2024-2025學年下學期高一年級第二次質量檢測數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.下列量中是向量的為（）A.頻率 B.拉力 C.體積 D.距離2.（）A B. C. D.3.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.24.設都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（）A B. C. D.5.已知向量，，且與的夾角，則（）A B. C. D.6.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則（）A.120° B.45° C.60° D.30°7.如圖，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（接近點），點為的中點，則（）A. B. C. D.8.已知向量，，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在中，分別是的中點，則（）A.與共線 B.與共線C.與共線 D.與共線10.下列說法中正確的是（）A.若，，且與共線，則B.若，，且，則與不共線C.若、、三點共線，則向量都是共線向量D.若向量，且，則11.在中，內角所對的邊分別為，，，，則（）A.BC.D.的面積為或三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．13.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則______________________.14.在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是平面上兩個不共線的向量，且.（1）若，方向相反，求的值；（2）若，，三點共線，求的值.16.設，，，為平面內的四點，且，，.（1）若，求點的坐標；（2）設向量，若與平行，求實數的值.17.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量與向量的夾角.18.在中，分別是角的對邊，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．19.記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，（1）求B；（2）若的面積為，求c．

2024-2025學年下學期高一年級第二次質量檢測數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.下列量中是向量的為（）A.頻率 B.拉力 C.體積 D.距離【答案】B【解析】【分析】根據向量與數量的意義直接判斷即可.【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量的加減法的幾何意義，即可求得答案.【詳解】由題意可得,故選：D3.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.4.設都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據等式將移到另一端,兩邊同時平方,由都是單位向量可求出,的夾角.【詳解】解析:由,可知,故,∴.設,的夾角為,即,又,∴.故選::A5.已知向量，，且與的夾角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題知，進而得，再根據求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以，所以.故選：C6.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則（）A.120° B.45° C.60° D.30°【答案】A【解析】【分析】應用余弦定理結合角的范圍計算求解.【詳解】因為，所以，即，所以，由余弦定理得．因為，所以，故選：A．7.如圖，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（接近點），點為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可推得，，，進而根據平面向量數量積的運算求解即可得出結果.【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，故選：B.8.已知向量，，且，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據向量的坐標運算和平行關系得到的關系，再利用基本不等式的推論即可得解.【詳解】由題意得，,，因為，所以，即.所以，即，當且僅當，時等號成立.所以的最大值為2.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在中，分別是的中點，則（）A.與共線 B.與共線C.與共線 D.與共線【答案】BD【解析】【分析】根據向量共線概念即可求解結果．【詳解】對于A，因為與不平行，且不在同一條直線上，所以與不共線，A錯；對于B，因為D，E分別是AB，AC的中點，則與平行，故與共線，B正確；對于C，因為與不平行，且不在同一條直線上，所以與不共線，C錯；對于D，因為D是AB的中點，所以，所以與共線，D正確．故選：BD10.下列說法中正確的是（）A.若，，且與共線，則B.若，，且，則與不共線C.若、、三點共線，則向量都是共線向量D.若向量，且，則【答案】BCD【解析】【分析】根據共線向量的性質判斷即可.詳解】對于A，或時，比例式無意義，故A錯誤；對于B，若，，與共線，則一定有，故B正確；對于C，若、、三點共線，則，，在一條直線上，則，，都是共線向量，故C正確；對于D，若向量，且，則，即，故D正確.故選：.11.在中，內角所對的邊分別為，，，，則（）A.B.C.D.的面積為或【答案】AD【解析】【分析】對于A，利用正弦定理即可得解；對于B，利用小邊對小角判斷得的范圍，再利用三角函數的平方關系即可得解；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，利用三角形面積公式即可得解.【詳解】對于A，因為，，，所以由，得，解得，故A正確；對于B，因為，所以，故，因為，所以，故B錯誤；對于C，由，得，解得或，經檢驗，與都滿足要求，故C錯誤；對于D，當時，；當時，；所以的面積為或，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量a，b滿足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________．【答案】【解析】【詳解】分析：（解法1）根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；（解法2）換元，令c＝a－b，結合數量積的運算律運算求解．詳解：（解法1）因為|a＋b|＝|2a－b|，即（a＋b）2＝（2a－b）2，則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.因為|a－b|＝，即（a－b）2＝3，則a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.（解法2）設c＝a－b，則|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.由題意可得：（c＋2b）2＝（2c＋b）2，則c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.【考查意圖】模與夾角的運算．13.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則______________________.【答案】【解析】【分析】首先設向量，根據條件，結合數量積公式，即可求解.【詳解】設.因為，所以.因為，所以，化簡得，解得，，所以，.因為是與軸平行的向量，故舍去，所以.故答案為：.14.在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據正弦定理解三角形即可得解.【詳解】在中，，，所以，在中，由正弦定理可得所以，.故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是平面上兩個不共線的向量，且.（1）若，方向相反，求的值；（2）若，，三點共線，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由，方向相反，則存在負數使得，再根據向量相等即可求出的值；（2）由三點共線，則存在存在，使得，再根據向量相等即可求出的值．【小問1詳解】由題意知，，則存在，使得，即，整理，得.由，是不共線的向量，得解得或又，方向相反，則，，故的值為2.【小問2詳解】由題意得,.由，，三點共線得，存在，使得，即，整理得.由，是不共線的向量，得解得或綜上，或.16.設，，，為平面內的四點，且，，.（1）若，求點的坐標；（2）設向量，若與平行，求實數的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據平面向量的坐標運算以及相等向量、共線向量的坐標運算即可得解.【小問1詳解】設點，則,.因為，所以，即得.所以點的坐標為.【小問2詳解】由題意得，所以，.因為，所以，解得.17.已知向量，.（1）求；（2）已知，且，求向量與向量的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐標表示，再借助坐標計算向量的模作答.（2）由向量的模，結合向量的數量積運算律轉化求出向量的數量積，再求出夾角作答.【小問1詳解】由題知，，，所以，所以.【小問2詳解】由題知，，，設向量與向量的夾角為，所以，即，解得，因為，所以向量與向量的夾角為.18.在中，分別是角的對邊，且．（1）求角B的大小；（2）若，，求a的值．【答案】（1）（2）1或3【解析】【分析】（1）根據正弦定理化簡已知的等式,再利用兩角和的正弦函數公式及誘導公式化簡后,由不為0,即可得到的值,根據B的范圍,利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；（2）利用余弦定理得到,配方后把b,及的值代入,列出關于a的方程,求出方程的解即可得到a的值．【詳解】解：（1）由正弦定理得,得,代入,即,化簡得：,,,,,,又∵角B為三角形的內角,；（2）將,,,代入余弦定理,得,或．【點睛】本題主要考查了正弦與余弦定理以及三角函數和差角公式的運用