2024-2025學(xué)年福建省三明市沙縣區(qū)高一下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分、共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若（，是虛數(shù)單位），則的值分別等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義求值即可.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得.故選：A.2.已知向量，若，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】C【分析】因，則=0，后由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得答案.【詳解】因，則，得.故選：C3.已知為不共線向量，，則（）A.三點(diǎn)共線 B.三點(diǎn)共線C.三點(diǎn)共線 D.三點(diǎn)共線【正確答案】A【分析】運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，求得，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋匀c(diǎn)共線，故選：A．4.已知中，，，，則等于（）A. B. C. D.5【正確答案】A【分析】利用余弦定理可直接求出.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以.故選：A.本題考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的兩邊及其夾角，求第三邊時(shí)通常利用余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】在上的投影向量為：.故選：B6.在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，所以，.故選：B7.岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱(chēng)為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱(chēng)“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱(chēng)于世.自古有"洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓"之美譽(yù).小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（）A.米 B.米 C.米 D.米【正確答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.【詳解】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，由AC-BC=AB得，約為米.故選：B8.如圖，是邊長(zhǎng)2的正方形，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合已知圖形得出的最值，再利用數(shù)量積即可求出.【詳解】，由投影的定義知，結(jié)合圖形得，當(dāng)過(guò)P的直線與半圓弧相切于P點(diǎn)且平行于BC時(shí)，最大為，此時(shí)；當(dāng)P在C或B點(diǎn)重合時(shí)，最小為，此時(shí)∴故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（）A.和 B.和 C.和 D.和【正確答案】ABD【分析】根據(jù)不共線的向量可作為一組基底判斷.【詳解】解：對(duì)于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；對(duì)于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；對(duì)于C，，故不能作為一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.故選:ABD.10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出復(fù)數(shù)，然后由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后判斷．【詳解】，正確，錯(cuò)誤，正確，錯(cuò)誤故選：AC．11.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A.若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D.若，，，則【正確答案】ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因?yàn)椋裕烧叶ɡ恚傻茫矗珹正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)椋裕矗砜傻茫矗驗(yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)椋裕珼正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.化簡(jiǎn)______【正確答案】【分析】利用向量的加、減法運(yùn)算即可.【詳解】故答案為.13.在中，，則________________．【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理即可求得角B的大小，計(jì)算可得.【詳解】由于，由正弦定理可得，，即所以，故14.已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是_________________．【正確答案】【詳解】試題分析：因?yàn)橄蛄颗c夾角為銳角，所以且與不共線，所以且，解之得：考點(diǎn)：向量夾角及坐標(biāo)運(yùn)算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù).（1）若z為實(shí)數(shù)，求m值：（2）若z為純虛數(shù)，求m值；（3）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閦為實(shí)數(shù)，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以.16.平面內(nèi)給定兩個(gè)向量，（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據(jù)數(shù)乘向量以及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算得到的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)計(jì)算模長(zhǎng)；（2）根據(jù)數(shù)乘向量以及向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算分別計(jì)算出兩個(gè)共線向量的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋裕瑒t【小問(wèn)2詳解】由題意，，.因?yàn)椋瑒t，解得.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面積.【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（Ⅰ），由余弦定理知，，又，所以，（Ⅱ）由，代入得，解得（舍去負(fù)根），所以的面積.18.設(shè)河寬，水流的速度，船在靜水中的速度，則船必須朝哪個(gè)方向開(kāi)，才能保證：（1）所走的路程最短？（2）所用的時(shí)間最短？【正確答案】（1）船朝著與水流方向成角的方向開(kāi)，才能保證所走的路程最短；（2）船朝著與河岸垂直方向開(kāi)，才能保證所用的時(shí)間最短.【分析】（1）當(dāng)船的實(shí)際速度垂直河岸方向時(shí)，所走的路程等于點(diǎn)到直線的距離，為最短路程，根據(jù)題意求出相關(guān)夾角即可確定船頭方向；（2）當(dāng)船頭方向不與河岸垂直時(shí)，會(huì)得到一個(gè)比小的垂直于岸邊的速度，用時(shí)更長(zhǎng)，故船頭方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最短.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，船在靜水中的速度為，水流的速度為，設(shè)船的實(shí)際速度為，則.如圖1，在直角三角形中，，所以.此時(shí)，船的實(shí)際速度的方向與河岸垂直，路程最短.所以，船朝著與水流方向成角的方向開(kāi)，才能保證所走的路程最短.【小問(wèn)2詳解】如圖2，當(dāng)船頭方向與河岸垂直時(shí)，行駛時(shí)間為為最短.所以，船朝著與河岸垂直的方向開(kāi)，才能保證所用的時(shí)間最短.19.在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，的夾角為.（1）若，求的值：（2）當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形的邊和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為基底表示出，再通過(guò)向