微專題22相似三角形(含位似)考點(diǎn)精講構(gòu)建知識體系考點(diǎn)梳理1.比例(1)比例線段比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即ab＝cd，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段比例中項(xiàng)如果a∶b＝b∶c或ab＝bc或①，那么b叫做a和比例的性質(zhì)性質(zhì)1(基本性質(zhì))如果ab＝cd，那么②＝bc(b，d≠0)(性質(zhì)2(合比性質(zhì))如果ab＝cd，那么a±bb＝③(性質(zhì)3(等比性質(zhì))如果a1b1＝a2b2＝…＝anbn，且b1＋b2＋…＋2.平行線分線段成比例(1)定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例(基本事實(shí)).(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成④3.黃金分割比例(2023.6)圖示定義如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，且ACAB＝⑤，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫黃金比，即ACAB＝5－12≈0.618，BCAB≈0.382，【滿分技法】一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)4.相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考)性質(zhì)(1)相似三角形的對應(yīng)角⑥，對應(yīng)邊⑦；(2)相似三角形中的所有對應(yīng)線段(高、中線、角平分線)成比例，且等于相似比；(3)相似三角形的周長比等于⑧，面積比等于⑨判定方法兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似兩邊成比例且⑩相等的兩個(gè)三角形相似三邊?的兩個(gè)三角形相似5.位似(1)定義：兩個(gè)圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心(2)性質(zhì)：①位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；②在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k練考點(diǎn)1.已知ab＝cd＝ef＝23，則2.如圖是五條等距離的平行線，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上，若線段AB＝4，則線段BC的長為.第2題圖3.如圖，若線段AB＝2，點(diǎn)C為AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則AC的長為.第3題圖4.若兩個(gè)相似三角形的邊長之比為1∶2，則它們的面積比是.5.如圖，AB與CD交于點(diǎn)O.若OAOB＝OCOD＝12，則AC第5題圖6.如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB∶OE＝2∶3，若△ABC的周長為4，則△DEF的周長為.第6題圖高頻考點(diǎn)考點(diǎn)1平行線分線段成比例例1(北師九上習(xí)題改編)如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m，n于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的是()A.ACCE＝BDBF B.ACAE＝BFDF C.ACDF＝BDCE例1題圖變式1(人教九下習(xí)題改編)如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則BEEC的值為變式1題圖考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年9考)模型一A字型[2023.15，2023.22(2)②，2021.21(2)，2020.22(2)，2019.24(3)]模型分析類型正“A”字型斜“A”字型模型展示模型特點(diǎn)有共用的一組角∠A，并且有另外一組角相等，形似“字母A”解題思路找同側(cè)的一組相等角找異側(cè)的一組相等角結(jié)論△ADE∽△ABC?ADAB＝AEAC△ADE∽△ACB?ADAC＝AEAB例2(人教九下練習(xí)改編)如圖，D，E分別是△ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，∠AED＝∠ABC，若AD＝2，BD＝4，AE＝3，則CE的長為.例2題圖變式2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，若AC＝6，BD＝5，則sinB的值為.變式2題圖變式3如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若BE＝2，BC＝3，則S△AEDS變式3題圖模型二8字型[2021.23，2019.10③]模型分析類型正“8”字型斜“8”字型模型展示模型特點(diǎn)有一組角為對頂角，并且有另外一組角相等，形似“數(shù)字8”解題思路找對頂角之外的另一組角相等，或?qū)斀堑膬蛇厡?yīng)成比例結(jié)論△AOB∽△DOC?AODO＝BOCO△AOB∽△COD?AOCO＝BODO例3如圖，線段AE，BD交于點(diǎn)C，連接AB，DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，則AB＝.例3題圖變式4如圖，正方形ABCD的邊長為5，正方形EFGC的邊長為3，點(diǎn)B，C，G在一條直線上，連接BF，交CD于點(diǎn)H，則圖中陰影部分的面積為.變式4題圖模型三手拉手型[2024.22(2)]模型分析模型展示：模型特點(diǎn)：1.如圖①，DE∥BC，∠BAC＝∠DAE；2.如圖②，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度后，連接BD，CE，延長BD交CE于點(diǎn)F結(jié)論：①△ADE∽△ABC；②若AD＝AE，AB＝AC，則△ABD≌△ACE例4在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接BD'，CE'，若AD＝23AE，BD'＝4，則CE'的長為例4題圖變式5如圖，在△ABC和△ADE中，點(diǎn)D在BC邊上，∠B＝∠ADE＝30°，∠BAC＝∠DAE＝90°，則CEBD的值為變式5題圖模型四一線三垂直型[2021.23]模型分析類型類型一類型二模型特點(diǎn)∠1，∠2，∠3的頂點(diǎn)在同一條直線上，∠1＝∠2＝∠3＝90°模型展示結(jié)論△ABD∽△CEB例5如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且EF⊥DF.若CF＝2BE，則BF的長為.例5題圖變式6如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝kx(x＞0)的圖象上.若AB＝2AC，且OA＝OB，則k的值為變式6題圖考點(diǎn)3位似例6如圖，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(2，0)，以原點(diǎn)為位似中心，將線段AB放大得到線段CD，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，0)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.例6題圖真題及變式命題點(diǎn)1黃金分割數(shù)(2023.6) 1.(2023廣東6題3分)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了()A.黃金分割數(shù) B.平均數(shù) C.眾數(shù) D.中位數(shù)拓展訓(xùn)練2.(2024東莞一模)寬與長的比是5－12(約0.618)的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是第2題圖A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH命題點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定(6年11考) 拓展訓(xùn)練3.(2024梅州一模改編)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F.若∠ABE＝30°，BDCE＝54，則BFEF第3題圖4.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，連接BD，CE.若S△ADB∶S△AEC＝16∶9，△ADB的周長為2，求△AEC的周長.第4題圖5.如圖為兩個(gè)全等的等腰直角△ABC和△ADE，已知∠BAC＝∠AED＝90°，AD，AE分別交BC邊于點(diǎn)F，G，BC＝52.(1)求證：AG2＝BG·FG；(2)求證：△ABG∽△FCA；(3)設(shè)BG＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍.第5題圖新考法6.[數(shù)學(xué)文化](2024佛山二模)《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓”.度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，以面積為1的正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若AB∶A'B'＝1∶2，則四邊形A'B'C'D'的面積為()A.9 B.6 C.4 D.3第6題圖7.[數(shù)學(xué)文化]四分儀是一種古老的測量工具，可以追溯到公元2世紀(jì)的托勒密時(shí)代.如圖就是一種四分儀在距離測量上的應(yīng)用，該四分儀是在邊長為1米的正方形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)處安裝一根方向桿.若將該四分儀的方向桿對準(zhǔn)遠(yuǎn)處的目標(biāo)物E，在四分儀上讀出DF的長度為20厘米，已知點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，則目標(biāo)物E與點(diǎn)B之間的距離BE為()第7題圖A.1米 B.4米 C.5米 D.6米8.[跨物理學(xué)科](2024山西)黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律.借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀.已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且BCAB＝5－12.若NP＝2cm，則BC的長為cm(第8題圖9.[結(jié)合網(wǎng)格]如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為.第9題圖

考點(diǎn)精講①b2＝ac②ad③c±dd④比例⑤BC⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夾角?成比例練考點(diǎn)1.232.23.5－14.1∶45.126.高頻考點(diǎn)例1D【解析】∵a∥b∥c，∴ACCE＝BDDF，ACAE＝BDBF，ACBD＝CEDF，∴選項(xiàng)A，B，C錯(cuò)誤，不符合題意變式132【解析】∵AB∥EF∥CD，∴BEEC＝AFFD＝AO＋OFFD，∵AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，∴例21【解析】∵∠AED＝∠ABC，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC＝AEAB，∴23+CE＝32+4，變式223【解析】∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，即AD6＝6AD+5，解得，AD1＝－9(舍去)，AD2＝4，則sin∠B＝變式349【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD＝∠ABD，∴DE＝BE＝2.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴S△AEDS△ABC＝(DEBC)2＝例392【解析】∵AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，∴ACBC＝CDCE＝32.∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△DCE，∴ABDE＝ACDC＝32，∵DE變式42716【解析】∵∠FEH＝∠BCH，∠EHF＝∠CHB，∴△EHF∽△CHB，∴EFCB＝EHCH＝35，∴EH＝38CE＝98，∴S△EFH＝12EH·EF＝1例46【解析】∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，由旋轉(zhuǎn)得，∠DAE＝∠D'AE'，AD＝AD'，AE＝AE'，∴AD'AB＝AE'AC，∠DAD'＋∠D'AE＝∠D'AE＋∠CAE'，∴∠DAD'＝∠CAE，∴△ABD'∽△ACE'，∴BD'CE'＝AD'AE'＝變式533【解析】∠BAC＝∠DAE＝90°，∴tan∠B＝ACAB，tan∠ADE＝AEAD，∠B＝∠ADE＝30°，∴ACAB＝AEAD＝tan30°＝33.又∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴例53【解析】∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，即∠BFE＋∠CFD＝90°.∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴BECF＝BFCD.∵CF＝2BE，AB＝CD＝6，∴BE2BE＝BF6，變式63【解析】如解圖，過點(diǎn)C作CH⊥y軸于點(diǎn)H.∵A(0，2)，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAH＝90°，∵∠ABO＋∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，∴OAHC＝OBHA＝ABCA＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA＋AH＝3，∴C(1，3)，∵點(diǎn)C在y＝kx的圖象上，∴k＝1×變式6題解圖例6(52，5)【解析】由題意得，△OAB與△OCD為位似圖形，∴△OAB∽△OCD，∵點(diǎn)B(2，0)，D(5，0)，∴OB＝2，OD＝5，∴△OAB與△OCD的相似比為2∶5，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(1，2)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1×52，2×52)，即(5真題及變式1.A2.D【解析】設(shè)正方形的邊長為2，則CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝5，∴CG＝5－1，∴CGCD＝5－12，∴3.52【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，∴△DFB∽△EFC，∴∠DBF＝∠ECF＝30°，BDCE＝BFCF＝54，在Rt△ECF中，∠ECF＝30°，∴EF＝12CF，∴BFEF＝BF12CF＝24.解：∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴ABAD＝ACAE，即ABAC∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ADB∽△AEC；∵S△ADB∶S△AEC＝16∶9，∴C△ADB∶C△AEC＝4∶3.∵C△ADB＝2，∴C△AEC＝325.(1)證明：由題意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°，∵∠AGF＝∠BGA，∴△ABG∽△FAG，∴AGFG＝BG∴AG2＝BG·FG；(2)證明：由題意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45