PAGE1-其次節充分條件、必要條件[最新考綱]1.理解必要條件的含義，理解性質定理與必要條件的關系.2.理解充分條件的含義，理解判定定理與充分條件的關系.3.理解充要條件的含義，理解數學定義與充要條件的關系．1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qeq\o(?,/)pp是q的必要不充分條件peq\o(?,/)q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件peq\o(?,/)q且qeq\o(?,/)p2．數學中的定義、判定定理、性質定理與必要條件、充分條件的聯系①判定定理中前提是結論的充分條件；②性質定理中結論是前提的必要條件；③數學定義中條件是結論的充要條件．即定義可以用于判定也可以作為性質．3．充分條件與必要條件的兩個特征①對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”則“q?p”．②傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”，則“p?r”(“p?q且q?r”，則“p?r”)．eq\O([常用結論])1．p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．其他狀況依次類推．2．集合與充要條件：設p，q成立的對象構成的集合分別為A，B，p是q的充分不必要條件?AB；p是q的必要不充分條件?AB；p是q的充要條件?A＝B.一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“a＞－1”是“a≥－1”的必要條件. ()(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分條件． ()(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件． ()(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改編1．已知m，n為兩個非零向量，則“m·n＜0”是“m與n的夾角為鈍角”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[設m，n的夾角為θ，若m，n的夾角為鈍角，則eq\f(π,2)＜θ＜π，則cosθ＜0，則m·n＜0成立；當θ＝π時，m·n＝－|m|·|n|＜0成立，但m，n的夾角不為鈍角．故“m·n＜0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件，故選B.]2．設x∈R，則“x3>1”是“|x|>1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[由x3>1可得x>1，由|x|>1可得x>1或x<－1，故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要條件．故選A.]3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0明顯成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.]4.△ABC中，“sinA＝eq\f(4,5)”是“cosA＝－eq\f(3,5)”的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分[△ABC中，sinA＝eq\f(4,5)，所以cosA＝±eq\f(3,5)，所以“sinA＝eq\f(4,5)”是“cosA＝－eq\f(3,5)”的必要不充分條件．]考點1充分、必要條件的判定充分條件和必要條件的3種推斷方法(1)定義法：可依據以下三個步驟進行①確定條件p是什么，結論q是什么；②嘗試由條件p推結論q，由結論q推條件p；③確定條件p和結論q的關系．(2)等價轉化法：對于含否定形式的命題，如p是q的什么條件，利用原命題與逆否命題的等價性，可轉化為求q是p的什么條件．(3)集合法：依據p，q成立時對應的集合之間的包含關系進行推斷．(1)(2024·浙江高考)設a＞0，b＞0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)(2024·天津高考)設x∈R，則“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(3)(2024·北京高考)設點A，B，C不共線，則“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(1)A(2)B(3)C[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤4，充分性成立；當a＝4，b＝1時，滿意ab≤4，但a＋b＝5＞4，不滿意a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件，選A.(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，記A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，記B＝{x|0＜x＜2}，明顯BA，∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分條件，故選B.(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|?|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|?eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))?eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0，由點A，B，C不共線，得〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＞0?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角．故選C.][逆向問題](2024·湘東五校聯考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是()A．m＞eq\f(1,4) B．0＜m＜1C．m＞0 D．m＞1C[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞eq\f(1,4)，因此當不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立時，必有m＞0，但當m＞0時，不肯定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m＞0.]推斷充要條件需留意3點(1)要分清條件與結論分別是什么．(2)要從充分性、必要性兩個方面進行推斷．(3)干脆推斷比較困難時，可舉出反例說明．1.已知x∈R，則“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的()A．充分必要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件B[x2－5x－6＝0?x＝－1或x＝6，∵x＝－1?x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要條件，故選B.]2．給定兩個命題p，q，若p是q的必要不充分條件，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[因為p是q的必要不充分條件，所以q?p，但peq\o(?,/)q，其等價于p?q，但qeq\o(?,/)p，故選A.]3．王安石在《游褒禪山記》中寫道“世之奇偉、瑰怪，特別之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，請問“有志”是到達“奇偉、瑰怪，特別之觀”的()A．充要條件B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件D．必要不充分條件D[非有志者不能至，是必要條件；但“有志”也不肯定“能至”，不是充分條件．]考點2充分條件、必要條件的應用依據充要條件求參數值(或范圍)的方法是先把充要條件轉化為集合之間的關系，再依據集合的關系列出關于參數的不等式(組)求解．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．[0,3][由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.又S為非空集合，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.即所求m的取值范圍是[0,3]．][母題探究]把本例中的“必要條件”改為“充分條件”，求m的取值范圍．[解]由x∈P是x∈S的充分條件，知P?S，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即所求m的取值范圍是[9，＋∞)．利用充要條件求參數的2個關注點(1)巧用轉化求參數：把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后依據集合之間的關系列出關于參數的不等