專題26分而治之

——分類討論

閱讀與思考

在解決某些數學問題的時候，需要將問題所涉及的所有對象按一定的標準，分成若干類，然后逐類

討論，才能得出正確的解答，這種解題方法稱為分類討論法．

運用分類討論法解題的關鍵是如何正確進行分類．正確分類的標準是：對所討論的全體分類要“既

不重復，又不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；對于多級討論，應逐級進行．

初中數學分類討論問題的常見形式有：

1．一些定義、定理、公式和法則有范圍或條件的限制，在使用過程中必須討論；

2．題設條件中含有變量或參數時，必須根據變量或參數的不同取值進行討論；

3．一些問題的圖形位置或形狀不確定時，只有通過討論，才能保證結論的完整性；

4．一些問題的條件沒有明確給出或結論不唯一時，只有通過討論，才能保證解答的嚴密性；

5．對于自然數問題，有時須按剩余類分類討論．

例題與求解

【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜

邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是．（北京市宣武區中考試題）

解題思路：圓與斜邊只有一個公共點，則圓與斜邊相切或圓與斜邊相交．

【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．

解題思路：解絕對值方程的關鍵是去方程左邊的絕對值符號，這就要對x的取值范圍進行分類討

論．需分下列三種情況：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．

【例3】若關于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整數，則符合條件的整數k的

值有___________．（全國初中數學競賽試題）

解題思路：用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方

程兩種情形討論，這樣確定k的值才能全面而準確．

【例4】如圖，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與點A，C不重合），

Q在BC上．

(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；

(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；

(3)試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；

若存在，請求出PQ的長．（福州市中考試題）

解題思路：對于(3)，使△PQM為等腰直角三角形有兩種情況：一是以PQ為直角邊，二是以PQ

為斜邊．

【例5】證明：每個大于6的自然數n都可表示為兩個大于1且互質的自然數之和．（全國初中數學

聯賽試題）

解題思路：由于自然數可分為奇數、偶數兩大類，因此，很容易考慮到按奇數、偶數分類討論．

【例6】設a和b是相異實數，證明：存在整數m和n，使得ambn0，bman0．（加

拿大中學生競賽試題）

解題思路：a，b為相異實數，則必有a－b>0或a－b<0兩種情況．

能力訓練

ba

1．已知a+b=－8，ab=8，化簡ba=．（內江市中考試題）

ab

ba

2．已知實數a，b滿足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，則的值為．（淮陰市中考

ab

試題）

3．在△ABC中過A作△ABC的高，垂足為D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，則∠BAC=．

4．在平面直角坐標系內，已知點A(2，2)，B（2，－3），點P在y軸上，且△APB為直角三角形，

則點P的個數為．（河南省競賽誠題）

5．平面上A，B兩點到直線l的距離分別是2－3與2+3，則線段中點C到直線l的距離

是．

6．以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓圓周上的一點，且OC2=AC·BC，則

∠CAB=．（全國初中數學聯賽試題）

7．如圖，在兩直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．當AB=時，這兩個

直角三角形相似．

第7題圖第10題圖第11題圖

8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的兩個實數根的倒數和是S，則S的取值范圍

是．（天津市中考試題）

9．關于x的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一個方程有實數根，則m

的取值范圍是()

3131

A．－＜m＜－B．m≤－或m≥－

2424

1131

C．－＜m＜D．m≤－或m≥

4222

（四川省選拔賽試題）

10．如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫縱方向相鄰的兩個點之間的距離都是1個單

位．定義：由點陣中4個點為頂點的平行四邊形叫陣點平行四邊形，圖中以A，B為頂點，面積為2的

陣點平行四邊形的個數為()

A．3個B．6個C．7個D．9個

（武漢市四月調考試題）

11．如圖，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的點，使以F，A，D為頂點的

三角形和以F，B，E為頂點的三角形相似，則這樣的點F有()（紹興市競賽試題）

A．1個B．2個C．3個D．4個

12．下面是某同學在一次測驗中解答的填空題：

①若x2=a2，則x=a．

②方程2x(x－1)=x－1的解為x=0．

③若直角三角形有兩邊長分別為3和4，則第三邊長為5．

其中答題完全正確的題目個數為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

（重慶市中考試題）

13．在半徑為5cm的圓內有長為53cm的弦，則此弦所對的圓周角為()

A．60°或120°B．30°或120°C．60°D．120°

14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點P使得以P，A，D為

頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

第14題圖第15題圖

15．如圖，菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO，BO的長分別是關于x的方程

x2+(2m－1)x+m2+3=0的根，則m的值為()

A．－3B．5或－3C．5D．－5或3

（吉林省中考試題）

1

16．已知：關于x的函數ya23a2x2a1x的圖象與x軸總有交點，求a的取值范

4

圍．

（十堰市中考試題）

17．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y

k

軸上，點B的坐標為(2，2)，反比例函數y（x>0，k≠0）的圖象經過線段BC的中點D．

x

(1)求k的值；

(2)若點P(x，y)在該反比例函數的圖象上運動（不與點D重合），過點P作PR⊥y軸于點R，作PQ⊥BC

所在直線于點Q，記四邊形COPR的面積為S，求S關于x的解析式并寫出x的取值范圍．

18．已知△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，動點P從點C出發，以每秒1cm的速度沿

CA，AB運動到B點．

(1)設P從C開始運動的距離為xcm，△BCP的面積為ycm2，把y表示成x的函數；

1

(2)從C出發幾秒時，S△BCP=S△ABC?（荊州市中考試題）

4

19．如圖，已知⊙O1與⊙O2外切于點O，以直線O1O2為x軸，點O為坐標原點建立直角坐標系，

直線AB切⊙O1于點B，切⊙O2于點A，交y軸于點C(0，2)，交x軸于點M；BO的延長線交⊙O2于點

D，且OB：OD=1：3．

(1)求⊙O2的半徑長；

(2)求直線AB的解析式；

(3)在直線AB上是否存在點P，使△MO2P與△MOB相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，

說明理由．

（吉林省中考試題）

22

20．已知拋物線l1：y=ax－2amx+am+2m+1(a>0，m>0)的頂點為A，拋物線l2的頂點B在y軸上，

且拋物線l1和拋物線l2關于點P(1，3)成中心對稱．

(1)當a=1時，求l2的解析式和m的值；

(2)設l2與x軸正半軸的交點是C，當△ABC為等腰三角形時，求a的值．

（浙江省競賽試題）

21．已知定理：“若三個大于3的質數a，b，c滿足關系式2a+5b=c，則a+b+c是整數n的倍數，”

試問：上述定理中的整數n的最大可能值是多少？并證明你的結論．

（全國初中數學聯賽試題）

22．如果對一切x的整數值，x的二次三項式ax2+bx+c都是平方數（即整數