專題01二次根式的化簡與求值

閱讀與思考

二次根式的化簡與求值問題常涉及最簡根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、

換元等技巧.

有條件的二次根式的化簡與求值問題是代數變形的重點，也是難點，這類問題包含了整式、分式、

二次根式等眾多知識，又聯系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：

1、直接代入

直接將已知條件代入待化簡求值的式子.

2、變形代入

適當地變條件、適當地變結論，同時變條件與結論，再代入求值.

數學思想：

數學中充滿了矛盾，如正與負，加與減，乘與除，數與形，有理數與無理數，常量與變量、有理式

與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數學

就是在矛盾中產生，又在矛盾中發展.

想一想：若xyn（其中x,y,n都是正整數），則x,y,n都是同類二次根式，為什么？

例題與求解

12002

【例1】當x時，代數式(4x32005x2001)2003的值是（）

2

A、0B、－1C、1D、22003

（紹興市競賽試題）

【例2】化簡

abbab1b

（1）()

ababbabab

（黃岡市中考試題）

10141521

（2）

10141521

（五城市聯賽試題）

64332

（3）

(63)(32)

（北京市競賽試題）

315102633218

（4）

5231

（陜西省競賽試題）

解題思路：若一開始把分母有理化，則計算必定繁難，仔細觀察每題中分子與分母的數字特點，通

過分解、分析等方法尋找它們的聯系，問題便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是針對多項式而言的，在整式，分母中應用非常廣泛，但是因式分解的思想也

廣泛應用于解二次根式的問題中，恰當地作類似于因式分解的變形，可降低一些二次根式問題的難度.

【例3】比(65)6大的最小整數是多少？

（西安交大少年班入學試題）

解題思路：直接展開，計算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設x65,y65,

x46x32x218x23

想一想：設x1983,求的值.（“祖沖之杯”邀請賽試題）

x37x25x15

形如：AB的根式為復合二次根式，常用配方，引入參數等方法來化簡復合二次根式.

【例4】設實數x，y滿足(xx21)(yy21)1，求x＋y的值.

（“宗瀘杯”競賽試題）

解題思路：從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化.

【例5】（1）代數式x24(12x)29的最小值.

（2）求代數式x28x41x24x13的最小值.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：對于（1），目前運用代數的方法很難求此式的最小值，a2b2的幾何意義是直角邊

為a，b的直角三角形的斜邊長，從構造幾何圖形入手，對于（2），

設y(x4)252(x2)232，設A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相當于求AB＋AC的最

小值，以下可用對稱分析法解決.

方法精髓：

解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.

【例6】設ma2a1a2a1(1a2)，求m10m9m8m7m47的

值.

解題思路：配方法是化簡復合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對應式子的值.

能力訓練

A級

732008152008

1.化簡：()1004（“希望杯”邀請賽試題）

372008352008

2.若xy352,xy325，則xy＝_____(北京市競賽試題)

19971999

(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)

3.計算：

2001

(20011997)(20011999)

（“希望杯”邀請賽試題）

4.若滿足0＜x＜y及1088xy的不同整數對（x，y）是_______（上海市競賽試題）

5.如果式子(x1)2(x2)2化簡結果為2x－3，則x的取值范圍是（）

A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞0

6、計算14651465的值為（）

A．1B.5C.25D.5

（全國初中數學聯賽試題）

7．a，b，c為有理數，且等式ab2c3526成立，則2a＋999b＋1001c的值是（）

A．1999B.2000C.2001D.不能確定

（全國初中數學聯賽試題）

8、有下列三個命題

甲：若α，β是不相等的無理數，則是無理數；

乙：若α，β是不相等的無理數，則是無理數；

丙：若α，β是不相等的無理數，則是無理數；

其中正確命題的個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

（全國初中數學聯賽試題）

9、化簡：

xyyxyxxy26

（1）（2）

xyyxyxxy325

115746

（3）

7776642

524

（4）（天津市競賽試題）

103615

35

（5）（“希望杯”邀請賽試題）

361015

335

10、設x，求代數式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.

2

（“希望杯”邀請賽試題）

11、已知7x29x137x25x137x，求x的值.

n1nn1n

12、設x,x（n為自然數），當n為何值，代數式19x2123xy19y2的

n1nn1n

值為1985？

B級

11

1.已知x,y,則x312xyy3________________.(四川省競賽試題)

2323

2.已知實數x，y滿足(xx22008)(yy22008)2008，則3x22y23x3y2007＝＿

＿＿＿（全國初中數學聯賽試題）

47x2

3.已知x,那么______.（重慶市競賽試題）

3x4x21

331

4.a343231,那么＝＿＿＿＿＿.（全國初中數學聯賽試題）

aa2a3

5.a，b為有理數，且滿足等式ab361423則a＋b＝（）

A.2B.4C.6D.8

(全國初中數學聯賽試題)

6．已知a21,b226,c62，那么a，b，c的大小關系是（）

A.abcB.b＜a＜cC.c＜b＜cD.c＜a＜b

(全國初中數學聯賽試題)

1

7.已知xa，則4xx2的值是（）

a

111

A.aB.aC.aD.不能確定

aaa

1

8.若[a]表示實數a的整數部分，則[]等于（）

1667

A.1B.2C.3D.4

（陜西省競賽試題）

1

9．把(a1)中根號外的因式移到根號內，則原式應等于（）

a1

A.1aB.a1C.a1D.1a

（武漢市調考題）

10、化簡：

19981999200020011

（1）（“希望杯”邀請賽試題）

4

111

（2）（新加坡中學生競賽試題）

211232231009999100

8215106

（3）（山東省競賽試題）

532

（4）2(6232515)（太原市競賽試題）

11、設0x1,求證5x211(1x)212.

（“五羊杯”競賽試題）

12、求x28x41x24x13的最大值.

3aba2b2c2

13、已知a,b,c為正整數，且為有理數，證明：為整數.

3bcabc

專題01二次根式的化簡與求值

例1A提示：由條件得4x2－4x－2001＝0．

ababb1ab

例2(1)原式＝·＝2ab

abab

babb

257357

(2)原式＝＝26－5．

257357

6333231

(3)原式＝＝＝62；

63326332

533223332332

（4）原式＝＝332．

5231

例3x＋y＝26，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝426，x6＋y6

66

＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582．∵0＜65＜1，從而0＜65＜1，故10581＜65＜10

11

582．例4x＋x21＝＝y21－y…①；同理，y＋y21＝＝x21－

yy21xx21

x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例5(1)構造如圖所示圖形，PA

2

＝x24，PB＝12x9．作A關于l的對稱點A'，連A'B交l于P，

2

則A'B＝12252＝13為所求代數式的最小值．(2)設y＝x452＋

22

x23，設A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C關于x軸對稱點C1，連

結BC1交x軸于A點．A即為所求，過B作BD⊥CC1于D點，∴AC＋AB＝C1B

2

＝2282＝217．例6m＝a12a1112＋

222

a12a1112＝a11＋a11．∵1≤a≤2，∴0

≤a1≤1，∴－1≤a1－1≤0，∴m＝2．設S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－

47＝210＋29＋28＋…＋2－47①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94②，由②－①，

得S＝211－2－94＋47＝1999．

A級1．12．523．0提示：令1997＝a，1999＝b，2001＝c．4．(17，833)，(68，

22

2xy32625325

612)，(153，420)5．B6．C7．B8．A9．(1)(2)原式＝＝

xy325325

53

＝325．(3)116(4)(5)3210．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2

2

＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．11．由題設知x＞0，(7x29x13＋7x25x13)(7x29x13－

7x25x13)＝14x．∴7x29x13－7x25x13＝2，∴27x29x13＝7x＋2，∴21x2－8x

12

－48＝0．其正根為x＝．12．n＝2提示：xy＝1，x＋y＝4n＋2．

7

B級1．642．1提示：仿例4，由條件得x＝y，∴(x－x22008)2＝2008，∴x2－2008－xx22008

9

＝0，∴x22008(x22008－x)＝0，解得x2＝2008．∴原式＝x2－2007＝1．3．4．1提

55

1

示：∵(32－1)a＝2－1，即＝32－1．5．B提示：由條件得a＋b3＝3＋3，∴a＝3，b＝1，

a

∴a＋b＝4．6．B提示：a－b＝6－1－2＞322－1－2＝0．同理c－a＞07．B8．B

9．D提示：注意隱含條件a－1＜0．10．(1)1998999.5提示：設k＝2000，原式＝

k2k19111

．(2)提示：考慮一般情形＝－(3)原式＝

210