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求

出其最大距離。

（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數的幾何意義，

當該導數等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最

大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。

5.常數問題：

（1）點到直線的距離中的常數問題：

“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數”

的問題：

先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用

點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，

進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就

求出來了。

（2）三角形面積中的常數問題:

“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積

等于一個定常數”的問題：

先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到

定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出

動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線

上的動點坐標就求出來了。

（3）幾條線段的齊次塞的商為常數的問題：

用K點法設出直線方程，求出與拋物線1或其它直線）的交點坐標，

再運用兩點間的距離公式和根與系數的關系，把問題中的全部線段表示出

來，并化解即可。

6.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）

上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：

先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該

對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距

離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就

是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出〔利用求交點坐標的方法）。

7.三角形周長的“最值（最大值或最小值）”問題：

①“在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成的三角形周長

最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：

由于有兩個定點，所以該三角形有肯定邊（其長度可利用兩點間

距離公式計算），只需另兩邊的和最小即可。

②“在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的垂線，與y軸的平

行線和定直線，這三線構成的動直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三

邊均動的問題）：

在圖中找尋一個和動直角三角形相像的定直角三角形，在動點坐標

一母示后，運用丸=坐"，把動三角形的周長轉化為一個開口向下的

C定.斜邊定.

拋物線來破解。

8.三角形面積的最大值問題：

①“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構成的三角形面積

最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：

（方法1）先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用

上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最終利

用三角形的面積公式工底.高。即可求出該三角形面積的最大值，

2

同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。

（方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的

交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母

示后，進一步可得到s動三角形二；（y上（動）*：動右（定）-x左（定J

,轉化為

一個開口向下的二次函數問題來求出最大值。

②“三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的

問題）：

先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在X軸或y軸上

的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角

形）面積之差，設出動點在X軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中

肯定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三

角形相像（常為圖中最大的那一個三角形）。利用相像三角形的性質（對

應邊的比等于對應高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以

表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數關系式，相應問題也就

輕松解決了。

9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構成的四邊形面

積最大的問題”：

由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與

一個定三角形（連結兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所

以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面

積最大值的求法與拋物線上動點坐標求法與7相同。

10、“定四邊形面積的求解”問題：

有兩種常見解決的方案：

方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；

方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向x軸（或y

軸）作垂線，或者把該點與原點連結起來，分割成一個梯形（常為直角梯

形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的

和（差）

11.“兩個三角形相像”的問題：

兩個定三角形是否相像：

（1）已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的

兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相像;否則不相像。

（2）不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩

個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相像;否則不相像。

一個定三角形和動三角形相像：

（1）已知有一個角相等的情形：

先借助于相應的函數關系式，把動點坐標表示出來（一母示），然后

把兩個目標三角形（題中要相像的那兩個三角形）中相等的那個已知角作

為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應

成比例（要留意是否有兩種狀況），列出方程，解此方程即可求出動點的

橫坐標，進而求出縱坐標，留意去掉不合題意的點。

（2）不知道是否有一個角相等的情形：

這種情形在相像性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由

各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度，用視察法得出某一個角可能是特

別角，再為該角找尋一個直角三角形，用三角函數的方法得出特別角的度

數，在動點坐標“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形

中的那個特別角相等，借助于特別角，為動點找尋一個直角三角形，求出

動點坐標，從而轉化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相像的問題

了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標符

合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再驗證”。

或稱為“一找角，二求標，三驗證”。

12.、“某函數圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構成等腰三

角形”的問題;

首先弄清題中是否規定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，

則只有一種狀況；若某邊為腰，有兩種狀況；若只說該三點構成等腰三角

形，則有三種狀況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐

標（一母示），按分類的狀況，分別利用相應類別下兩腰相等，運用兩點

間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助

動點所在圖象的函數關系式，可求出動點縱坐標，留意去掉不合題意的點

（就是不能構成三角形這個題意）。

13、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構成平行四邊形”

問題：

這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母

示”分別設出余下全部動點的坐標（若有兩個動點，明顯每個動點應各選

用一個參數字母來“一母示”出動點坐標），任選一個已知點作為對角線

的起點，列出全部可能的對角線（明顯最多有3條），此時與之對應的另

一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種狀況兩條對

角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對

應相等，列出兩個方程，求解即可。

進一步有：

①若是否存在這樣的動點構成矩形呢？先讓動點構成平行四邊形，

再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構成矩形，否則這樣的

動點不存在。

②若是否存在這樣的動點構成棱形呢？先讓動點構成平行四邊形，

再驗證隨意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構成棱形，否則這樣

的動點不存在。

③若是否存在這樣的動點構成正方形呢？先讓動點構成平行四邊

形，再驗證隨意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，

則所求動點能構成正方形，否則這樣的動點不存在。

14、”拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分

關系”的問題：（此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結合的問題〉，

后面的19實為本類型的特別情形。）

先用動點坐標“一母示”的方法設出干脆動點坐標，分別表示

（假如圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（假如圖形是定圖形就

計算出它的具風光積），然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，

解之即可。（留意去掉不合題意的點），假如問題中求的是間接動點坐標，

則在求出干脆動點坐標后，再往下接著求解艮］可。

15、“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點，使之與另兩定點構

成直角三角形”的問題：

若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設出動點坐標（一母示），視題

目分類的狀況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線

（沒有與y軸平行的直線）垂直的斜率結論（兩直線的斜率相乘等于-1）,

得到一個方程，解之即可。

若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行，此時不能運用斜率公式。補救

措施是：過余下的那一個點（沒在平行于y軸的那條直線上的點）干脆向

平行于y的直線作垂線或過直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關

圖象相交，則相關點的坐標可輕松搞定。

16、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構成等腰直角三角形”

的問題。

①若定點為直角頂點，先用k點法求出另始終角邊所在直線的解析

式（如斜率不存在，依據定直角點，可以干脆寫出另始終角邊所在直線的

方程），利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組，求出交

點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合

題，反之不合題，舍去。

②若動點為直角頂點：先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式，

再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再

分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看

其結果是否為-1?若為-1,則就說明所求交點合題；反之，舍去。

17、“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題：

題中含有兩角相等，則意味著應當運用三角形相像來解決，此時找尋

三角形相像中的基本模型“A”或“X”是關鍵和突破口。

18.“在相關函數的解析式已知或易求出的狀況下，題中又含有某動

圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數，求相關點的坐標或線

段長”的問題：

（此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結合的問題〉，本類型事

實上是前面14的特別情形。）

先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或

y軸上，或者有一邊平行于x軸或y軸）面積的和或差，設出相關點的坐

標（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關系的方程，解之即可C

句話，該問題簡稱“單動問題”，解題方法是“設點（動點）標，圖形轉

化（分割）,列出面積方程”。

19.“在相關函數解析式不確定（系數中還含有某一個參數字母）的

狀況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數,

求相關點的坐標或參數的值”的問題：

此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結合的問題）。

假如動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進行轉化或分割（轉

化或分割后的圖形須為基本模型），設出動點坐標（一母示），利用轉化或

分割后的圖形建立面積關系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點

的橫坐標，再利用該點所在函數圖象的解析式，表示出該點的縱坐標（留

意，此時，肯定不能把該點坐標再代入對應函數圖象的解析式，這樣會把

全部字母消掉）。再留意圖中另一個點與該點的位置關系（或其它關系，

方法是常由已知或利用（2）問的結論，從幾何學問的角度進行推斷，表

示出另一個點的坐標，最終把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應解析

式，得到僅含一個字母的方程，解之即可。假如動圖形是基本模型，就無

須分割（或轉化）了，干脆先設出動點坐標（一母式），然后列出面積方

程，往下操作方式就與不是基本模型的狀況完全相同。一句話，該問題簡

稱“雙動問題”，解題方法是“轉化（分割），設點標，建方程，再代入，

得結論”。

常用公式或結論：

（1）橫線段的長=橫標之差的肯定值=X大4小=七左

縱線段的長二縱標之差的肯定值二y大-y小二九?，'下

（2）點軸距離：

點PJ,.）到X軸的距離為尻到Y軸的距離為同。

（3）兩點間的距離公式：

若A（N，y）,B42,2），貝1J

AB二-%2）2+（y-%/

（4）點到直線的距離：

點P（不，為）到直線Ax+By+C=O（其中常數A,B,C最好化為整系數,

也便利計算）的距離為：

d_+8yo十。

VA2+B2

\kxQ-y0+b\

或一—+戶

（5）中點坐標公式：

若A（%y）,B（J必），則線段AB的中點坐標為（土產，七匹）

（6）直線的斜電公式：

若A（&y）,B（生必）"工石），則直線AB的斜率為：

。金占一出,@工匕〉,（注：時，直線AB與y軸平行，斜率不存在）

王一人2

（7）兩直線平行的結論:

已知直線4：y=^x+/?],/2:y=k2x+h2;

①若41%=>{=&；

②若勺二&且6產"n4II4

(8)兩直線垂直的結論：

已知直線4：>=4工+偽，/2：丁二左21+2；

①若/1U=人42=-1；

②若&&=-1=>41Z2.

(9)由特別數據得到或猜想的結論：

①已知點的坐標或線段的長度中若含有血、G等敏感數字信息，

那很可能有特別角出現。

②在拋物線的解析式求出后，要高度關注交點三角形和頂點三角

形的形態，若有特別角出現，那許多問題就好解決。

③還要高度關注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若

K=±y,則直線與X軸的夾角為30。；若K=±1；則直線與X軸的夾角為45。；

若K=±6，則直線與X軸的夾角為60。。這對計算線段長度或或點的坐標

或三角形相像等問題創建條件。

二次函數基本公式訓練：

破解函數難題的基石

⑴橫線段的長度計算:【特點：兩端點的y標相等，長度

①若A(2,0),B(10,0),則AB二-------o

②若A(-2,0),B(-4,0),則AB=

③若M(-3,0),N(10,0),則MN二

④若0(0,0),A(6,0),則0A二

⑤若0(0,0),A(-4,0),則0A=-----------o

?若0(0,0),A(t,O),且A在0的右端，則0A二

⑦若0(0,0。A(t,O),且A在0的右端，則0A二

⑧若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，則AB二

⑨若A(4t,m)且B在A的左端,則AB=------------0

⑩若P(2m+3,a),M(l-m,a),且P在B的右端,則PM二------------。

留意：橫線段上隨意兩點的y標是相等的，反之y標相等的隨意兩個

點都在橫線段上。

(2)縱線段的長度計算：【特點：兩端點的x標相等，長度二y大-丁小】。

?(若A(0,5),B(0,7),則AB二

②若A(0,-4),B(0,一8),,貝ijAB二

③若A(0,2),B(0,-6),則AB二一

④若A(0,0),B(0,-9),則AB二

⑤若A(0,0),B(0,-6),則AB二

⑥若0(0,0),A(0,t),且A在。的上端，則0A二

⑦若0(0,0),A(0,t),且A在0的下端，則0A二——o

⑧若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端，則AB二------------。

⑨若M(叫1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，則MN=——。

⑩若P(t,3n+2),M(t,l-2n),且P在M的上端,則PM=——。

留意：縱線段上隨意兩點的x標是相等的，反之x標相等的隨意兩個

點都在縱線段上。

(3)點軸距離：

一個點G標，了標)到x軸的的距離等于該點的y標的肯定值(即

V標|)，到y軸的距離等于該點的x標的肯定值(即上標|)。

①點(-4,-3)到x軸的距離為--------，到y軸的距離為--------o

②若點A(1-2吐r+2.3)在第一象限，則點A到x軸的距離為一一

一一，至Uy軸的距離為o

③若點M(t,/+4/+3)在其次象限，則點M到x軸的距離為------

------,到y軸的距離為------------。

④若點A(-t,2t-1)在第三象限，則點A到x軸的距離為----------

—,到y軸的距離為------------。

⑤若點N(t,-產+2/-3)點在第四象限，則點N到x軸的距離為一

,到y軸的距離為--------。

⑥若點P(t,『+2-3)在x軸上方，則點P到x軸的距離為

⑦若點Q(t,〃一2一6)在x軸下方，則點Q到x軸的距離為

⑧若點D(t,/2+4/-5)在y軸左側，則點Q到y軸的距離為

⑨若點E(n,2n+6)在y釉的右側，則點E到y軸的距離為

⑩若動點P(t,r一2f+3)在x軸上方，且在y軸的左側，則點P

到x軸的距離為--------------,到y軸的距離為----------------。

11若動點P(t,『-2/+3)在x軸上方，且在y軸的右側，則點P

到x軸的距離為----------------,到y軸的距離為------------。

12若動點P(t,尸-2/+3)在x軸下方，且在y軸的左側，則點P

到x軸的距離為----------------,到y軸的距離為----------------。

13若動點P(t,r-2f+3)在x軸下方，且在y軸的右側，則點P

到x軸的距離為----------------,到y軸的距離為----------------。

留意：在涉與拋物線，直線，雙曲線等上的動點問題中，在動點坐標

“一母示”后，還要高度關注動點運動改變的區域(例如：動點P在拋物

線y=d一2]一3上位于x軸下方,y軸右側的圖象上運動),以便精確寫

出動點坐標中參數字母的取值范圍，以與點軸距離是等于相應工標(或y標)

的相反數，還是其本身。

(4)中點坐標的計算：

若【A(不,)，B(占小),則線段AB的中點坐標為("旦,)]

①若A(-4,3),B(6,7),則AB中點為

若M(0,-6),N(6,-4),則MN的中點坐標為

③若P(L-3),Q(-J),則PQ的中點坐標為

232

-O

④若A(l,2),B(-3,4),且B為AM的中點,則M點的坐標為

O

⑤若A(-l,3),B(0,2),且A為BP中點，則P點坐標為

O

⑥點P(—5,0)關于直線x=2的對稱點的坐標為

o

⑦點P(6,0)關于直線x=1的對稱點的坐標為

⑧點P(6,2)關于直線x=3的對稱點的坐標為

_____________________________O

⑨點Q(—4,3)關于直線x=-3的對稱點的坐標為一

⑩點M(—4,—2)關于直線x=2的對稱點的坐標為

O

11點P(4,—3)關于直線x=-l的對稱點的坐標為

12點M(—4,2)關于直線y=-1的對稱點的坐標為

13點T(4,—3)關于直線y=l的對稱點的坐標為

14點Q(0,—3)關于x軸的對稱點的坐標為

15點N(4,0)關于y軸的對稱點的圣標為-------。

⑸由兩直線平行或垂直，求直線解析式。【兩直線平行，則兩個k

值相等；兩直線垂直，則兩個k值之積為T.】

①某直線與直線y=2x+3平行，且過點(1,-1),求此直線的解析式。

②某直線與直線y=--x+l平行，且過點(2,3),求此直線的解析

2

式。

③某直線與直線y二-5平行，且過點(-3,0),求此直線的解析

3

式。

某直線與y地交于點P(0,3),且與直線y=-x-］平行,求此直線

④2

的解析式。

⑤某直線與x軸交于點P(-2,0),且與直線y二-，x+4平行，求此

2

直線的解析式。

⑥某直線與直線尸2x7垂直，且過點(2,1),求此直線的解析式。

⑦某直線與直線y=-3x+2垂直，且過點(3,2),求此直線的解析式。

⑧某直線與直線垂直，且過點(2,-1),求此直線的解析

3

式。

⑨某直線與直線y二-』x-4垂直，且過點(1,-2),求此直線的解析

2

式。

⑩某直線與X軸交于點P（-4,0）,且與直線尸-21+5垂直，求此

3

直線的解析式。

兩點間的距離公式：

（6）___________________

若A（x,y）,B（々，%），則AB=J（Xrf+Gr%）?

①若A(-2,0),B(0,3),則AB二

②若P(-2,3),Q(1,-1),則PQ二

③若M(0,2),N(-2,5),則MN=

④若P(展°),Q則PQ二-----------------

⑤若A(，L3),B(-則AB二---------------------

⑥若P(15),B(一“r),則PB=----------------o

3111

⑦若P(1/),B(一『)，則PB二---------------------

1211

⑧若P(一"W),則PM二------------o

2112

⑨若A(一不三)，B(一二L§),則AB=------------

二?1_1

⑩若AB則AB=--------------)

11若A(―2,0),B(3,0),則AB=

12若P(0,-4),Q(0,-2),則PQ二

13若P⑶0),Q(4,0),則PQ二

14若P(l,-4),Q(2,0),則PQ二

m直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數尸kx+b中k的

值；可由兩個點的坐標干脆求得：若A(XJ),B(Z，%)—尸乙)，則

k-AzA

,(y標之差除以對應的x標之差)】

例題：若A(2,-3),例-1,4),則.一

??

解：?A(2,-3),B(-l,4),

*z(-3)-4_7

??^=2-(-1)-3

①若A((),2),B(3,O),則k”=。

若A(l,?2),B(-3,1),則k"

②。

若M(-3,l),N(-2,-4),貝

③。

若P(l,-4),Q(-l,2),則

④

若C(-l,1),Q(—,一一),則%。二

⑤23-------------o

2I1

若E(；,-1),F(--,貝狄"二

⑥332-------------。

2II

右M(-￡,Q(-l,一不)，則k,w0=

⑦532------------------。

231

若P(-―Q(-l?~-)，則kp°=

⑧344-------------。

點到直線的距離公式：

(8)

點P(X。,短到直線Ax+By+C=O(為了便利計算，A,B,C最好化為整系數)

d_砂02cl

的距離公式為：VA2+B2,運用該公式時，要先把一次函數

y=kx+b化為一般式Ax+By+OO的形式(即：先寫x項，再寫y項，最終寫

常數項，等號右邊必需是0)。

12

V=-X—

例題：求點P(2「3)到直線23的距離。

I2

y=-x—

解：先把直線23化為一般式

3x-6y-4=0

</_|3x2-6x(-3)-4|_4^

所以商+(-6『3

注：4。+4%十0的值就是把點(x(),)，。)對應代入代數式Ax+By+c中。

或者把y一通過移項化為

(同樣要先寫x

項，再寫y項，最終寫常數項，等號右邊必需是0)。

d=網

從而V1+P

12

y=-x-

另解：因為23,p(2,-3)

19

x2-(-3)+(-%)

d二

所以(注：由于系數中

有分數，計算比較繁雜)。

求點P(-2,1)到直線y=x+2的距離

①

求點Q(1,-4)到直線y=2x-l的距離。

求點A(1,2)到直線y=2xT的距離

③2

求點M(0,-3)到直線y=！xT的距離

@3

求點P(-2,0)到直線y='x-L的距離

⑤24

⑥求點K(-3,-2)到直線y=「3x的距離。

求點P(-3,-1)到直線尸,X-1的距離

⑦23

求點P（--,-1）到直線y=：x+，的距離

⑧232

求點Q到直線y二』x」的距離

⑨2342

求點P77到直線y二士3x」1的距離

⑩3424

求點N"16）到直線-*|的距離

7711

“求點D（-?Z）到直線廠5J的距離

求點E7?到直線y=±7」1x的距離

135324

在一個題中設計若干常見問題：

女口圖示，已矢口板4物線y=/—2X_3與y軸交于點B,與X

軸交于C,D（C在D點的左側），點A為頂點。

A

①判定三角形ABD的形態？并說明理由。

A

【通法：運用兩點間的距離公式，求出該三角形各邊的長】

②三角形ABD與三角形BOD是否相像？說明理由。

\A

【通法：用兩點間的距離公式分別兩個三角形的各邊之長，再

用相像的判定方法】

③在X軸上是否存在點P,使PB+PA最短？若存在求出點P的坐標,

A

【通法：在兩定點中任選一個點（為了簡潔起見，經常取軸上的點）,

求出該點關于題中的動點運動所經過的那條直線的對稱點的坐標，再把此

對稱點與余下定點相連】

④在y軸上是否存在點P,使三角形PAD的周長最小？若存在，求出

點P的坐標，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由。

AY

o

DX

A

【通法：留意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需PA+P

D最小】

⑤在對稱軸x=1上是否存在點P,使三角形PBC是等腰三角形?

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

x=l

【通法：對動點P的坐標一母示（1,t）后，分三種狀況，若

P為頂點，則PB=PC；若B為頂點，則BP=BC；若C為頂點，則

CP=CBO分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度】。

B

【通法：分類探討，用兩點間的距離公式】。

⑦在直線BD下方的拋物線上是否存在點P,使的面積最大？若

存在，求出點P的坐標，若不存在，請說叨理由。

0

D

?P

B

【通法：sPBD上（動）下（動））“x右（定）-x左（定））】

⑧在直線BD下方的拋物線上是否存在點P,使四邊形DOBP的面積最

大？若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值；若不存在,

請說明理由。

D

?p

B

【通法：S四邊形003PHsDOB+SDBP或S四邊形DOBP=SBOp+SDP0

?在直線BD下方的拋物線上，是否存在點P,使四邊形DCBP的面積

最大？若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值；若不存在,

請說明理由.

⑩在直線BD下方的拋物線上，是否存在點P,使點P到直線BD的

距離最大？若存在，求出點P的坐標，并求出最大距離；若不存在，請說

明理由。

【通法：因為BD是定線段，點P到直線BD的距離最大，意味著三

角形BDP的面積最大】

11在拋物線上，是否存在點P,使點P到直線BD的距離等于3,

若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

八

Y

\0/

D

B

【通法：在動點坐標一母示后，用點到直線的距離公式，列出方程,

求解即可】。

A

【通法;在動點P的坐標一母示后，把到羽形三角形ABD的面積算出,

借助于動點坐標把動三角形PBC的面積表示出來，再代入已知中的面積等

式】。

13若點P在拋物線上,

【通法：利用與點B的坐標，求出直線PB的解析式,

再把此解析式與拋物線方程組成方程組，即可求出P點的坐標】。

14若Q是線段CD上的一個動點（不與CD重合），QE交BC于

點E,當三角形QBE的面積最大時，求動點Q的坐標。

Q

cX

\//D

E

B

【通法：三角形QBE是三邊均動的動三角形，把該三角形分割成兩個

三角形基本模型的差，即SQ陀=題中平行線的作用是有兩個

三角形相像，從而有對應邊的比等于對應高的比，最終該動三角形的面積

方可表示為，以動點Q(l,0)的坐標有關的開口向下的二次函數。】

15若E為x軸上的一個動點，F為拋物線上的一個動點，使B,D,E,F

構成平行四邊形時，求出E點的坐標。

【通法：以其中一個已知點(如：點B)作為起點，列出全部對角線

的狀況（如：BD,BE,BF）,分別設出兩個動點（點E,點F）,運用中點

坐標公式，求出每一種狀況下，兩條對角線的中點坐標，留意到兩個中點

重合，其坐標對應相等，列出方程組，求解即可】。

中考二次函數壓軸題分析

（_）【2012宜賓中考】如圖，拋物線丁二工2-2工+。的頂點人在直

線l:y=x-5上。

（1）求拋物線頂點A的坐標。

（2）設拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C,D（C點在D點

的左側），試推斷三角形ABD的形態:

(3)在直線1上是否存在一點P,使以點P,A,B,D為頂點

的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說

明理由。

A

(-)【2012涼山州中考】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4

與x軸，y軸分別交于A,B,兩點，拋物線)，=*+法+'經過A,B,兩點，并

與x軸交于另一點C(點C在點A的右側)，點P是拋物線上一動點。

(1)求拋物線的解析式與點C的坐標.

(2)若點P在其次象限內，過點P作PD，x軸于D,交AB于點E.

當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？

(3)假如平行于x軸的動直線1與拋物線交于點Q,與直線AB交

于點N,點M為OA的中

M丫

點，則是否存在這樣的直線

1,使得三角形MON是等

腰三角形？若存在，懇求出

點Q的坐標；若不存在，請

說明理.

（三）［2012廣安市中考】在平面直角坐標系xOy中，ABJ_x軸于點B,

AB=3,tanZA0B=3/4o將△OAB圍著原點。逆時針旋轉90“，得到△0AB；

再將△0AB圍著線段0B,的中點旋轉180“，得到△0AB,拋物線y=ax2+bx+c

（a^O）經過點B、Bi、A”

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限內，拋物線上的點P在什么位置時，△PBBi的面積最

大？求出這時點P的坐標；

（3）在第三象限內，拋物線上是否存在點Q,使點Q到線段BBi的距

離為也？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

2

y

圖12

備用圖

（四）12012樂山中考】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為

（m,m）,點B的坐標為（n,-n）,拋物線經過A、0、B三點，連接0A、

OB、AB,線段AB交y軸于點C.己知實數m、n（m<n）分別是方程x?-

2x-3=0的兩根.

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點P為線段OB上的一個動點（不與點0、B重合），直線PC

與拋物線交于D、E兩點（點D在y軸右側），連接0D、BD.

①當△OPC為等腰三角形時，求點P的坐標；

②求ABOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標.

（五）【2012成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數

），=3x+〃z（加為常數）的圖象與x軸交于點A（-3,0）,與y軸交于點C.以

4

直線x=l為對稱軸的拋物線），=依2+云+c5氏c為常數，且〃W0）經

過A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.

（1）求〃，的值與拋物線的函數表達式；

（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線

交x軸于點F.是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形

是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標與相應的平行四邊形的面積；若

不存在，請說明理由；

（3）若P是拋物線對稱軸上使4ACP的周長取得最小值的點，過點

P隨意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于y）,乂式天，必）兩點,

摸索究MFMF是否為定值，并寫出探究過程.

M.M,

(六)【2012黃岡中考】如圖，已知拋物線的方程G：)，=-，(x+2)(x-〃z)

tn

(m>0)與x軸相交于點B、C,與y軸相交于點E,且點B在點C的左側。

(1)若拋物線G過點M(2,2),求實數m的值。

(2)在(1)的條件下，求三角形BCE的面積。

(3)在(1)的條件下,在拋物線的對稱軸上找一點H,使BH+EH最小,

并求出點H的坐標。

(4)在第四象限內，拋物線G上是否存在點F,使得以點B,C,F為

頂點的三角形與三角形BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，請說明

理由。

Y

A

（七）【2013宜賓中考】如圖，拋物線丁=o?+加一4a經過ACT,0）,

C（0,4）兩點，與x軸交于另一點B。

（1）求拋物線的解析式；

（2）己知點D（m,m+1）在第一象限的拋物線上，求點D關于直線BC對

稱的點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接BD,點P為拋物線上一點，且NDBP=45，

求點P的坐標。

A0BX

（八）【2013山西中考】如圖，拋物線），=1/一31_4與X軸交于A,B,

兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊，點

0為對稱中心作棱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為（m,0）,

過點P作x軸的垂線1交拋物線于點Q.

（1）求點A,B,C的坐標.

（2）當點P在線段OB上運動時，直線1分別交BD,BC于點M,N.摸

索究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請推斷四邊形CQBM

的形態，并說明理由.

（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q,使三角形BDQ為直角

三角形？若存在，請干脆寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

C

(九)【2013重慶中考】如圖，對稱軸為直線x=T的拋物線

2

y=cvc+bx+c(a，0)與x軸交于A,B兩點，其中點A的坐標為(-3,0).

(1)求點B的包標；

(2)已知a=l,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且S?況=4S8OC,求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QD~1?"軸拋物線于點D,求線段QD

長度的最大.

(十)【2013浙江紹興市中考】拋