2024-2025學(xué)年浙江省湖州市長興縣高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題考試須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域內(nèi)填寫班級，姓名，考場號，座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．所以答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：A2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先化簡復(fù)數(shù),再根據(jù)虛部定義得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以復(fù)數(shù)的虛部為，選A.本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算以及虛部定義，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則C=（）A. B. C.或 D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理解三角形.【詳解】在中，由及正弦定理，提，所以或.故選：C4.已知向量，且，則（）A.－1 B.0 C.1 D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示、共線向量的坐標(biāo)表示列式計(jì)算得解.【詳解】向量，由，得，解得，由，得，所以.故選：B5.在中，已知，則的面積為（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】利用向量點(diǎn)積公式求得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得,然后利用三角形面積公式計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋昂停?解得：，又因?yàn)?所以.所以.故選：C.6.已知向量，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.且 C. D.且【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式，結(jié)合共線向量的坐標(biāo)表示求解.【詳解】向量，則，由與夾角為銳角，得，且與不共線，因此，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.故選：D7.為了測量某塔高度，檢測員在地面A處測得塔頂T處仰角為，從A處向正東方向走了70米到地面B處，測得塔頂T處仰角為，若，則鐵塔OT的高度為（）米A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，用鐵塔高度表示，再利用余弦定理求解即得.【詳解】設(shè)鐵塔OT的高度為，依題意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以鐵塔OT的高度為米.故選：B8.已知單位向量，且向量的夾角為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.－1【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合恒成立求解即可.【詳解】由單位向量，且向量的夾角為，得，由，得，即，依題意，對任意的，恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，整理得，所以.故選：C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)得得0分．9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及奇偶性、單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)椋什皇桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，由二次函數(shù)性質(zhì)知，圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥院瘮?shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.一定是實(shí)數(shù)C.若，則 D.【正確答案】ABD【分析】對于選項(xiàng)A，由模的定義判斷正誤；對于選項(xiàng)B，根據(jù)復(fù)數(shù)的加法計(jì)算即可判斷正誤；對于選項(xiàng)C，舉反例即可判斷正誤；對于選項(xiàng)D，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可判斷正誤.【詳解】對于A：設(shè)，則，可得，，故A正確；對于B：令，由，故B正確；對于C：設(shè)，則，，滿足，但，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋蔇正確.故選：ABD.11.已知平面向量滿足，則下列說法正確的為（）A. B.最小值為C.最大值為 D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得及，再逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】由，得，解得，對于A，，，又是非零向量，因此，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；對于C，由，得，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號，解，得，故C錯(cuò)誤；對于D，由，得，則，，而，因此，故D正確.故選：ABD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知的周長為，且，則______．【正確答案】【分析】利用正弦定理角化邊，再消元求解即可.【詳解】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，由，得，而，所以.故13.已知是方程的一個(gè)根，則______．【正確答案】0【分析】根據(jù)給定條件，利用實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛數(shù)根的性質(zhì)，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】由是方程的一個(gè)根，得是該方程的另一根，則，，解得，所以.故014.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為______．【正確答案】1【分析】根據(jù)條件變形，待求式轉(zhuǎn)化為一元變量后，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故1四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，（1）若z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）空集（2）【分析】（1）利用純虛數(shù)的定義列式求解；（2）求出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，再由點(diǎn)的位置列出不等式組求解.【小問1詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，無解，所以實(shí)數(shù)m的值的集合為空集；【小問2詳解】由z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若．（1）求的值；（2）若的面積為，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）由三角形面積公式及余弦定理即可得解.【小問1詳解】由正弦定理可得，又，所以,又，所以，即；【小問2詳解】由，又,解得，因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ砜傻茫?17.已知函數(shù)的最大值為1．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若在上單調(diào)遞增，求的值；（3）在（2）的條件下，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）1；（2）1；（3）.【分析】（1）和差角的正弦公式及輔助角公式化簡函數(shù)，求出最大值即可求出值.（2）求出相位所在區(qū)間，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間列出不等式求出的范圍即可.（3）由零點(diǎn)可得，結(jié)合相位所在區(qū)間及零點(diǎn)個(gè)數(shù)建立不等式求解.【小問1詳解】函數(shù)，函數(shù)，解得，所以的值是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，由上單調(diào)遞增，得，解得，而，則，所以的值是1.【小問3詳解】由（1）（2）知，，由，得，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.18.如圖，在中，，線段與線段交于點(diǎn)F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【正確答案】（1）;（2）;（3）.【分析】（1）通過數(shù)量積已知可求夾角，再通過余弦定理求邊，最后由勾股定理證明直角，然后建立直角坐標(biāo)系來求數(shù)量積即可；（2）把所求角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，從而利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可；（3）利用極化恒等式把向量積轉(zhuǎn)化為中線與邊的關(guān)系，再利用坐標(biāo)運(yùn)算來表示，最后可求得最小值.【小問1詳解】由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜傻茫海瑒t以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，有：，由可得：，所以，則；【小問2詳解】由圖可得：；【小問3詳解】由，設(shè)中點(diǎn)為，同理可得，所以，在如圖坐標(biāo)系中，可設(shè)，，則,此時(shí)，即點(diǎn)作軸垂線垂足為，點(diǎn)作軸垂線垂足為，則為的八等分點(diǎn)，為的四等分點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)在內(nèi)部，滿足題意.所以取到最小值.19.若三角形內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則稱P為三角形的布洛卡點(diǎn)，為三角形的布洛卡角．已知a，b，c分別為三角形三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，點(diǎn)P為三角形的布洛卡點(diǎn)，為三角形的布洛卡角．（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；（2）若三角形的面積為S．①證明：；②當(dāng)時(shí)，求面積S的大小．【正確答案】（1）（2）①證明見解析；②.【分析】（1）設(shè)，由題，余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案.（2）①注意到，則可得需證等式右邊為，然后利用余弦定理可完成證明；②由海倫公式及恒等變形知識可證在三角形中，，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形取等號，然后結(jié)合題意可得答案.【小問1詳解】如圖設(shè)，因，則，由題可得，則，由余弦定理，可得：，注意到.則.則；【小問2詳解】①由圖可得，則要證等式右邊等于，由余弦定理，，同理可得：，.則要證等式右邊等于左邊；②先證：在三角形中，，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三