2024-2025學年廣東省江門市鶴山市高二下學期3月月考數學檢測試題一、單選題（本題共8題，每小題5分，共40分）1.已知數列的前4項依次為，則的一個通項公式為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據規律，利用觀察法求出通項即可.【詳解】因為的前4項依次為，所以的一個通項公式為．故選：．2.一物體做直線運動，其運動方程為，則時，其速度為（）A.－2 B.－1 C.0 D.2【正確答案】D【分析】由導數定義求解即可；【詳解】;故選：D3.設數列的前項和，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據給定條件，利用數列前項和與第項的關系求出.【詳解】數列的前項和，則.故選：A4.在數列中，，則（）A12 B.16 C.32 D.64【正確答案】D【分析】根據題意，為等比數列，根據等比數列通項公式求解即可.【詳解】因為，故是首項為2，公比為2的等比數列，故.故選：D.5.記為等差數列的前項和，若，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用等差數列的基本性質可知，、、成等差數列，由此可求得的值.【詳解】因為為等差數列的前項和，則、、成等差數列，則，所以，.故選：B.6.在遞增的等比數列中，，，則數列的公比為（）A. B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由等比數列的性質有，易知是方程的兩個根，再由已知及等比數列的通項公式求公比.【詳解】由題設，易知是方程的兩個根，又為遞增的等比數列，所以，故公比.故選：B7.數列中，，，，那么（）A. B.1 C.3 D.【正確答案】B【分析】通過遞推公式找出數列的周期性計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以是以6為周期的周期數列．因為，所以．故選：B8.某農村合作社引進先進技術提升某農產品的深加工技術，以此達到10年內每年此農產品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產品的銷售總額約為（）（參考數據：）A.964萬元 B.2980萬元 C.3940萬元 D.5170萬元【正確答案】C【分析】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數列，由求出通項，再結合數列求和即可得解.【詳解】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數列，依題意，當時，，即，因此數列是首項為90，公比為1.3的等比數列，，即，則，所以從2024年到2033年該產品的銷售總額約為3940萬元.故選：C二、多選題（本題共3題，每小題6分，共18分）9.記為等差數列的前項和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數列為遞增數列【正確答案】BC【分析】根據等差數列通項公式及等差數列前n項和基本量運算分別判斷各個選項即可.【詳解】對于A，由題意可得，解得，故A錯誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當時，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯誤.故選：BC.10.已知在正項等比數列中，，，則（）A.的公比為2 B.的通項公式為C. D.數列為遞增數列【正確答案】AC【分析】應用等比數列的基本量運算求出公比及通項判斷A，B，C，再結合對數運算計算判斷單調性判斷D.【詳解】設等比數列的公比為，依題意，，，所以，又，所以，即，所以，，A，C正確，B錯誤；對于D，，則數列為遞減數列，D錯誤．故選：AC．11.已知數列的前項和為，且，則下列結論正確的是（）A.若，則數列為等差數列B.若，則數列是公差為的等差數列C.若，則D.若，則【正確答案】AD【分析】根據給定的遞推公式，結合等差數列的性質，逐一判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當時，，數列為等差數列，A正確；對于B，，則是公差為的等差數列，B錯誤；對于C，當時，，則，，因此，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD三、填空題（本題共3題，每小題5分，共15分）12.數列是以2為首項，3為公差等差數列，則__________．【正確答案】【分析】利用等差數列通項公式計算推理即得.【詳解】依題意，，故得.故答案為.13.曲線在處的切線方程為__________.【正確答案】【分析】對函數求導求出處的導函數值，即為所求切線斜率，再求出切點坐標，再利用點斜式方程即可得切線方程．【詳解】當時，，，所以曲線的切線的斜率，切點，故切線方程為，即故14.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數，第二行的1，4，9，16稱為正方形數，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數，則正方形數所構成的數列的第5項是_______，五邊形數所構成的數列的通項公式為_______．【正確答案】①.25②.【分析】根據正方形數的前4項特征，即可求解第5項；根據五邊形數的特征，列式遞推公式，利用累加法，即可求通項公式.【詳解】正方形數所構成數列的第5項是，五邊形數所構成數列滿足，，，，，所以，，累加可得，當時成立，所以.故25；四、解答題（本題共5題，共77分）15.已知等差數列的前項和為，公差為整數，，且，，成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)利用等比數列和等差數列的定義求解即可；(2)利用裂項相消求和.【小問1詳解】因為，所以，又因為，，成等比數列，所以，即，所以，聯立解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.16.已知函數，已知.（1）求函數的解析式；（2）設，求曲線的斜率為的切線方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函數的解析式；（2）求出函數的解析式，求出，由，求出切點的坐標，利用導數的幾何意義可求出切線的方程.【小問1詳解】對，求導可得，所以，．解得，則.【小問2詳解】因為，對求導可得．因為曲線切線斜率為，由，整理可得，解得或．當時，，此時，切線方程為，即；當時，．此時，切線方程為，整理得．綜上所得，的斜率為的切線方程為或．17.已知數列滿足，.（1）證明：數列是等比數列：（2）求數列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由題意得，即可證明結論.（2）由（1）計算數列的通項公式，分組求和即可得到結果.【小問1詳解】因為，所以，即，又，所以，所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）得，，所以，所以.18.記為數列的前項和，且.（1）證明：是等比數列，并求其通項公式；（2）設數列的前項和，證明.【正確答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）根據，結合等比數列的定義及通項即可得解；（2）利用錯位相減法求解即可.【小問1詳解】由，當時，，所以，當時，，所以，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，，兩式相減得，所以，因為，所以.19.若遞增數列的后一項與其前一項的差大于，則稱這個數列為“超1數列”.（1）已知數列是“超1數列”，求實數的取值范圍；（2）已知數列是“超1數列”，其前項和為，若，試判斷是否存在實數，使得對恒成立，并說明理由；（3）已知正項等比數列是首項為1，公比為整數的“超1數列”，數列不是“超1數列”，證明：數列是“超1數列”.【正確答案】（1）（2）不存在符合要求的實數，理由見解析（3）證明見解析【分析】（1）利用“超1數列”的定義得，且，即可求得結果.（2）先假設存在實數，使得對恒成立，等價于對恒成立.推出矛盾即可證明.（3）由正項等比數列是首項為1，公比為整數“超1數列”，數列不是“超1數列”，得出公比或4.再分情況討論，利用“超1數列”的定義證明數列是“超1數列”【小問1詳解】由題知，，且，解得，所以實數的取值范圍為.【小問2詳解】不存在，理由如下：由題知，對恒成立，所以數列是等差數列，且，公差為，所以.假設存在實數，使得對恒成立，即對恒成立，所以對恒成立.當時，；當時，恒成立，因為，所以，與矛盾，所以假設不成立，故不存在符合要求的實數.小問3詳解】由題意，設數列的公比為且，則.因為，所以在數列中，為最小項.所以在數列中，為最小項.因為為“超1數列”，所以只需，即，又，所以.又不是“超1數列”，且為最小項，所以，即.又，所以，又，所以或4.當時，，令，則，所以為遞增數列，即，因為，所以對于任意的，都有，即數列是“超1數列”.當時，，令，則，