學(xué)案6二項(xiàng)分布及其應(yīng)用二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

1.條件概率一般地,設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P（A）>0，稱(chēng)P（B|A）=為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.P（B|A）讀作

.

條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1.A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率考點(diǎn)分析二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則

P（B∪C|A）=

.

2.事件的相互獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P（AB）=P（A）P（B），則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立.

如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與

，A與

，A與

也都相互獨(dú)立.P（B|A）+P（C|A）B二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地,在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).4.二項(xiàng)分布一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

P（X=k）=,k=0,1,2,…,n.

此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~

，并稱(chēng)p為

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成功概率B（n,p）二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

考點(diǎn)一條件概率有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8,在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，求這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率.

【分析】解決好概率問(wèn)題的關(guān)鍵是分清屬于哪種類(lèi)型的概率，該例中的幼苗成活率是在出芽后這一條件下的概率，屬于條件概率.題型分析二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

【解析】設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長(zhǎng)為幼苗為事件AB（發(fā)芽，又成活為幼苗），出芽后的幼苗成活率為:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.

根據(jù)條件,概率公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72，即這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為0.72.【評(píng)析】在解決條件概率問(wèn)題時(shí)，要靈活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間的關(guān)系，即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)·P(B)+P(B|A)·P(A).二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例＊對(duì)應(yīng)演練＊某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).返回目錄

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根據(jù)題意知P(A)=,P(B)=,P(AB)=.(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

考點(diǎn)二事件的相互獨(dú)立性甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

【分析】(1)將三種事件設(shè)出,列方程,解方程即可求出.(2)用間接法解比較省時(shí),方便.【解析】(1)設(shè)A，B，C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.P(A·B)=P(B·C)=P(A·C)=,P(A)·［1-P(B)］=①P(B)·［1-P(C)］=②P(A)·P(C)=③由題設(shè)條件有

即二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

由①③得P(B)=1-P(C),代入②得

27［P(C)］2-51P(C)+22=0.

解得P(C)=或(舍去).

將P(C)=分別代入③②可得P(A)=,P(B)=.

即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是,,.返回目錄

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例(2)記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),至少有一個(gè)一等品的事件.

則P(D)=1-P(D)=1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］

=1-××=.

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn),至少有一個(gè)一等品的概率為.返回目錄

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【評(píng)析】(1)對(duì)照互斥事件、對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷，哪些是互斥事件，哪些是對(duì)立事件，是解好題目的關(guān)鍵.“正難則反”，一個(gè)事件的正面包含基本事件個(gè)數(shù)較多，而它的對(duì)立事件包含基本事件個(gè)數(shù)較少，則用公式P（A）=1-P（A）計(jì)算.(2)審題應(yīng)注意關(guān)鍵的詞句，例如“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”等.(3)復(fù)雜問(wèn)題可考慮拆分為等價(jià)的幾個(gè)事件的概率問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合對(duì)立事件的概率求法進(jìn)行求解.(4)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有:①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式;②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可以從對(duì)立事件入手計(jì)算.返回目錄

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＊對(duì)應(yīng)演練＊甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8,計(jì)算:(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率;(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率;(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件A·B；“恰有1人擊中目標(biāo)”是A·B或A·B；“至少有1人擊中目標(biāo)”是A·B或A·B或A·B.(1)顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件A·B，又由于事件A與B相互獨(dú)立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.(2)“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即A·B）,另一種是甲未擊中乙擊中（即A·B），根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A·B與A·B是互斥的，所以所求概率為：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例P=P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為P=P(A·B)+［P(A·B)+P(A·B)］=0.64+0.32=0.96.解法二：“兩人都未擊中目標(biāo)”的概率是P(A·B)=P(A)·P(B)=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=1-P(A·B)=1-0.04=0.96.返回目錄

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考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立).(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率;(2)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3?

【分析】因?yàn)?個(gè)員工上網(wǎng)都是相互獨(dú)立的，所以該題可歸結(jié)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

【解析】（1）解法一：記“有r人同時(shí)上網(wǎng)”為事件Ar,則“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”即為事件A3+A4+A5+A6，因?yàn)锳3,A4,A5,A6為彼此互斥事件，所以可應(yīng)用概率加法公式，得“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的概率為

P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(20+15+6+1)=.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

解法二：“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的對(duì)立事件是“至多2人同時(shí)上網(wǎng)”，即事件A0+A1+A2.因?yàn)锳0,A1,A2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時(shí)上網(wǎng)”的概率為

P=1-P(A0+A1+A2)=1-［P(A0)+P(A1)+P(A2)］

=1-()=1-(1+6+15)=返回目錄

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解法三：至少3人同時(shí)上網(wǎng)，這件事包括3人，4人，5人或6人同時(shí)上網(wǎng)，則記至少3人同時(shí)上網(wǎng)的事件為A,X為上網(wǎng)人數(shù),則

P(A)=P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)

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二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

（2）解法一：記“至少r人同時(shí)上網(wǎng)”為事件Br,則Br的概率P(Br)隨r的增加而減少.依題意是求滿足P(Br)＜0.3的整數(shù)r的最小值.因?yàn)?/p>

P(B6)=P(A6)=＜0.3,P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6)=()=＜0.3,P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6)=()=(15+6+1)=＞0.3,

所以至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率大于0.3,至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.返回目錄

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

解法二：由(1)知至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率大于0.3,至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為

P（X≥4）=

＞0.3,

至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為

P(X≥5)=＜0.3,

所以至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.返回目錄

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例【評(píng)析】（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=(1-p)k，k=0,1,2,…,n.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，在利用該公式時(shí)，一定要搞清是多少次試驗(yàn)中發(fā)生k次的事件，如本題中“有3人上網(wǎng)”可理解為6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生，即n=6，k=3.返回目錄

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＊對(duì)應(yīng)演練＊甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和,假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒(méi)有影響,每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間也沒(méi)有影響.(1)求甲射擊4次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率;(3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo),則停止射擊,問(wèn)乙恰好射擊5次后,被中止射擊的概率是多少?二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

(1)記“甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意,射擊4次,相當(dāng)于作4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故

P(A1)=1-P(A1)=1-()4=.∴甲連續(xù)射擊4次至少有1次未擊中目標(biāo)的概率為.(2)記“甲射擊4次,恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2,“乙射擊4次,恰有3次擊中目標(biāo)”為事件B2,則

P(A2)=××(1-)4-2=.

P(B2)=××(1-)4-3=.

由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,故

P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例∴兩人各射擊4次,甲恰有2次擊中目標(biāo)且乙恰有3次擊中目標(biāo)的概率為.(3)記“乙恰好射擊5次后被中止射擊”為事件A3,“乙第i次射擊未擊中”為事件Di(i=1,2,3,4,5),則A3=D5D4D3(D2D1),且P(D4)=.由于各事件相互獨(dú)立,故

P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1)=×××(1-×)=.∴乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率為.返回目錄

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

考點(diǎn)四二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的分布列一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列;(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車(chē)前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例返回目錄

【分析】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和二項(xiàng)分布等知識(shí).【解析】（1）將通過(guò)每個(gè)交通崗看作一次試驗(yàn)，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的,故X~B(6,)，以此為基礎(chǔ)求X的分布列.

由X~B(6,)，所以X的分布列為

P(X=k)=，k=0,1,2,3,4,5,6.

（2）由于Y表示這名學(xué)生在首次停車(chē)時(shí)經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，顯然Y是隨機(jī)變量，其取值為0,1,2,3,4,5.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k個(gè)路口沒(méi)有遇上紅燈，但在第k+1個(gè)路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算.P(Y=k)=()k·(k=0,1,2,3,4,5),

而{Y=6}表示一路沒(méi)有遇上紅燈,

故其概率為P(Y=6)=.

因此Y的分布列為:

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Y0123456P二項(xiàng)分布及其應(yīng)用-概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例(3)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的事件為（X≥1）={X=1或X=2或…或X=6},所以其概率為P(X≥1)=P(X=k)=1-P(X=0)