2024-2025學(xué)年安徽省亳州市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級、準(zhǔn)考證號、姓名填寫在答題卡上2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.第II卷必須用05毫米黑色簽字筆書寫作答，若在試題卷上作答，答案無效.第I卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列前n項和為，，則（）A.32 B.42 C.52 D.62【正確答案】C【分析】將化成和d的形式，得到二者關(guān)系，求得，利用求得結(jié)果．【詳解】由等差數(shù)列得：，，即，；故選：C．2.的展開式中的系數(shù)為A.10 B.20 C.40 D.80【正確答案】C【詳解】分析：寫出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)隨機(jī)變量，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】由已知結(jié)合正太分布密度曲線性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)椋哉龖B(tài)分布密度曲線的對稱軸為，因?yàn)椋?故選：B.4.7名學(xué)生站成一排，若甲、乙相鄰，但都不和丙相鄰，則不同的排法種數(shù)是（）A.480 B.960 C.720 D.360【正確答案】B【分析】先將甲、乙捆綁，看作一個元素，然后對甲、乙、丙之外的4名學(xué)生全排列，最后結(jié)合插空法進(jìn)行排列計算，即可求解；【詳解】先將甲、乙捆綁，看作一個元素，有種排法，然后將除甲、乙、丙之外的4名學(xué)生全排列，有種不同的排法，再將甲、乙、丙插入5個空中的兩個，有種不同的排法，因此，一共有種不同排法.故選：B.5.已知由一組樣本數(shù)據(jù)確定的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且，發(fā)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)與誤差較大，去掉這兩組數(shù)據(jù)后，重新求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為1.4，那么當(dāng)時，的值為（）A.9.6 B.10 C.10.6 D.9.4【正確答案】A【分析】先根據(jù)，求出，再根據(jù)去掉的兩組數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)樣本中心點(diǎn)沒變，求出新的回歸直線方程，將代入即可求得.【詳解】由和，得．所以去掉數(shù)據(jù)與后得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，，由題意可設(shè)去掉兩組數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，代入，求得，故去掉與這兩組數(shù)據(jù)后求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，得．故選：A.6.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由數(shù)列單調(diào)遞增得到分段函數(shù)單調(diào)遞增，然后建立不等式組，解得的取值范圍.【詳解】由題意得，解得，則a的取值范圍是.故選：C7.下列關(guān)于隨機(jī)變量X的四種說法中，正確的編號是（）①若X服從二項分布，則；②若從3男2女共5名學(xué)生干部中隨機(jī)選取3名學(xué)生干部，記選出女學(xué)生干部人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，且；③若X的方差為，則；④已知，，則．A.②③ B.①③ C.①② D.①④【正確答案】C【分析】根據(jù)二項分布的期望公式判斷①；求出超幾何分布的期望判斷②；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷③；根據(jù)條件概率公式判斷④.【詳解】若X服從二項分布，則，①正確；選出女學(xué)生干部的人數(shù)為X的值為，且服從超幾何分布，所以，②正確；若X的方差為，則，③錯誤；因?yàn)椋裕苠e誤.故選：C.8.兩等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】由等差數(shù)列的前項和可設(shè)，即，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由等差數(shù)列的前項和，依題意有，所以,所以，故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的前項和以及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記等差數(shù)列數(shù)列的前項和的形式，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，屬于中檔試題.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，下列說法正確的是（）2345619253844A.看不清的數(shù)據(jù)的值為34B.具有正相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)C.第三個樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差D.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為7噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約為50噸【正確答案】ACD【分析】利用回歸直線方程結(jié)合各選項的條件逐一分析計算即可判斷作答.【詳解】對于A，，由回歸直線方程得，則，A正確；對于B，由回歸直線方程及數(shù)表知，具有正相關(guān)關(guān)系，而相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1，B不正確；對于C，第三個樣本點(diǎn)對應(yīng)的殘差，C正確；對于D，在回歸直線方程中，時，生產(chǎn)能耗約(噸)，D正確.故選：ACD10.等差數(shù)列前項和記為，若，則成立的是（）A.B.的最大值是C.D.當(dāng)時，最大值為【正確答案】BC【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，再根據(jù)等差數(shù)列的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，A選項錯誤.所以，C選項正確.所以的最大值是，B選項正確.由于時，，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時，沒有最大值，D選項錯誤.故選：BC11.下列命題中正確的是（）A.設(shè)隨機(jī)變量，若，則B.一個袋子中有大小相同的3個紅球，2個白球，從中一次隨機(jī)摸出3個球，記摸出紅球的個數(shù)為x，則C.已知隨機(jī)變量，若，則D.若隨機(jī)變量，則當(dāng)時概率最大【正確答案】ABD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷A；求出的取值及對應(yīng)的概率，再求出可判斷B；利用二項分布的均值、方差公式求出可判斷C；由求出可判斷D.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，可取，，，，則，故B正確；對于C，若，則，解得，則，故C錯誤；對于D，若隨機(jī)變量，則，由，得，解得時概率最大，故D正確.故選：ABD.第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12.數(shù)列的前n項和滿足：，則數(shù)列的通項公式＝_______．【正確答案】【分析】利用,可求出時,的表達(dá)式,然后驗(yàn)證是否滿足的表達(dá)式即可.【詳解】當(dāng)時,,當(dāng)時,,顯然不符合,故通項公式.故答案為.13.針對“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有_____人.附：，其中，.【正確答案】30【分析】設(shè)男生人數(shù)為x，由題意得列聯(lián)表，計算，對照臨界值列出不等式，求出x的取值范圍.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，由題意得列聯(lián)表如下；喜歡追星不喜歡追星合計男生x女生合計計算解得又，所以，即根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，所以男生至少有30人.故30.14.為了研究某種病毒在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到了一些數(shù)據(jù)，繪制成散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)用模型擬合比較合適.令，得到，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，滿足下表，則__________，__________.天數(shù)（天）234561.54.55.56.57【正確答案】①.1.3②.【分析】先由表中數(shù)據(jù)求出，，再根據(jù)回歸直線方程恒過樣本中心點(diǎn)，求出值，然后結(jié)合指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算法則，即可得解．【詳解】解：由表知，，，由恒過點(diǎn)，知，解得，，即，，，．故1.3，．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求公差及的通項公式；（2）求，并求的最小值.【正確答案】（1），；（2），最小值為.【分析】（1）設(shè)的公差為，由題意得，再由可得，從而可求出的通項公式；（2）由（1）得，從而可求出其最小值【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意得.由得.所以的通項公式為.（2）由（1）得.所以時，取得最小值，最小值為16.隨著科技的進(jìn)步，近年來，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，各大品牌新能源汽車除了靠不斷提高汽車的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費(fèi)也是逐年攀升.小趙同學(xué)對某品牌新能源汽車近5年的廣告費(fèi)投入（單位：億元）進(jìn)行了統(tǒng)計，具體數(shù)據(jù)見下表：年份代號12345廣告費(fèi)投入4.85.66.27.68.8并隨機(jī)調(diào)查了200名市民對該品牌新能源汽車的認(rèn)可情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)見下表：認(rèn)可不認(rèn)可50歲以下市民703050歲以上市民6040（1）求廣告費(fèi)投入與年份代號之間的線性回歸方程；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度有關(guān)？附：①回歸直線中②，其中.0.150.100.0500250.0100.0650.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【正確答案】（1）（2）不能認(rèn)為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度有關(guān)【分析】（1）計算出平均數(shù)后，結(jié)合所給公式計算即可得回歸直線方程；（2）結(jié)算出卡方結(jié)合臨界值比較即可得解.【小問1詳解】，，則，則，故；【小問2詳解】由題以可得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有的把握認(rèn)為市民的年齡與對該品牌新能源汽車的認(rèn)可度具有相關(guān)性.17.如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，O為BD的中點(diǎn)，，（1）證明：平面（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由等腰三角形三線合一證明，并求得長.再由勾股定理逆定理證明，由線面垂直的判定證明平面；（2）由（1）得到三線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系得到點(diǎn)坐標(biāo)和向量坐標(biāo)，然后得到平面的法向量，求出平面的法向量，由空間向量的夾角求得面面角的余弦值.【小問1詳解】證明：如圖，連接OC，中，由可得因?yàn)椋襉是BD中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋裕杂忠驗(yàn)锽D，平面ABCD，，所以平面【小問2詳解】由（1）及可知，OC，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由，，則，設(shè)平面PBC的法向量，由，，有，取，則，，可得平面PBC的一個法向量，設(shè)平面PAD的法向量，由，，有，取，則，，可得平面PAD的個法向量，所以平面PAD與平面PBC所成夾角的余弦值為18.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．【正確答案】（I）；（II）（i）；（ii）．【詳解】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)．中位數(shù)為面積等分為的點(diǎn)．均值為每個矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．試題分析：（I）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【考點(diǎn)定位】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項分布的期望．19.已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，，點(diǎn)是上一點(diǎn)．過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若的斜率為1，求；（3）若直線，的斜率分別為，，證明：是定值．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)左右頂點(diǎn)的距離得到，然后根據(jù)點(diǎn)在曲線上列方程得到，即可