2024-2025學年廣東省江門市高二下學期第一次月考數學檢測試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某體育場一角看臺的座位是這樣排列的：第1排有12個座位，從第2排起每一排都比前一排多2個座位，則第7排有（）個座位.A.20 B.22 C.24 D.26【正確答案】C【分析】利用等差數列定義計算即可.【詳解】根據題意可設第排的座位個數為，易知成等差數列，且；所以可得.故選：C2.在等比數列中，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據等比數列的概念可求得，由此可得結果.【詳解】設等比數列的公比為，∵，∴，故，∴.故選：C.3.已知數列滿足且，則（）A.-3 B.3 C. D.【正確答案】B【分析】由已知可得數列是以2為公差等差數列，再，代入可得選項.【詳解】,∴數列是以2為公差的等差數列，，，，，故選：B.本題考查等差數列的定義，等差數列的項的關系，屬于基礎題.4.若等比數列的各項均為正數，且，，成等差數列，則（）A. B.3 C.9 D.27【正確答案】D【分析】由等差中項的性質可得等比數列的公比，即可得解.【詳解】設數列的公比為，由，，成等差數列，故，即有，化簡得，解得或（舍），故.故選：D.5.等差數列的前項和為，若且，則()A. B.C. D.【正確答案】A【分析】等差數列前n項和構成的數列{}為等差數列，公差為原數列公差的一半﹒【詳解】設的公差為d，∵∴，即{}為等差數列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒6.在適宜的環境中，一種細菌的一部分不斷分裂產生新的細菌，另一部分則死亡.為研究這種細菌的分裂情況，在培養皿中放入m個細菌，在1小時內，有的細菌分裂為原來的2倍，的細菌死亡，此時記為第一小時的記錄數據.若每隔一小時記錄一次細菌個數，則細菌數超過原來的10倍的記錄時間為第（）A.6小時末 B.7小時末 C.8小時末 D.9小時末【正確答案】A【分析】由題意可知每小時末的細菌數構成了等比數列，求出其通項公式，列出相應的不等式，求得答案.【詳解】設表示第n小時末的細菌數，依題意有，，則是等比數列，首項為，公比，所以.依題意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小時末記錄的細菌數超過原來的10倍,故選:A.7.數列中，，，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【正確答案】A【分析】由得出是以3為首項，3為公比的等比數列，根據等比數列的求和公式求解.【詳解】由，令，則，故是以3為首項，3為公比的等比數列，，，故，故選：A.8.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數，他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分類，如圖中第一行1，3，6，10稱為三角形數，第二行的1，4，9，16稱為正方形數，下列數中既是三角形數，又是正方形數的是（）A.100 B.289 C.1225 D.1378【正確答案】C【分析】由題意，求出數列的通項公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，三角形數可看作，，，，，則第個三角形數為，正方形數可看作，，，，則第個正方形數為；對于A，令，得，令，其解不是正整數，故A錯誤；對于B，令，得，令，其解不是正整數，故B錯誤；對于C，，得，令，解得，故C正確；對于D，，其解不是正整數，故D錯誤.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.等差數列{an}的前n項和記為Sn，若a1>0，S10＝S20，則（）Ad<0B.a16<0C.Sn≤S15D.當且僅當n≥32時，Sn<0【正確答案】ABC【分析】由，得a1＝d，再利用等差數列的性質可以判斷每一個選項.【詳解】對于A，設等差數列{an}的公差為d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化簡得a1＝d.因為a1>0，所以d<0，故A正確；對于B，因為a16＝a1＋15d＝d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正確；對于C，因為a15＝a1＋14d＝d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正確；對于D，，若Sn<0，又d<0，則n>30，故當且僅當n≥31時，Sn<0，故D錯誤．故選：ABC10.已知數列滿足，，則（）A.B.是等差數列C.一定是等比數列D.數列的前99項和為【正確答案】BC【分析】令，可求的值，判斷A的真假；遞推公式兩邊同除以，可得，可得的特征，判斷B的真假；進一步可求的通項公式，判斷C的真假；利用裂項求和法可求數列的前99項和，判斷D的真假.【詳解】對A選項：令可得：，故A錯誤；對B選項：遞推公式兩邊同除以，可得，即，又，所以是以1為首項，以1為公差的等差數列，故B正確；對C選項：由B可知：，所以，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，故C正確；對D選項：因為，所以數列的前99項和為：，故D錯誤.故選：BC11.在等差數列中，已知，公差為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】對A：利用等差數列基本量求得，再求即可；對B：利用等比數列的前項和公式，即可求得的前項和；對C：對分類討論，當為偶數時，利用分組求和法即可求得結果；當為奇數時，利用前項和與的關系即可求得結果；對D：對C中所求的，進行賦值，即可求得結果.【詳解】對A：由題可知：，故可得，顯然數列是周期為2的數列，又，故是首項，公比的等比數列，則，故A錯誤；對B：設的前項和為，則，故B正確；對C：，設數列的前項和為，當為偶數時，；當為奇數時，；綜上所述，；對D：，故D正確.故選：BCD.關鍵點點睛：本題考察等差數列通項公式和前項和的基本量的運算；對CD選項，解決問題的關鍵是，對分奇數和偶數兩種情況進行討論，當為偶數時，利用分組求和法進行求解；當為奇數時，利用與的關系進行求解.屬綜合困難題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正項等比數列的前n項和為，若，則______．【正確答案】##0.125【分析】根據給定條件，利用等比數列項間關系求出公比即可.【詳解】設正項等比數列的公比為，由，得，因此，，所以.故13.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2.反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈，這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.已知數列滿足：（m為正整數），.（1）若，則_________；（2）若，則m所有可能的取值集合為____.【正確答案】①.4②..【分析】根據數列的周期性、逆推來求得正確答案.【詳解】（1），可知數列可看作從第8項起以3為周期的數列，因為，所以，（2）依題意，，且當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.所以.當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.所以.當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則.所以或.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.所以或.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數條件，舍去.所以或或.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則.所以或或或.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.當時：當為偶數時，由，可得.當為奇數時，由，可得，則，不滿足正整數的條件，舍去.綜上，所有可能的取值集合.故；14.已知數列的前項和為，，（），則為______.【正確答案】【分析】根據給定條件，利用變形，再利用構造法求出.【詳解】數列的前項和，當時，，整理得，即，顯然當時，數列是常數列，因此，所以.故四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.若數列的前項和為，且（1）求數列的通項公式；（2）設，表示數列的前項和，求證.【正確答案】（1），（2）證明見解析【分析】（1）利用數列前項和與通項公式的關系求解即可.（2）利用裂項相消法得到，再結合證明不等式即可.小問1詳解】當時，，當時，，當時，也成立，所以，.【小問2詳解】因為，則.16.在等差數列中，，.（1）求數列的通項公式；（2）若記為中落在區間內項的個數，求的前k項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據給定條件，利用等差數列性質，結合通項公式求解即得.（2）解不等式求出，再利用分組求和法，結合等比數列前n項和公式求解.【小問1詳解】等差數列中，由，得，而，解得，因此數列的公差，，所以數列的通項公式是.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，整理得，因此正整數滿足，從而得，所以的前k項和為.17.數列滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若，求數列的前項和.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據等比數列的定義可證明結論.（2）利用累加法可求得數列的通項公式.（3）求出，利用錯位相減法和分組求和可得結果.【小問1詳解】∵，∴，即，∴數列是等比數列.【小問2詳解】由（1）得數列是以為首項，以為公比的等比數列，∴，∴當時，，當時，，滿足上式，∴.【小問3詳解】由（2）得，.設①，則2②①②得：，∴，∴.18.已知等比數列滿足，．（1）求數列的通項公式；（2）若是遞增數列，若，恒成立，求實數的取值范圍；（3）若不是遞增數列，，求的最小值．【正確答案】（1），，（2）（3）答案見解析【分析】（1）根據等比數列的通項公式，建立關于q得方程，求出即可求解；（2）根據等比數列的單調性，由（1）得，進而不等式轉化為恒成立，結合數列的單調性即可求解；（3）根據等比數列的單調性可知或，分類討論為偶數和奇數時的情況，求出對應的即可求解.【小問1詳解】設的公比為，則，若，則．若，則．所以的公比為，，4，所以的通項公式為：，，．【小問2詳解】若是遞增數列，則，則有，，等價于，恒成立，令，即．而．時，，時，，時，，，，，實數的取值范圍為．【小問3詳解】若不是單調數列，則，或．（i）當時，，①當為偶數時，；②當為奇數時，．所以此時的最小值為．（ii）當時，．①當為偶數時，，且為遞增數列，；②當為奇數時，，不可能為最小值．所以此時的最小值為．19.已知數列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，?，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，以此類推．記數列的前項和為，規定：若，使得，則稱為該數列的“類比數”．（1）將該數列的“類比數”從小到大排列，直接寫出前3個“類比數”；（2）試判斷50是否為“類比數”，并說明理由；（3）①求滿足最小的“類比數”；②證明：該數列的“類比數”有無數個．【正確答案】（1）前3個“類比數”為2，4，13；（2）不是“類比數”，理由見解析；（3）①1836；②證明見解析.【分析】（1）根據“類比數”的定義直接求出該數列的前3個“類比數”即可.（2）首先根據規律求出，再根據定義看是否存在正整數p使得.（3）求出前組的和為，進而求出，讓，即可求出結果.【小問1詳解】因為，所以1不是該數列的“類比數”．因為，，，所以該數列的前3個“類比數”為2，4，13.【小問2詳解】由題意可得數列如下：第1組：1；第2組：1，2；第3組：1，2，4；…第組：．所以該數列的前項的和為，（*）當時，，則，由