專題12心中有數

閱讀與思考

現代社會是一個數字化的社會，我們每個人每天都要和各種各樣的數字打交道，從國民生產總值、

人均消費水平、人口自然增長率、股市綜合指數，到家庭的水、電、煤氣的月平均數，學生的身高、體

重、考試成績，都與數字有關.“用數據說話”已成為從事許多工作的基本要求，能用數據說話的人必

須具備一定的統計知識.

對數據進行收集、整理、計算、分析，并在此基礎上作出科學的推斷，這就是數據分析，是統計學

研究的基本范疇和方法，收集數據、量化處理的目的在于運用統計結果進行判斷和決策.

統計學的基本思想就是用樣本對總體進行估計、推理，即用樣本的平均水平、波動情況、分布規律

等特征估計總體的平均水平、波動情況和分布規律，是從局部看整體的思想方法.

例題與求解

【例l】在對某班的一次數學測試成績進行統計分析中，各分數段的人數如圖所示（分數取正整數，

滿分100分）.請觀察圖形，并回答下列問題：

（1）該班有________名學生.

（2）69.5~79.5這一組的頻數是_________，頻率是_________.

（3）請估算該班這次測驗的平均成績.

（黃岡市中考試題）

解題思路：從頻率直方圖中捕捉相關信息.

【例2】某學生通過先求x與y的平均值，再求得數與z的平均值來計算x，y，z三個數的平均數.

當xyz時，這個學生的最后得數是（）

A.正確的B.總小于AC.總大于A

D.有時小于A，有時等于AE.有時大于A，有時等于A

（第二屆美國中學生邀請賽試題）

解題思路：按不同方法計算平均值，作差比較它們的大小.

【例3】某校九年級學生共有900人，為了解這個年級學生的體能，從中隨機抽取部分學生進行1min

的跳繩測試，并指定甲、乙、丙、丁四名同學對這次測試結果的數據作出整理，下圖是這四名同學提供

的部分信息：

甲：將全體測試數據分成6組繪成直方圖（如圖）；

乙：跳繩次數不少于105次的同學占96%；

丙：第①、②兩組頻率之和為0.12，且第②組與第⑥組頻數都是12；

丁：第②、③、④組的頻數之比為4：17：15．

根據這四名同學提供的材料，請解答如下問題：

（1）這次跳繩測試共抽取多少名學生？各組有多少人？

（2）如果跳繩次數不少于135次為優秀，根據這次抽查的結果，估計全年級達到跳繩優秀的人數為多

少.

（3）以每組的組中值（每組的中點對應的數據）作為這組跳繩次數的代表，估計這批學生1min跳繩次

數的平均值．

（安徽省中考試題）

解題思路：本題考查了頻率、頻數的概念和對頻數直方圖的認識，要理解各組頻率之和為1，各組頻數

之和等于總數，掌握好這些知識點，自然可以解決問題.

【例4】編號為1到25的25個彈珠被分放在兩個籃子A和B中，15號彈珠在籃子A中，把這個彈

1

珠從籃子A移至籃子B中，這時籃子A中的彈珠號碼數的平均數等于原平均數加，籃子B中彈珠號

4

1

碼數的平均數也等于原平均數加．問原來在籃子A中有多少個彈珠？

4

（第十六屆江蘇競賽試題）

解題思路：用字母分別表示籃子A，B中的彈珠數及相應的平均數，運用方程（組）來求解.

【例5】某次數學競賽共有15道題，下表是對于做對n（n=0，1，2，…，15）道題的人數的一個統

計，如果又知其中做對4道題和4道以上的學生每人平均做對6道題，做對10道題和10道題以下的學

生每人平均做對4道題，問這個表至少統計了多少人？

問這個表至少統計了多少人？

n0123…12131415

做對n道題的人數781021…15631

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：從統計表中可知做對0~3道題、12~15道題的相應總人數和總題數，結合已知條件，運用方

程（組）、不等式（組）等知識方法求解.

【例6】一次中考模擬考試中，兩班學生數學成績統計如下：

分數5060708090100

三（3）251013146

人數

三（4）441621212

請你根據學過的統計學知識，判斷這兩個班在這次模擬考試中的數學成績誰優誰次？并說明理由.

解題思路：這是一道開放性試題，看考慮問題是從哪一個側面入手.本題因未說明從何種角度來考慮，

故我們應多想幾套方案.

能力訓練

A級

1.大連是一個嚴重缺水的城市，為鼓勵市民珍惜每一滴水，某居委會表彰了100個節約用水模范戶，5

月份這100戶節約用水的情況如下表：

每戶節水量（單位：噸）11.21.5

節水戶數523018

那么，5月份這100戶平均節約用水的噸數為（精確到0.01噸）_________噸.

（大連市中考試題）

2.某班全體學生進行了一次籃球投籃練習，每人投球10個，每投進一球得1分．得分的部分情況如下

表所示：

得分012…8910

人數754…341

已知該班學生中，至少得3分的人的平均得分為6分，得分不到8分的人的平均得分為3分，那么該班

學生有___________人．

（江蘇競賽試題）

3.甲、乙兩名學生在相同的條件下各射靶10次，命中的環數如下：

甲：78686591074

乙：9578768677

所以應確定_______去參加射擊比賽.

4.在綜合實踐課上，六名同學做的作品的數量（單位：件）分別是：5，7，3，x，6，4，若這組數據

的平均數是5，則這組數據的中位數是_________件.

（包頭市中考試題）

.如果一組數據，，，，的平均數是，則另一組數據，，，，

5x1x2x3x4x5xx1x21x32x43x54

的平均數是（）

5

A.xB.x2C.xD.x10

2

（天津市中考試題）

6.10名工人某天生產同一零件，生產的件數是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．設這些零

件數的平均數為a，眾數為b，中位數為c，那么（）

A.abcB.bcaC.acbD.bac

（寧夏中考試題）

7.為了了解某區九年級7000名學生，從中抽查了500名學生的體重.就這個問題而言，下列說法正確的

是（）

A．7000名學生是總體B．每個學生是個體

C．500名學生是樣本D．樣本容量為500

5

8.已知1~99中有49個偶數，從這49個偶數中取出48個數，其平均數為49，則未取的數字是（）

12

A．20B．28C．72D．78

（臺灣省中考試題）

9.甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示：

（1）分別求出兩人得分的平均數與方差；

（2）根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價.

（安徽省中考試題）

10.某校要從九年級（1）班和（2）班中各選取10名女同學組成禮儀隊，選取的女生身高如下：（單位：

厘米）

（1）班：168167170165168166171168167170

（2）班：165167169170165168170171168167

（1）補充完成下面的統計分析表

班級平均數方差中位數極差

（1）班1681686

（2）班1683.8

（2）請選一個合適的統計量作為選擇標準，說明哪一個班能被選取.

（2013寧夏回族自治區中考試題）

11.為估計一次性木質筷子的用量，2011年從某縣共600家高、中、低檔飯店中抽取10家作樣本.這些

飯店每天消耗的一次性筷子盒數分別為：

0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.

（1）通過對樣本的計算，估計該縣1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350個營業日計算）；

（2）2013年又對該縣一次性木質筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調查，調查的結果是10個樣本飯店

每個飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求該縣2012年、2013年這兩年一次性木質筷子用量平均每

年增長的百分率（2012年該縣飯店數、全年營業天數均與2011年相同）；

（3）在（2）的條件下，若生產一套中小學生桌椅需木材0.07m3，求該縣2013年使用一次性筷子的木

材可以生產多少套學生桌椅?

計算中需用的有關數據為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質量為5g，所用木材的密度為0.5×103kg/m3；

（4）假如讓你統計你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統計知識去做，簡要地用

文字表述出來．

12.由9位裁判給參加健美比賽的12名運動員評分.每位裁判對他認為的第1名運動員給1分，第2名

運動員給2分，…，第12名運動員給12分，最后評分結果顯示：每個運動員所得的9個分數中高、低

之差都不大于.設各運動員的得分總和分別為，，…，，且，求的最大值.

3c1c2c12c1c2c12c1

(第十九屆江蘇省競賽試題)

B級

1.為制定本市初中七、八、九年級學生校服的生產計劃，有關部門準備對180名初中男生的身高作調查，

現有三種調查方案：

A、測量少體校中180名男子籃球、排球隊員的身高；

B、查閱有關外地180名男生身高的統計資料；

C、在本市的市區和郊縣各任選一所完全中學、兩所初級中學，在這六所學校有關年級的（1）班中，用

抽簽的方法分別選出10名男生，然后測量他們的身高．問：

（1）為了達到估計本市初中這三個年級男生身高分布的目的，你認為采用上述哪一種調查方案比較合

理，為什么？

答：選________；理由：______________________________________________________________

（2）下表中的數據是使用了某種調查方法獲得的：

初中男生身高情況抽樣調查表

人數年級總計

七年級八年級九年級

身高(cm)（頻數）

143~1531230

153~1631896

163~173243339

173~18361512

183~193003

（注：每組可含最低值，不含最高值）

①根據表中的數據填寫表中的空格；

②根據填寫的數據繪制頻數分布直方圖．

（上海市中考試題）

2.為了檢查一批產品的合格率，從中檢查了100個產品，測得數據如下：

數據a1a2a3a4a5a6a7a8

個數51015202015105

其中，，，…，是從小到大排列的兩位數，且每個兩位數與它的反序數（的反序數是）

a1a2a3a81221

之和都為完全平方數，樣本的方差是________.

（遼寧錦州市競賽試題）

3.五名學生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為

abcd

b米，前兩名的平均身高為c，后三名的平均身高為d，則與比較（）

22

abcd

A.大B.大C.兩者相等D.無法確定

22

（“五羊杯”邀請賽試題）

.已知數據，，的平均數為，，，的平均數為，則數據，，

4x1x2x3ay1y2y3b2x13y12x23y2

的平均數為（）

2x33y3

2

A.2a3bB.abC.6a9bD.2ab

3

（全國初中數學競賽試題）

5.小林擬將1，2，…，n這n個數輸入電腦，求平均數.當他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入(n1)個

5

數，平均數為35，假設這(n1)個數輸入無誤，則漏輸入的一個數是（）

7

A.10B.53C.56D.67

（江蘇省競賽試題）

6.如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成一個矩形零件，

使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上．設該矩形的長QM=ymm，寬MN=xmm．

3

（1）求證：y120x；

2

（2）當矩形PQMN的面積最大時，它的長和寬是關于t的一元二次方程t210pt200q0的兩個根，

而p、q的值又恰好分別是a，10，12，13，b這5個數據的眾數與平均數，試求a與b的值．

（廣西壯族自治區中考試題）

7.某班參加一次智力競賽，共a，b，c三道題，每題或者得滿分或者得0分．其中題a滿分20分，b、

c題滿分都為25分，競賽結果：每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的

有15人，答對題a的人數與答對題b的人數之和為29；答對題a的人數與答對題c的人數之和為25；

答對題b的人數與答對題c的人數之和為20，問這個班的平均成績是多少.

（全國初中數學聯賽試題）

8.元旦聯歡會某班布置教室，同學們利用彩紙條粘成一環套一環的彩紙鏈，小敏測量了部分彩紙鏈的長

度，她得到的數據如下表：

紙環數x（個）1234…

彩紙鏈長度y(cm)19365370…

（1）把上表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在如圖所示的平面直角坐標系中描出相應的點，猜

想y與x的函數關系，并求出函數關系式；

（2）教室天花板對角線長10m，現需沿天花板對角線各拉一根彩紙鏈，則每根彩紙鏈至少要用多少個

紙環？

（濟南市中考試題）

9.某射擊運動員在一次比賽中，前6次射擊已經得到52環，該項目的記錄是89環（10次射擊，每次射

擊環數只取1～10中的正整數）．

（1）如果他要打破記錄，第7次射擊不能少于多少環？

（2）如果他第7次射擊成績為8環，那么最后3次射擊中要有幾次命中10環才能打破記錄？

（3）如果他第7次射擊成績為10環，那么最后3次射擊中是否必須至少有一次命中10環才有可能打

破記錄？

（山東省中考試題）

10.“中國夢”關乎每個人的幸福生活.為進一步感知我們身邊的幸福，展現成都人追夢的風采，我市某

校開展了以“夢想中國，逐夢成都”為主題的攝影大賽，要求參賽學生每人交一件作品．現將參賽的50

件作品的成績（單位：分）進行統計如下：

等級成績（用s表示）頻數頻率

A90s100x0.08

B80s9035y

Cs80110.22

合計501

請根據上表提供的信息，解答下列問題：

（1）表中的x的值為________，y的值為_______；

（2）將本次參賽作品獲得A等級的學生依次用A1，A2，A3，…表示，現該校決定從本次參賽作品中獲

得A等級學生中，隨機抽取兩名學生談談他們的參賽體會，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到學生A1和

A2的概率．

（2013年成都市中考試題）

專題12心中有數

18

例1（1）60（2）0.3（3）71（分）

60

例2C

例3（1）第①組頻率為1-96%=0.04，∴第②組頻率為0.12-0.04=0.08.故總人數為12÷0.08=150（人），

又第②、③、④組的頻數之比為4：17：15，可算得第①⑥組的人數分別為6、12、51、45、24、12.

（2）第⑤⑥兩組的頻率之和為0.16+0.08=0.24，由于樣本是隨機抽取的，可估計全年級有900×0.24=216

（人）達到優秀.

例4設原來籃子A中有彈珠x個，則籃子B中有彈珠（25-x）個，又設原來A彈珠號碼數的平均數為

ax(25x)b1225325

a,B中彈珠號碼數的平均數b，則ax151，解得x=9.

a

x14

b(25x)151

b

26x4

即原來籃子A中有9個彈珠.

例5提示：由統計表可知：做對0～3道題的總人數為7+8+10+21=46（人），他們做對題目數的總和為7

×0+8×1+10×2+21×3=91（題）；做對12～15道題的總人數為15+6+3+1=25（人），他們做對題目數的

和為15×12+6×13+3×14+1×15=315（題）．

以x0，x1，…，x15分別表示做對0道、1道、…、15道題目的人數，由題意得

4x5x15x0x2x10x

45156，12104

x4x5x15x0x1x2x10

即；

4x45x515x15=6(x4x5x15)0x12x210x10=4

（）

x0x1x2x10

兩式相減得…）…

11x11+12x12+15x15-(x1+2x2+3x3)=6(x4x5x15)-4(x0x1x2x10=6(x11+x12+

+x15)-4(x0+x1+x2+x3)+2(x4+x5+…+x10)=4(x11+x12+…+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2(x0+x1+…

+x15)=4x11+4(x12+x13+x14+x15)-6(x0+x1+x2+x3)+2（x0+x1+…+x15）

而x0+x1+x2+x3=46,x12+x13+x14+x15=25,0+x1+2x2+3x3=91,12x12+13x13+14x14+15x15=315

代入上式得llx11+315-91=4x11+4×25-6×46+2(x0+x1+…+x15)．

故x0+x1+…+x15=200+3.5x11(x11≥0)，因此，當x11=0時，統計的總人數x0+x1+…+x15最少為200人.

例6方案一從平均數的角度，其解為

1

x[50260570108013

9014100680

三350

1

x504604701680290121001280

三450

因此，從平均數的角度來看，兩班成績一樣好．

方案二從選拔人才的角度考慮：三(3)班高于90分的人數有20人，三(4)班有24人；同時三(4)

班滿分人數比三(3)班多6人，這說明三(4)班尖子生比三(3)班多.

因此，從選拔人才的角度看，三(4)班比三(3)班成績好．

方案三從眾數的角度來思考：三(3)班成績的眾數為90，三(4)班成績的眾數為70，

因此．從成績的眾數來看，三(3)班優于三(4)班．

方案四從方差或標準差的角度來考慮．

1222222

∵s25080260805708010808013908014100806172

三350

21222222∴

s三50

80460

804708016808029080121008012256

450

2＜2，即三班成績較三班波動要小，從而說明三班成績優于三班．

s三3s三4(3)(4)(3)(4)

方案五從中位數的角度來考慮．三(3)、三(4)兩班成績的中位數都為80分．三(3)班成績在中位數

以上（包括中位數）有33人，三(4)班成績在中位數以上（包括中位數）有26人，從這一角度來看，

三(3)班學生成績整體較好．

A級

1.1.152.43設共有x人．由(x-4-5-7)×6+2×4+1×5+0×7=(x-3-4-1)×3+8×3+9×4+10×1，得x=43.

3．乙4.55．B6．C7．D8．D

22

9．(l)x甲x乙13,S甲4,S乙0.8(2)乙的成績較穩定，從折線圖看，乙的成績則在平均線上下波

動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．、

10.（1）

班級平均數方差中位數極差

(1)班1683.21686

(2)班1683.81686

(2)(1)班

0.0052.42100600350

11.x=2.02×600×350=420000(盒)(2)10%(3)7260(套)

0.51030.07

(4)略

12.9名裁判不可能給某5位或5位以上的運動員都評為1分，因為對于5位或5位以上的運動員中，至

少有一名運動員被某裁判評的分不小于5．而按照題意，這5名運動員中的每一位被各裁判所評的分不

大于4，矛盾．因此，9名裁判至多給某4名運動員都評為1分，下面分情形討論．

(l)如果所有裁判都給某一名運動員評為1分，那么C1=9;

(2)如果9名裁判評出的9個1分集中在兩位運動員名下，那么其中必有一名運動員至少被5名裁判都

評為1分，于是由題設可知，其余裁判給該運動員的評分不大于4，從而Cl≤5×1+4×4=21；

(3)如果裁判評出的9個1分集中在三位運動員名下，那么，這三名運動員各自所得的總分之和不大

于9×1+9×3+9×4=72，從而3c1≤cl+c2+c3≤72，故c1≤24；

(4)如果9個1分為4名運動員擁有，那么這4名運動員各人所得總分之和等于9×1+9×2+9×3+9×

4=90，從而4c1≤90，故c1<23.綜上可知，c1≤24．c1=24這種情形是可以實現的，見下表．

B級

1．（１）Ｃ（２）略

．設滿足條件的兩位數為＋，＋＋＋＝（＋）為完全平方數，則＋＝，從而，

210xy10xy10yx11xy