專題23圓與圓的位置關系

【閱讀與思考】

兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定圓與圓的外離、外切、相交、內切、內含五種位置關系.圓與圓

相交、相切等關系是研究圓與圓位置關系的重點，解題中經常用到相關性質.

解圓與圓的位置關系問題，往往需要添加輔助線，常用的輔助線有：

1.相交兩圓作公共弦或連心線；

2.相切兩圓作過切點的公切線或連心線；

3.有關相切、相離兩圓的公切線問題常設法構造相應的直角三角形.

熟悉以下基本圖形和以上基本結論.

【例題與求解】

【例1】如圖，大圓⊙O的直徑ABacm，分別以OA，OB為直徑作⊙O1和⊙O2，并在⊙O與⊙O1

和⊙的空隙間作兩個等圓⊙和⊙，這些圓互相內切或外切，則四邊形的面積為

O2O3O4O1O4O2O3

________cm2.（全國初中數學競賽試題）

解題思路：易證四邊形為菱形，求其面積只需求出兩條對角線的長.

O1O4O2O3

【例2】如圖，圓心為A，B，C的三個圓彼此相切，且均與直線l相切.若⊙A，⊙B，

1

⊙C的半徑分別為a，b，c（0cab），則a，b，c一定滿足的關系式為（）

A.2bacB.2bac

111111

C.D.

cabcab

（天津市競賽試題）

解題思路：從兩圓相切位置關系入手，分別探討兩圓半徑與分切線的關系，解題的關鍵是作圓的基本

輔助線.

【例3】如圖，已知兩圓內切于點P，大圓的弦AB切小圓于點C，PC的延長線交大圓于點D.求證：

（1）∠APD=∠BPD；

（2）PAPBPC2ACCB.（天津市中考試題）

解題思路：對于（1），作出相應輔助線；對于（2），應化簡待證式的右邊，不妨從AC·BC=PC·CD

入手.

【例4】如圖⊙O1和⊙O2相交于點A及B處，⊙O1的圓心落在⊙O2的圓周上，⊙O1的弦AC與⊙O2

交于點D.求證：O1D⊥BC.

（全俄中學生九年級競賽試題）

解題思路：連接AB，O1B，O1C，顯然△O1BC為等腰三角形，若證O1D⊥BC，只需證明O1D平分∠

BO1C.充分運用與圓相關的角.

【例5】如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=22，點P在邊BC上

2

運動（與B，C不重合）.設PC=x，四邊形ABPD的面積為y.

（1）求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

1

（2）若以D為圓心，為半徑作⊙D，以P為圓心，以PC的長為半徑作⊙P，當x為何值時，⊙D與

2

⊙P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積.（河南省中考題）

解題思路：對于（2），⊙P與⊙D既可外切，也可能內切，故需分類討論，解題的關鍵是由相切兩圓

的性質建立關于x的方程.

【例6】如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交

BN

于另一點P，延長AP交BC于點N，求的值.（全國初中數學聯賽試題）

NC

解題思路：AB為兩圓的公切線，BC為直徑，怎樣產生比例線段？豐富的知識，不同的視角激活想象，

可生成解題策略與方法.

【能力與訓練】

A級

1.如圖，⊙A，⊙B的圓心A，B在直線l上，兩圓的半徑都為1cm.開始時圓心距AB＝4cm，現⊙A，⊙

3

B同時沿直線l以每秒2cm的速度相向移動，則當兩圓相切時，⊙A運動的時間為_______秒.

（寧波市中考試題）

2.如圖，O2是⊙O1上任意一點，⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，E為優弧AB上的一點，EO2及延長線

交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半徑為_______.

（四川省中考試題）

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

3.如圖，半圓O的直徑AB＝4,與半圓O內切的動圓O1與AB切于點M.設⊙O1的半徑為y，AM的長

為x，則y與x的函數關系是_________________.（要求寫出自變量x的取值范圍）

（昆明市中考試題）

4.已知直徑分別為115和153的兩個圓，它們的圓心距為151，這兩圓的公切線的條數是

__________.

5.如圖，⊙O1和⊙O2相交于點A，B，且⊙O2的圓心O2在圓⊙O1的圓上，P是⊙O2上一點.已知∠AO1B

＝60°，那么∠APB的度數是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肅省中考試題）

6.如圖，兩圓相交于A、B兩點，過點B的直線與兩圓分別交于C，D兩點.若⊙O1半徑為5，⊙O2

的半徑為2，則AC：AD為（）

A.3:25B.25:3C.25:1D.5:2

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

7.如圖，⊙O1和⊙O2外切于點T，它們的半徑之比為3:2，AB是它們的外公切線，A，B是切點，AB

＝46，那么⊙O1和⊙O2的圓心距是（）

2039

A.56B.10C.106D.

13

8.已知兩圓的半徑分別為R和r（Rr），圓心距為d.若關于x的方程x22rx(Rd)20有兩

相等的實數根，那么這兩圓的位置關系是（）

A.外切B.內切C.外離D.外切或內切

4

（連云港市中考試題）

⌒

9.如圖，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，點O1在⊙O2上，點C為⊙O1中優弧AB上任意一點，直線CB

交⊙O2于D，連接O1D.

（1）證明：DO1⊥AC；

⌒

（2）若點C在劣弧AB上，（1）中的結論是否仍成立？請在圖中畫出圖形，并證明你的結論.

（大連市中考試題）

圖1圖2

10.如圖，已知⊙O1與⊙O2外切于點P，AB過點P且分別交⊙O1和⊙O2于點A，B，BH切⊙O2于點B，

交⊙O1于點C，H.

（1）求證：△BCP∽△HAP；

（2）若AP:PB＝3：2，且C為HB的中點，求HA:BC.

（福州市中考試題）

11.如圖，已知⊙B，⊙C的半徑不等，且外切于點A，不過點A的一條公切線切⊙B于點D，切⊙C于

點E，直線AF⊥DE，且與BC的垂直平分線交于點F.求證：BC＝2AF.

（英國數學奧林匹克試題）

5

12.如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點.正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過

△ABC得內切圓圓心O，且點E在半圓弧上.

（1）若正方形的頂點F也在半圓弧上，求半圓的半徑與正方形邊長的比；

（2）若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內切圓半徑r4，求半圓的直徑AB.

（杭州市中考試題）

B級

1.相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，這兩圓的圓心距為_______.

2.如圖，⊙O過M點，⊙M交⊙O于A，延長⊙O的直徑AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，則AM＝

_______.

（黑龍江省中考試題）

（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）

3.已知圓環內直徑為acm，外直徑為bcm，將50個這樣的圓環一個接著一個環套環地連成一條鎖鏈，

那么這條鎖鏈拉直后的長度為___________cm.

4.如圖，已知PQ＝10，以PQ為直徑的圓與一個以20為半徑的圓相切于點P.正方形ABCD的頂點A，

B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q.若AB＝mn，其中m，n為整數，則

6

mn___________.

（美國中學生數學邀請賽試題）

5.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點M，且分正方形為4個三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，

⊙O4，分別為△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的內切圓.已知AB＝1.則⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4

所夾的中心（陰影）部分的面積為（）

(4)(322)(322)

A.B.

164

(4)(322)4

C.D.

416

（太原市競賽試題）

（第5題圖）（第6題圖）（第7題圖）

6.如圖，⊙O1與⊙O2內切于點E，⊙O1的弦AB過⊙O2的圓心O2，交⊙O2于點C，D.若AC：CD:BD

＝2:4:3，則⊙O2與⊙O1的半徑之比為（）

A.2:3B.2:5C.1:3D.1:4

7.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公

切線平行，則⊙O1與⊙O2的半徑之比為（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全國初中數學聯賽試題）

8.如圖，已知⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點，過點A作⊙O1的切線，交⊙O2于點C，過點B作兩圓的

割線分別交⊙O1，⊙O2于點D，E，DE與AC相交于點P.

（1）求證：PAPEPCPD

（2）當AD與⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12時，求AD的長.（黃岡市中考試題）

9.如圖，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，切點為B，C.連接BA并延長交⊙O1

于D