10/1018.2特殊的平行四邊形18．2.1矩形第1課時矩形的性質本節課的內容是矩形的性質，是在學生學習了平行四邊形的性質與判定以及小學學過的長方形的基礎上來學習的，它是平行四邊形的性質的延伸，不僅為矩形判定的學習做鋪墊，也為菱形、正方形的學習打下基礎．學生通過對生活中的長方形的觀察、思考、歸納、抽象得出矩形的定義和性質，這樣的安排使學生易于接受抽象的定理，并能在學習過程中體會到探索的樂趣．【置疑導入】1．展示生活中一些平行四邊形的實際應用圖片(推拉門、活動衣架、籬笆等)，想一想：它們應用了平行四邊形的什么性質？2．思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？(動畫演示拉動過程如圖)3．再次演示平行四邊形的拉動過程，當拉動到一個角是直角時停止，讓學生觀察這是什么圖形(小學學過的長方形)，并引出本節課題及矩形的定義．【說明與建議】說明：通過平行四邊形教具，操作探究矩形與平行四邊形之間的關系，幫助學生體會矩形與平行四邊形的區別和聯系，感受由平行四邊形變為矩形的過程，為研究矩形的性質做鋪墊．建議：在展示平行四邊形教具由平行四邊形變為矩形的過程后讓學生說出矩形的特征，尤其是矩形具有而平行四邊形不具有的特殊性質．【復習導入】已經知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質．大家還記得平行四邊形都有哪些特殊的性質嗎？同樣對于平行四邊形來說也有一些特殊情況，今天我們就來研究一種特殊的平行四邊形——矩形．利用多媒體展示一組生活中的圖片(如圖)，觀察圖中有哪些圖形是矩形，你能說說為什么嗎？【說明與建議】說明：通過對平行四邊形性質的復習，鞏固所學的知識，并利用生活中的矩形圖片引入新課．建議：為了給學生直觀的印象，利用課件或實物展示一下由平行四邊形變形得到矩形的過程會更好．在選擇圖片時盡可能選擇學生熟悉的，也可以利用教室中可以看到的實物，比如：黑板、門、窗等．命題角度1利用矩形的性質計算線段的長度或角的度數1．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ACB＝30°，則∠AOB的大小為(B)A．30°B．60°C．90°D．120°第1題圖第2題圖2．如圖，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于點E，連接AE.若CD＝6，AE＝10，則AD的長為(B)A．12B．14C．16D．20命題角度2利用矩形性質解決證明問題3．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，OE＝OF.求證：AE＝CF.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC.在△AOE和△COF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，,OE＝OF，))∴△AOE≌△COF(SAS).∴AE＝CF.命題角度3利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解決問題．4．如圖，在△ABC中，點D為AB的中點，BE⊥AC，垂足為E.若DE＝4，AE＝6，則BE的長度是(D)A．10B．2eq\r(5)C．8D．2eq\r(7)黃金矩形黃金矩形(GoldenRectangle)的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的短邊為長邊的0.618倍．黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅．在很多藝術品以及大自然中都能找到它，希臘雅典的巴特農神廟就是一個很好的例子．蒙娜麗莎的臉符合黃金矩形，同樣也應用了該比例布局．給定一條線段，如何把它分割成黃金分割比呢？古希臘人的方法是先作出一個黃金矩形(即其長與寬的比恰好為黃金分割比)：先作一個邊長為1的正方形ABCD，并連接一組對邊的中點E，F，把正方形按如圖所示左右均分，再以點F為圓心，FC的長為半徑畫弧，交FD的延長線于點G，過點G作垂線，交EC的延長線于點H.此時得到的矩形DCHG就是黃金矩形了，而(利用畢氏定理)有了黃金矩形后，任何學過基本幾何作圖的人，都會把一條段線分成黃金分割比了．課題18.2.1第1課時矩形的性質授課人素養目標1.掌握矩形的概念和性質及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個性質，應用矩形的性質進行有關證明與計算．2．探索并能證明矩形的性質定理，理解平行四邊形與矩形的區別與聯系．3．通過觀察、猜想、驗證等過程，學生經歷知識的形成過程，進一步培養學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力．教學重點掌握矩形的性質定理．教學難點利用矩形的性質進行證明和計算．授課類型新授課課時教學活動教學步驟師生活動設計意圖活動一：創設情境、導入新課【課堂引入】我們已經學習了平行四邊形的性質和判定，現在我們來研究特殊的平行四邊形的性質和判定，我們從矩形的性質開始研究．你能舉出一些生活中形狀為矩形的實際例子嗎？下面給大家介紹一下工人制作窗框的過程．1．先截出兩對符合規格的鋁合金窗料，如圖，使AB＝CD，EF＝GH.2．擺成四邊形(如第2個圖)，這時窗框的形狀是平行四邊形，依據的數學道理是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．3．將直角尺緊靠窗框的一個角(如第3個圖)，調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時，說明窗框合格，這時窗框是矩形，依據的數學道理是：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．4．特殊的平行四邊形有哪些？它們具有平行四邊形的性質嗎？我們知道，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們不僅具有平行四邊形的性質，而且還有各自特殊的性質，本節課開始我們來研究特殊的平行四邊形的性質．復習舊知識引出新課，強調四邊形的不穩定性．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】一、矩形的性質演示幾何畫板課件，引導學生觀察圖形變化，回答問題：1．當?ABCD變為矩形時，它的四個角和兩條對角線有什么變化？2．當矩形的大小不斷變化時，前面發現的結論是否仍然成立？猜想矩形具有什么特殊的性質，怎樣證明你的猜想？矩形的性質定理1：矩形的四個角都是直角．符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°(矩形的四個角都是直角).已知：在矩形ABCD中，∠A＝90°.求證：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.教學步驟師生活動設計意圖活動二：實踐探究、交流新知矩形的性質定理2：矩形的對角線相等．已知：AC，BD是矩形ABCD的對角線．求證：AC＝BD.分析：欲證AC＝BD，可證AC，BD所在的三角形全等．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°.∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD(SAS).∴AC＝BD.符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的對角線相等).二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半議一議：1．矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，那么BO是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有怎樣的數量關系？為什么有這樣的數量關系？2．在這里，我們可以從矩形的對角線的性質得到關于直角三角形的一個性質，應當怎樣敘述這個性質？問題：根據平行四邊形的性質“對角線互相平分”，又根據矩形的性質“對角線相等”，你能得到AO＝CO＝DO＝BO嗎？可以．由此得到：AO＝CO＝eq\f(1,2)BD，DO＝BO＝eq\f(1,2)AC.OC為Rt△BCD的中線，從而得到關于直角三角形的一個性質，即：矩形的性質定理2的推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．符號語言：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，∴CD＝eq\f(1,2)AB.(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)1.注重學生的自主探究，通過自主探究獲得新知，體驗成功的喜悅．2．給學生留下充分的探究時間和空間，更大地調動學生的積極性，鞏固所學的知識．活動三：開放訓練、體現應用【典型例題】例1(教材第53頁例1)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形對角線的長．【思路點撥】因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質，根據矩形的這個性質和已知條件，可得△OAB是等邊三角形，因此可求對角線的長度．【解答】∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∵∠AOB＝60°，∴△OAB是等邊三角形．∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.1．設置例題幫助學生掌握矩形的性質，并會運用矩形的性質來解決問題．活動三：開放訓練、體現應用【方法歸納】應用矩形性質計算的一般思路：①根據矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個全等的直角三角形，用勾股定理求線段的長度是常用的思路；②根據矩形對角線相等且互相平分，故可借助對角線的關系得到全等三角形，矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質相關的計算和證明中要注意這個結論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關系．例2如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，AH是高，如果DE＝5cm，求HF的長．【思路點撥】由中位線定理可知DE＝eq\f(1,2)AC，即可求出AC的長度，又因為HF是Rt△AHC斜邊上的中線，即可求出HF的長度．【解答】由題意可得，DE是△ABC的中位線，∴DE＝eq\f(1,2)AC.∵HF是Rt△AHC的斜邊AC上的中線，∴HF＝eq\f(1,2)AC.∴HF＝DE＝5cm.【變式訓練】如圖，BN，CM分別是△ABC的兩條高，點D，E分別是BC，MN的中點．(1)求證：DE⊥MN；(2)若BC＝26，MN＝10，求DE的長．解：(1)證明：連接DM，DN.∵BN，CM分別是△ABC的兩條高，∴BN⊥AC，CM⊥AB.∴∠BMC＝∠CNB＝90°.∵點D是BC的中點，∴DM＝eq\f(1,2)BC，DN＝eq\f(1,2)BC.∴DM＝DN.∵點E是MN的中點，∴DE⊥MN.(2)∵BC＝26，∴DM＝eq\f(1,2)BC＝13.∵點E是MN的中點，MN＝10，∴ME＝5.由勾股定理，得DE＝eq\r(DM2－ME2)＝12.師生活動：學生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．2．應用遷移、鞏固提高，培養學生解決問題的能力．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1．在下面的性質中，矩形不一定具有的是(D)A.對角線相等B．四個角都相等C.是軸對稱圖形D．對角線互相垂直2．在直角三角形中，斜邊長為12，則斜邊上的中線長是(A)A.6B．4C．8D．123．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是AO，AD的中點．若AB＝6cm，BC＝8cm，則△AEF的周長為(C)A.7cmB．8cmC．9cmD．12cm第3題圖第4題圖4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，則∠ABD的度數為(D)A.60°B．62.5°C．65°D．67.5°5．如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E，F，AB＝2，BC＝4，則圖中陰影部分的面積為4．6．如圖，已知四邊形ABCD是矩形(AD＞AB)，點E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F，求證：DF＝AB.證明：∵四邊形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA(AAS).∴DF＝AB.師生活動：學生進行當堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解．學以致用，課堂檢測及時獲知學生對所學知識掌握情況，并最大限度地調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收獲、有所提高．課堂小