...wd......wd......wd...函數專題：單調性與最值一、增〔減〕函數1.概念一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數。注意：①函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；②增〔減〕函數是相對于相應區間而言的，不能離開相應的區間討論增減性。二、判斷函數單調性的常用方法1、〔圖像法〕根據函數圖象說明函數的單調性．〔直觀〕例1、如圖是定義在區間[－5，5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數2．利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形〔通常是因式分解和配方〕；④定號〔即判斷差f(x1)－f(x2)的正負〕；⑤下結論〔即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性〕．例、證明函數在〔0,1〕上為減函數．例、判斷函數單調性.(p>0)【歸納小結】函數的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結論3、直接法對基本初等函數，如一次函數、二次函數、反比例函數可以直接寫出它們的單調區間.一次函數y=kx+b,當k>0時，增區間是〔-∞，+∞〕；當k<0時,減區間是〔-∞，+∞〕〖針對性練習〗1.函數的單調區間是〔〕A．〔-，+〕B.〔-，0〕和〔1，，〕C.〔-，1〕和〔1，〕D.〔-，1〕〔1，〕2.假設函數f(x)=|2x+a|的單調遞增區間是[3,+〕，求a的值。3．函數的增區間是〔〕。A．[-3，-1]B．[-1,1]C．D．4、函數，判斷在區間〔0，1〕和〔1，+〕上的單調性。5、函數y=是定義在[-1,2]上的增函數，且滿足：f(a-1)>f(1-3a)，求實數a的取值范圍。6、f〔x〕=x2-2(1-a)x+2在〔-∞，4]上是減函數，求實數a的取值范圍.☆☆☆復合函數的單調性☆☆☆1、定義：設y=f(u),u=g(x),當x在u=g(x)的定義域中變化時，u=g(x)的值在y=f(u)的定義域內變化，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，記為y=f(u)=f[g(x)]稱為復合函數，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量(即函數)2、復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：函數單調性增增減減增減增減增減減增例、，求的單調性。例、，求函數的單調性?！坚槍π杂柧殹?、，求函數的單調性。2、，如果，那么〔〕A.在區間〔-1，0〕上是減函數B.在區間〔0，1〕上是減函數C.在區間〔-2，0〕上是增函數D.在區間〔0，2〕上是增函數3、函數f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),試求g(x)的單調區間.三、函數的最大〔小〕值1．函數最大〔小〕值定義1〕最大值：一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：〔1〕對于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，稱M是函數的最大值．2〕最小值：一般地，設函數的定義域為I，如果存在實數M滿足：〔1〕對于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，稱M是函數的最小值．注意：①函數最大〔小〕首先應該是某一個函數值，即存在，使得；②函數最大〔小〕應該是所有函數值中最大〔小〕的，即對于任意的，都有．例、求函數．①②③例、求函數在區間[2，6]上的最大值和最小值．例、設函數f(x)＝(x＋a)2對于任意實數t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．(1)求a的值；(2)如果x∈[0，5]，那么x為何值時函數y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值與最大值．【針對性練習】一、選擇題1．函數y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分別為()(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，32．函數的最小值為()(A) (B)1 (C)2 (D)4二、填空題1．函數y＝2x2－4x－1x∈(－2，3)的值域為______．2．函數的值域為______．3、函數的值域是。三、解答題1．求函數的值域．2．函數f(x)在R上是減函數，對于任意的x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),f(1)=-2/3,求f(x)在[-3,3]上的最值。3、求函數y=x-1+四、奇偶性1.概念一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f〔-x〕=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。從圖像的角度，圖像關于y軸對稱的函數是偶函數，關于原點對稱的函數是奇函數。例.下面三個結論：①偶函數的圖像一定與y軸相交；②奇函數的圖像一定通過原點；③偶函數的圖像關于y軸對稱.其中正確的個數有幾個2.判斷函數奇偶性的一般步驟：①求定義域，判斷其定義域是否關于原點對稱〔不對稱→非奇非偶〕②化簡函數f(x)的解析式，并求f(-x)③根據f(-x)與非f〔x〕的關系，判斷函數f(x)的奇偶性例、判斷以下函數的奇偶性：〔1〕f(x)=x〔2〕f(x)=x-13.奇〔偶〕函數的性質①f(x)是偶函數，則f(-x)=f(x)=f(|x|)②假設奇函數在原點處有定義，則f(0)=0③偶函數的和、差、積、商〔分母不為零〕仍為偶函數；奇函數的和、差仍為奇函數；奇數個奇函數的積、商為奇函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數。④假設函數f(x)為奇函數，則f(x)在關于原點對稱的兩個區間[a,b]和[-b,-a]具有一樣的單調性；反之，偶函數具有相反的單調性。例、設f(x)是奇函數，在〔0，+∞〕上是減函數，試證明f(x)在〔-∞，0〕上是減函數.例、判斷以下函數的奇偶性：〔1〕y=ax+b/x,(a,b≠0)〔2〕y=ax/(x2+1),a≠0【針對性練習】f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,求f(2).2、設函數f〔x〕和g〔x〕分別是R上的偶函數和奇函數，則以下結論恒成立的是〔〕A、f(x)+|g(x)|是偶函數B、f(x)-|g(x)|是奇函數C、|f(x)|+g(x)是偶函數D、|f(x)|-g(x)是奇函數3、判斷函數f(x)=|x+a|-|x-a|,a∈R的奇偶性.4.設函數f(x)是