專題19最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產中，人們總想節省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數學問題上，

就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現階段，解這類問題

的相關知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.

2、利用完全平方式性質.

3、運用不等式（組）逼近求解.

4、借用幾何中的不等量性質、定理等.

解答這類問題應當包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更?。硪环矫嬉e例說

明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構造一個合適的例子.

例題與求解

【例1】若c為正整數，且abc，bcd，dab，則（ab）（bc）（cd）（da）

的最小值是.

（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關于C的信息量最多，應突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數式表示.

【例2】已知實數a，b滿足a2b21，則a4abb4的最小值是（）

19

A.B.0C.1D.

88

(全國初中數學競賽試題)

解題思路：對a4abb4進行變形，利用完全平方公式的性質進行解題.

【例】如果正整數滿足，求的最大值

3x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5x5.

解題思路：不妨設，由題中條件可知

x1x2x3x4x5

11111

=1.結合題意進行分析.

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

【例4】已知x,y,z都為非負數，滿足xyz1，x2y3z4，記w3x2yz，求w的

最大值與最小值.

（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關鍵是用含一個字母的代數式表示w.

【例5】某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊

向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的

任務，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關，

其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務最低的耗油費用.

（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應當使運送次數盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方

法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.

【例6】直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內或邊界上的一點，P

到三邊的距離分別為，，，求的最大值和最小值，并求當取最大值和

d1d2d3d1+d2+d3d1+d2+d3

最小值時，P點的位置.

（“創新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.

能力訓練

A級

1.社a，b，c滿足a2b2c29，那么代數式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是.

（全國初中數學聯賽試題）

2.在滿足x2y3,x0,y0的條件下，2xy能達到的最大值是.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，

則的最大值是.

（全國初中數學聯賽試題）

c

4.已知有理數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是.

a

（數學夏令營競賽試題）

5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x值，得到對應的值，在這些對應的值中，最小的

值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.若a，b，c，d是整數，b是正整數，且滿足bcd，dca，bac，那么abcd的最

大值是（）.

A.-1B.-5C.0D.1

(全國初中數學聯賽試題)

7.已知xya,zy10,則代數式x2y2z2xyyzxz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知x，y，z均為非負數，且滿足xyz=30，3xyz50，又設M5x4y2Z，則M

的最小值與最大值分別為（）.

A.110，120B.120，130C.130，140D.140，150

x12yz3

9.已知非負實數x，y，z滿足，記w3x4y5z.求w的最大值和最小值

234

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現計劃用這兩種布料生產L，M兩種型號的童裝共50

套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝

需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問該廠生產的這批童裝，當L型號的童裝為多少

套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？

（江西省無錫市中考試題）

專題19最值問題

例124提示：ac,b2c,d3c，原式24c3．

2

4422222219

例2B提示：aabbab2abab12abab2ab．

48

2

1131119

因為2aba2b21，所以ab，從而ab，故0ab

22444416

2

1999

因此02ab，即0a4abb4．

4888

例設，則

3x1x2x3x4x5

11111111113xx

1=45于是得到

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5

．即．

x4x5x4x53x41x514

若，則，與題設等式為矛盾；若，則，即，當

x41x1x2x3x414x5x5x41x514x55x55

時，容易找到滿足條件的數組，，，，，所以的最大值是．

(11125)x55

xyz1x5z2x5z2023

例4由，得，由得z，則

x2y3z4y34zy34z054

2163

3x2yz35z2234zz8z，當z時，有最小值；當z時，有最大值6．

554

例5提示：顯然運送次數越少，所行駛的路程越短，所需郵費越少，因此，18根電線桿運送5次行駛路

程較短，這5次有兩種運送方法：（1）四次個4根，一次2根；（2）三次各4根，二次各3根．

（1）考慮先送2根，后送4根；先送4根，后送2根．

①先送2根，再送4根，二次共走行駛：

10001002110040025200米；

②先送4根，再送2根，二次共行駛：

10003002130020025600米；

（2）兩次各送3根時，所行路程為

10002002120030025400米.

故先送2根所行駛路程最短，最短總行程為：

100010021100400215004002

19004002230040019000米

故所用最少油費為19000mn100019mn元

例6如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13.點P

到，，的距離分別為，連接，，

BCCAABd1,d2,d3PAPB

PC，由三角形的面積公式知：

1111

5d12d13d512.

2122232

即

5d112d213d360.

顯然有

5d1d2d35d112d213d313d1d2d3.

60

故ddd12.

13123

當時，有，即取最大值時，與重合；當時，

d2d30d1d2d312d1d2d3PAd1d20

60

有ddd，即ddd取最小值時，P與C重合.

12313123

A級

2

1.27原式=3a2b2c2abc27

2.6

32390A2ABBC

3.15°提示：

66

270ABC90

15

66

c1c

4.2提示：bac,acb，∴2ac,2，又把bac代入bc中，

a2a

c1c1

得acc，∴.故2.

a2a2

5.D6.B7.A8.B

x12yz3

9.設k，則x2k1,y3k2,z4k3.

234

2k10

12

∴x,y,z均為非負實數.∴3k20，解得：k.

23

4k+30

故3x4y5z32k143k254k314k26.

121

∴142614k261426，即1935，

233

1

所以的最小值是19，最大值是35.

3

10.20套.1800元.提示：設生產L型號的童裝套數為x，則生產M型號的童裝為50x套，所得利潤

S45x3050x15x1500.

0.5x0.950x38

由

x0.250x26

得17.5x20，x18,19,20.

11.最小表面積的打包方式為2×3.最小表面積為17952mm2，圖略.

B級

1.27當b2,a25時，ab的值最大.

2.102提示：mn19n98,19n980.

5b8b64b

3.1157提示：a,c,d.

8525

4.B，D，E93.62百元

5.13800元提示：設由甲庫調運x噸糧食到B市，總運費為y元，則

y5x6600x6800x9600x

2x138000x600

abcd

6.C提示：

abcdabcdabcdabcd

abcd

M.

ababcdcd

故1M2.

363636

7.B提示：設Sx，則S.故S四邊形ABCD13x132x25.

AODBOCxxx

8.（1）2222

a1a2a2002a1a2a20022m20122m.

2

aaa2012

m122002.

2

當或時，取最大值當中恰有1001個1，1001個

a1a2a200211m2003001.a1,a2,,a20021

時，m取最小值1001.

（）因為大于2002的最小完全平方數為2，且必為偶數，所以

2452025a1a2a2002

或；即中恰有1024個1，978個或1024個，978個

a1a2a20024646a1,a2,,a200211

1

1時