第21頁（共21頁）2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之二倍角的三角函數一．選擇題（共5小題）1．（2025?孝義市模擬）已知sinα=34A．138 B．-138 C．382．（2025春?安徽月考）若tanα＝2，則cos2A．1 B．37 C．-37 3．（2025?廣東模擬）已知角α的終邊與單位圓交于點P(-32A．-12 B．12 C．-34．（2025?蕪湖一模）已知cosx=45，則cos2A．-725 B．35 C．155．（2024秋?深圳校級期末）已知角α的終邊過點（4，﹣3），則sin2α＝（）A．34 B．-34 C．2425二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?四川模擬）已知函數f(x)=sinωx+2A．ω＝2 B．函數f（x）的最大值為2 C．函數f（x）的圖象關于點(-πD．函數f（x）在（-3π8（多選）7．（2024秋?安徽期末）已知函數f(A．f（x）為偶函數 B．f（x）的最小正周期為π C．f（x）的圖象關于直線x=πD．f（x）的最大值為2（多選）8．（2024秋?龍華區校級期末）若α∈(0，π2)，且A．tan2α=-3 B．tan2α=3 C．tanα=33 三．填空題（共4小題）9．（2025?羅平縣開學）若sinα+2cosα＝0，則sin2α+cos2α＝．10．（2025?昌黎縣校級開學）已知α，β均為銳角，且sinα=45，tan（α+β）＝﹣2，則cos2β＝11．（2025?小店區校級開學）已知sin(α+π3)=12．（2025?河南開學）已知sinθsinθ+cosθ=2，則tan(2四．解答題（共3小題）13．（2025?獨山子區校級開學）已知sinθ=45（1）求sin2θ的值；（2）求cos(（3）求sin(14．（2024秋?莎車縣期末）已知函數f(x)=cos（1）求函數y＝f（x）的單調遞增區間；（2）求x∈[0，π2]15．（2024秋?文山市校級期末）已知cosβ=72（1）求tan2β的值；（2）求sinα的值．

2024-2025學年上學期高一數學蘇教版（2019）期中必刷常考題之二倍角的三角函數參考答案與試題解析題號12345答案ABCDD一．選擇題（共5小題）1．（2025?孝義市模擬）已知sinα=34A．138 B．-138 C．38【考點】求二倍角的三角函數值；運用誘導公式化簡求值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】A【分析】利用誘導公式、同角公式及二倍角的余弦公式計算得解．【解答】解：由sinα=則cos(3π2+2α)tanα=sin2故選：A．【點評】本題主要考查了誘導公式，同角基本關系，二倍角公式的應用，屬于基礎題．2．（2025春?安徽月考）若tanα＝2，則cos2A．1 B．37 C．-37 【考點】二倍角的三角函數的逆用；同角三角函數間的基本關系．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】B【分析】由二倍角公式可得cos2αco【解答】解：因為tanα＝2，由二倍角公式可知，cos2α＝cos2α﹣sin2α，則cos2故選：B．【點評】本題主要考查了二倍角公式，同角基本關系的應用，屬于基礎題．3．（2025?廣東模擬）已知角α的終邊與單位圓交于點P(-32A．-12 B．12 C．-3【考點】求二倍角的三角函數值；任意角的三角函數的定義．【專題】轉化思想；定義法；三角函數的求值；運算求解．【答案】C【分析】先根據三角函數的定義求出sinα，cosα，再根據二倍角的正弦公式即可得解．【解答】解：因為角α的終邊與單位圓交于點P（-32，所以sinα=12，cosα所以sin2α＝2sinαcosα＝2×12（-3故選：C．【點評】本題考查了三角函數的定義與求值問題，是基礎題．4．（2025?蕪湖一模）已知cosx=45，則cos2A．-725 B．35 C．15【考點】二倍角的三角函數．【專題】函數思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】由已知直接利用二倍角的余弦求解．【解答】解：∵cosx=4∴cos2x=2co故選：D．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，考查倍角公式的應用，是基礎題．5．（2024秋?深圳校級期末）已知角α的終邊過點（4，﹣3），則sin2α＝（）A．34 B．-34 C．2425【考點】求二倍角的三角函數值；任意角的三角函數的定義．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】D【分析】根據三角函數的定義求出sinα，cosα，結合二倍角的正弦公式計算即可求解．【解答】解：因為角α的終邊過點（4，﹣3），則sinα=所以sin2故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數定義及二倍角公式，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?四川模擬）已知函數f(x)=sinωx+2A．ω＝2 B．函數f（x）的最大值為2 C．函數f（x）的圖象關于點(-πD．函數f（x）在（-3π8【考點】求二倍角的三角函數值；三角函數的周期性；正弦函數的奇偶性和對稱性；由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】函數思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】ACD【分析】先結合二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結合正弦函數的性質檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為f（x）＝sinωx+2cos2ωx2=sinωx+cosωx+1由題意可得，2πω=π，即ω＝2f（x）=2sin(2x+π因為f（-π8）=2sin0+1＝1，即f（x）的圖象關于（-π8當-3π8＜x故選：ACD．【點評】本題主要考查了正弦函數性質的應用，屬于中檔題．（多選）7．（2024秋?安徽期末）已知函數f(A．f（x）為偶函數 B．f（x）的最小正周期為π C．f（x）的圖象關于直線x=πD．f（x）的最大值為2【考點】求二倍角的三角函數值；解三角形；三角函數的周期性；正弦函數的奇偶性和對稱性．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】CD【分析】先應用誘導公式及二倍角公式化簡解析式，再根據函數奇函數的定義判斷A，應用周期定義判斷B，再根據對稱軸定義判斷C，結合正弦函數值域及基本不等式計算求解值域判斷D．【解答】解：函數f（x）的定義域為R，對于A：f(-x)=sin(-x對于B：f（π2）=13，f（-π2）=-1對于C：f(π-x)=sin(對于D：當sinx＝0時，f（x）＝0；當sinx∈[﹣1，0）時，f(-1sinx-2sinx≥22，1當sinx∈（0，1]時，f(1sinx+2sinx≥22，0＜1所以f(x)故選：CD．【點評】本題主要考查了函數奇偶性，對稱性，周期性的應用，還考查了基本不等式求解最值，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?龍華區校級期末）若α∈(0，π2)，且A．tan2α=-3 B．tan2α=3 C．tanα=33 【考點】二倍角的三角函數；三角函數的恒等變換及化簡求值；同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】AD【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求cosα的值，進而利用同角三角函數基本關系式，二倍角的正切公式即可求解．【解答】解：因為sin2α+cos2α＝sin2α+cos2α﹣sin2α＝cos2α=1又α∈所以cosα=12，sinα=1-cos2α=3可得tan2α=2tanα1-tan故選：AD．【點評】本題考查了二倍角的余弦公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正切公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．三．填空題（共4小題）9．（2025?羅平縣開學）若sinα+2cosα＝0，則sin2α+cos2α＝-35【考點】求二倍角的三角函數值．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】-3【分析】先由條件得到tanα＝﹣2，結合二倍角公式，化弦為切，代入求出答案．【解答】解：因為sinα+2cosα＝0，所以tanα＝﹣2，sin2故答案為：-3【點評】本題考查了二倍角公式，屬于基礎題．10．（2025?昌黎縣校級開學）已知α，β均為銳角，且sinα=45，tan（α+β）＝﹣2，則cos2β＝【考點】求二倍角的三角函數值；求兩角和與差的三角函數值．【專題】轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】-3【分析】根據同角三角函數之間的關系可得余弦值和正切值，再根據兩角和的正切以及二倍角公式可求得結果．【解答】解：由α為銳角及sinα=45由tan（α+β）＝﹣2，得sin（α+β）＝﹣2cos（α+β），易知π2＜α+β＜π，所以結合sin2（α+β）+cos2得sin(α+所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-故cos2故答案為：-3【點評】本題主要考查兩角和的正切以及二倍角公式，屬于基礎題．11．（2025?小店區校級開學）已知sin(α+π3)=【考點】求二倍角的三角函數值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】-1【分析】根據誘導公式、二倍角公式等知識來求得正確答案．【解答】解：∵sin(∴sin(2α+π6)=sin[（2α+2π3）=2si故答案為：-1【點評】本題考查求二倍角的三角函數值，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．（2025?河南開學）已知sinθsinθ+cosθ=2，則tan(2【考點】求二倍角的三角函數值；同角三角函數間的基本關系．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的求值；運算求解．【答案】17【分析】由已知可求得tanθ＝﹣2，利用二倍角的正切公式可求得tan2θ，進而利用兩角差的正切公式可求值．【解答】解：因為sinθsinθ所以tanθ＝﹣2，tan2tan(2故答案為：17【點評】本題主要考查了同角基本關系，二倍角公式，和差角公式的應用，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?獨山子區校級開學）已知sinθ=45（1）求sin2θ的值；（2）求cos(（3）求sin(【考點】求二倍角的三角函數值；運用誘導公式化簡求值；兩角和與差的三角函數．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的求值；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）-2425；（2）4-3310；（【分析】（1）先由θ為第二象限角，sinθ=45，得cosθ（2）由兩角差的余弦公式可得；（3）由誘導公式得sin(【解答】解：已知sinθ=45（1）因θ為第二象限角，故cosθ＜0，由sinθ=45所以sin2θ＝2sinθcosθ=（2）cos(（3）sin(【點評】本題考查的知識點：三角函數的定義，三角函數的值，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．14．（2024秋?莎車縣期末）已知函數f(x)=cos（1）求函數y＝f（x）的單調遞增區間；（2）求x∈[0，π2]【考點】二倍角的三角函數；正弦函數的單調性．【專題】整體思想；綜合法；三角函數的圖象與性質；運算求解．【答案】見試題解答內容【分析】（1）先利用二倍角公式及輔助角公式對已知函數化簡，然后結合正弦函數的單調性即可求解；（2）結合正弦函數的最值性質可求、【解答】解：y=（1）令2kπ得kπ-所以函數y＝f（x）的單調遞增區間為[kπ（2）0≤x≤所以-12≤sin（2x+則f（x）∈從而函數y＝f（x）的值域為[1【點評】本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式在三角函數化簡中的應用還考查了正弦函數的性質的應用．15．（2024秋?文山市校級期末）已知cosβ=72（1）求tan2β的值；（2）求sinα的值．【考點】二倍角的三角函數；兩角和與差的三角函數．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；三角函數的求值；運算求解．【答案】（1）724（2）910【分析】（1）由同角三角函數關系得到tanβ，再利用二倍角公式進行計算；（2）湊角法，結合正弦和角公式進行計算．【解答】解：（1）由cosβ=可得sinβ=1-co則tan2（2）由0＜β＜所以cos(sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=5=9【點評】本題考查了三角函數求值，考查了三角函數恒等變換的應用，屬于基礎題．

考點卡片1．任意角的三角函數的定義【知識點的認識】任意角的三角函數1定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα=y2．幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．【解題方法點撥】利用三角函數的定義求三角函數值的方法利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值，需確定三個量：（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經過點（﹣4，3），則cosα＝（）A．45B．35C．-35分析：由條件直接利用任意角的三角函數的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經過點（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r=x2∴cosα=x故選：D．點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，兩點間的距離公式的應用，屬于基礎題．2．三角函數的周期性【知識點的認識】周期性①一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．②對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f（x）的最小正周期．③函數y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解題方法點撥】1．一點提醒求函數y＝Asin（ωx+φ）的單調區間時，應注意ω的符號，只有當ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sint的相應單調區間求解，否則將出現錯誤．2．兩類點y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．3．求周期的三種方法①利用周期函數的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用圖象．圖象重復的x的長度．3．運用誘導公式化簡求值【知識點的認識】利用誘導公式化簡求值的思路1．“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數化為任意正角的三角函數．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數化為0°到360°的三角函數，利用公式二將大于180°的角的三角函數化為0°到180°的三角函數．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．4．正弦函數的單調性【知識點的認識】三角函數的單調性的規律方法1．求含有絕對值的三角函數的單調性及周期時，通常要畫出圖象，結合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調區間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯．5．正弦函數的奇偶性和對稱性【知識點的認識】正弦函數的對稱性正弦函數是定義域為R的奇函數，既然是奇函數，那么其圖象關于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+π2，k∈【解題方法點撥】例：函數y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝x=kπ解：由于函數y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函數y＝sint的對稱軸為t則2x-π4=kπ+則函數y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x故答案為x=這個題很有代表性，一般三角函數都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數，然后把2x-π【命題方向】這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．6．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點的認識】根據圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A=M-m2，k=M+m2，ω7．同角三角函數間的基本關系【知識點的認識】1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：sinαcosα=tan2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解題方法點撥】誘導公式記憶口訣：對于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函數記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數值前面加上當α8．兩角和與差的三角函數【知識點的認識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα9．求兩角和與差的三角函數值【知識點的認識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解題方法點撥】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβcos（α±β）＝cosαcosβ?sinαsinβtan(﹣將具體角度值代入公式，求解三角函數值．﹣驗證計算結果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用和差公式求解三角函數值，結合具體角度進行計算．若α為銳角，sinα=45，則解：若α為銳角，sinα=45，則cossin(α+π3)=110．二倍角的三角函數【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案為：π．這個簡單的例題的第二個式子就是一個二倍角的轉換，轉換過后又使用了和差化積的相關定理，這也可以看得出三角函數的題一般都涉及到幾個公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【命題方向】本考點也是一個很重要的考點，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學多加練習，熟記各種公式．11．求二倍角的三角函數值【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數值．﹣驗證計算結果的正確性．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解三角函數值，結合具體角度進行計算．已知tanα2=22，則解：因為tanα所以tanα=故答案為：2212．二倍角的三角函數的逆用【知識點的認識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具有二倍角公式展開模式的表達式，改寫成二倍角并求解．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解表達式，結合具體角度進行計算．求下列各式的值：（1）sinπ8sin3（2）cos215°﹣cos275°；（3）2cos25π12（4）tan30°解：（1）sinπ8sin3π8=sinπ8（2）cos215°﹣cos275°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°=3（3）2cos25π12-1＝cos5（4）tan30°1-tan230°13．三角函數的恒等變換及化簡求值【知識點的認識】三角函數的恒等變化主要是指自變量x數值比較大時，如何轉化成我們常見的數值比較小的而且相等的三角函數，主要的方法就是運用它們的周期性．公式①正弦函數有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（π2+x）＝sin（π2-②余弦函數有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（π2-x）＝③正切函數有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（π2-x）＝cot④余切函數有y＝cot（π2-x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cot【解題方法點撥】