人教版高中數學知識點(必修+選修)

高中數學必修1知識點

第一章集合與函數概念

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數集及其記法

N表示自然數集，N*或N+表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

(3)集合與元素間的關系

對象a與集合M的關系是aeM,或者。史兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描述法：｛Jdx具有的性質｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質示意圖

⑴AqA

AcB

A中的任一元素都屬(2)0oA

子集(或

于B⑶若AqB且區口。，則

B^A)

(4)若AqB且BqA,則A=3或

ACB(1)0uA(A為非空子集)

A旦B,且B中至*

真子集(或

少有一元素不屬于A⑵若Au3且BuC,則AuC

BZ5A)***

手

A中的任一元素都巧

集合(l)AOB

于B,B中的任一元

相等A=B(2)BOA

素都屬于A

(7)已知集合4有〃(〃21)個元素，則它有2"個子集，它有2"—1個真子集，它有2"—1個非空子

集，它有2"-2非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

(8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質示意圖

(1)AA=A

{x|A,且(2)A0=0

交集AB

xeB}(3)ABA

ABqBCD

(1)AA=A

{x|A或(2)A0=A

并集AB

XGB}(3)AB^A

AB=B

1A&A)=02A&A)=U

{x\xeU,^bc^A}骸A8)=(〃A)&B)u

補集Q)

秒A8)=((%B)

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x|<a{a>0){x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)X|XV-Q或X>Q}

把ox+b看成一個整體，化成|x|<a,

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=/?2-4ac

\/

二次函數

V

y=ax2+Zz￥+c(。>0)

0

的圖象十0

2

一元二次方程-b±ylb-4ac

x

1\?=---------------b

ax+/zr+c=0(a〉())“2a一五無實根

的根(其中玉

<x2)

cue+/zx+c>()(.>())t,b、

{1|X<用或%>工2}{x|}R

的解集2a

ax2+/zx+c<0(a>0)

{x\X1<X<x2]00

的解集

n.22函數及其表示

［1.2.1］函數的概念

(1)函數的概念

①設A、8是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則/,對于集合A中任何一個數X,在集合

B中都有唯一確定的數/(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及4到8的對應法

則f)叫做集合A到B的一個函數，記作了:AfB.

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則.

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數.

(2)區間的概念及表示法

①設。力是兩個實數，且。<匕，滿足。<無<6的實數x的集合叫做閉區間，記做［a,勿；滿足

a<x<。的實數x的集合叫做開區間，記做(a,8)；滿足或的實數x的

集合叫做半開半閉區間，分別記做(a,b］；滿足了2。,%>。,％<"》<力的實數》的

集合分別記做［a,+8),(a,+co),(-8,)］,(TO,Z?).

注意：對于集合｛x|a<x<)｝與區間(a,b),前者a可以大于或等于6,而后者必須

a<b.

(3)求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①/(X)是整式時，定義域是全體實數.

②f(x)是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數.

③/(X)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合.

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1.

兀

⑤y=tan無中，xk/r+—(keZ).

⑥零(負)指數幕的底數不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時、則其定義域一般是各基本初等函數

的定義域的交集.

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域為［a力］,其復合函數

/Tg(x)］的定義域應由不等式a<g(x)W人解出.

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數的值域中存在一個

最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是

提問的角度不同.求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數

的值域或最值.

③判別式法：若函數y=/(X)可以化成一個系數含有y的關于x的二次方程

?(y)x2+b(y)x+c(y)-0,則在a(y)rO時，由于x,y為實數，故必須有

A=從(y)—4a(y)?c(y)>0,從而確定函數的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為

三角函數的最值問題.

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值.

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值.

⑧函數的單調性法.

[1.2.2]函數的表示法

(5)函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

(6)映射的概念

①設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則對于集合A中任何一個元素，在集合B中都

有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,8以及A到B的對應法則f)叫做集合

A到B的映射，記作

②給定一個集合A到集合8的映射，且如果元素a和元素。對應，那么我們把元

素〃叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.

K1.32函數的基本性質

[1.3.1]單調性與最大(小)值

(1)函數的單調性

①定義及判定方法

函數的

定義圖象判定方法

性質

如果對于屬于定義域I內某/(1)利用定義

個區間上的任意兩個自變量(2)利用已知函數的

的值X1>X2,當Xi<和時，都f(xj單調性

(3)利用函數圖象

有f(Xi)<f(x2),那么就說~f(xj

(在某個區間圖

f(x)在這個區間上是增函

象上升為增)

藜.0

函數的x(x,X(4)利用復合函數

單調性

如果對于屬于定義域1內某y=f(x)(1)利用定義

個區間上的任意兩個自變量(2)利用已知函數的

的值Xi、X”當Xi<》時，、單調性

f(x,)A.

(3)利用函數圖象

都有f(x,)>f(x2),那么就說

(在某個區間圖

f(x)在這個區間上是減函

象下降為減)

[)

數.X,X,X(4)利用復合函數

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數

為增函數，減函數減去一個增函數為減函數.

③對于復合函數y=/Tg(x)］,令"=g(x),若y=/(〃)為增，M=g(x)為增，則

y=/［g(x)］為增；若y=/(〃)為減，a=g(x)為減，則y=/［g(x)］為增；若y=/(〃)

為增，“=g(x)為減，則y=/［g(x)］為減；若y=/(〃)為減，“=g(x)為增，則

y=/[g(x)]為減.

(2)打"J"函數/(X)=%+—(?>0)的圖象與性質

x

/(X)分另!］在(-00,一?卜［G,+8)上為增函數，分另IJ在

0)>(O,JZ］上為減函數.

oV?

(3)最大(小)值定義

①一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數M滿足：(1)對于任意的一2而

xel,都有f(x)<M

(2)存在使得/(Xo)=M.那么，我們稱〃是函數/(%)/

的最大值，記作=

②一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數加滿足：(1)對于任意的

x&I,都有/(%)>m；(2)存在x()e/,使得于(％)=m.那么，我們稱機是函數/(x)的

最小值，記作&(幻=加?

［1.3.2］奇偶性

(4)函數的奇偶性

①定義及判定方法

函數的

定義圖象判定方法

性質

如果對于函數f(x)定義域內V(1)利用定義(要先

任意一個X,都有f(—x)=—(a.f(a))判斷定義域是否關于

ZT-原點對稱)

函數的，⑶，那么函數f(x)叫做奇明

一a(2)利用圖象(圖象

奇偶性￡oax

關于原點對稱)

(-a.f(-a))

如果對于函數f（x）定義域內（1）利用定義（要先

任意一個x,都有f（y判斷定義域是否關于

那么函數f（x）叫做(-a.f(-a))1(a,f(a))原點對稱）

（2）利用圖象（圖象

假喀婁C.

工二關于y軸對稱）

-aoa、

②若函數/（x）為奇函數，且在x=0處有定義，則/（0）=（）.

③奇函數在y軸兩側相對稱的區間增減性相同，偶函數在>'軸兩側相對稱的區間增減性相反.

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數

（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數.

K補充知識》函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域：②化解函數解析式；

③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；④畫出函數的圖象.

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、塞函數、三角函數等各種基本

初等函數的圖象.

①平移變換

y=/(x)〃>o,左移/?個單位=/(%+〃)

〃<0,右移㈤個單位

y=/(x)—需微露潞—y=/(x)+女

，JZv(),卜移1kli半包.J」

②伸縮變換

)0<灰1,伸

y=f(x。>1,縮

y=f(x)°<^>y=Af(x)

③對稱變換

>=/(X)3Uy=—/(%)y=f(x)-'軸>y=f(-x)

y=/(x)直綣>y=/T(x)

y=/(%)—M也-y=

去掉y軸左邊圖象

y=/(x)?y=/(|x|)

保留.V軸右邊圖象，并作其關于.V軸對稱圖象

v-f（x\保留Zih卜.方圖象、v_|agI

y_?/o）將x軸下方囪篆翻折上去,0TJWI

（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義

域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系.

（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途

徑，獲得問題結果的重要工具.要重視數形結合解題的思想方法.

第二章基本初等函數（I）

K2.13指數函數

[2.1.1]指數與指數塞的運算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aw足xwR〃>1,且〃eN卡,那么x叫做。的〃次方根.當〃是奇數

時，a的“次方根用符號標表示；當〃是偶數時，正數a的正的〃次方根用符號后表示，負的

〃次方根用符號一折表示；o的〃次方根是0；負數a沒有〃次方根.

②式子標叫做根式，這里〃叫做根指數，。叫做被開方數.當〃為奇數時，。為任意實數；

當〃為偶數時，a>0.

③根式的性質：（折）"=a；當〃為奇數時，V/=a；當〃為偶數時，

yfd'=\a\="(?>O)

—ci3<O)

（2）分數指數箱的概念

①正數的正分數指數'幕的意義是:。〃加,〃wN+，且〃>1）.0的正分數指數

基等于0.

②正數的負分數指數辱的意義是：a-=（_1"=小（_1）"'3>0,/〃,〃€乂，且”>1）.o

aVa

的負分數指數鼎沒有意義.注意口訣：底數取倒數，指數取相反數.

(3)分數指數基的運算性質

①ar?as=d+s{a>0,r,seR)②(ar)s=a'、(a>0,r.seR)

③(〃/?)'=aE(a>0,b>0,rwR)

[2.1.2]指數函數及其性質

值域(0,+00)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數在R上是減函數

相>1(x>0)ax<1(x>0)

函數值的ax=1(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a變化對圖象的

在第一象限內，。越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低.

影響

K2.22對數函數

[2.2.1]對數與對數運算

(1)對數的定義

①若a'-N(a>0,且a。1),則x叫做以a為底N的對數，記作x=log,,N,其中a叫做底

數，N叫做真數.

②負數和零沒有對數.

③對數式與指數式的互化：x=log,,No優=N(a>0,aw1,N>0).

(2)幾個重要的對數恒等式

log,,1=0,log“a=l,log"a"=從

(3)常用對數與自然對數

常用對數：lgN,即logioN：自然對數：InN,即logeN(其中e=2.71828…).

(4)對數的運算性質如果。>0,N>(),那么

M

①加法：logaM+log(,N=log(,(MN)②減法：log“M-log?N=log”—

③數乘：nlog”M-log“@a'OSu'v=N

⑤log"=3og“R)⑥換底公式：log“N=”(b>0,且L￥1)

"blog%a

[2.2.2]對數函數及其性質

(5)對數函數

函數

對數函數

名稱

定義函數y=log”x(a>0且aw1)叫做對數函數

圖象a>\0<a<1

1X=1JiX=1

yiy=log”*yiy=1砥*

Ju

\；(1,0)

：

0/(1,0)x0\X

定義域/!(0,+8)

值域1'R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調性在(0,+8)上是增函數在(0,4-00)上是減函數

log?x>0(x>l)log((x<0(x>l)

函數值的logx=0(x=l)log“x=0(x=l)

變化情況a

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對圖象的

在第一象限內，。越大圖象越靠低：在第四象限內，。越大圖象越靠高.

影響

(6)反函數的概念

設函數y=/(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出x,得式子

x=e(y).如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=g(y)，》在A中都有唯一確定的值和

它對應，那么式子x=°(y)表示x是y的函數，函數x=Q(y)叫做函數y=/(x)的反函數，記

作尤=習慣上改寫成y=f~'(x).

(7)反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；②從原函數式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=7"(y)改寫成y=/''(%)，并注明反函數的定義域.

(8)反函數的性質

①原函數y=f(x)與反函數y=/T(X)的圖象關于直線y=x對稱.

②函數y=f(x)的定義域、值域分別是其反函數y=/T(X)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數y=f(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數y=廣'(%)的圖象上.

④一般地，函數y=/(x)要有反函數則它必須為單調函數.

K2.32幕函數

(1)黑函數的定義

一般地，函數y=x"叫做某函數，其中尤為自變量，a是常數.

(2)基函數的圖象

（3）箱函數的性質

①圖象分布：幕函數圖象分布在第?、二、三象限，第四象限無圖象.哥函數是偶函數時，圖象分布在第

一、二象限（圖象關于y軸對稱）；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限（圖象關于原點對稱）；是非奇非

偶函數時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：所有的簿函數在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調性：如果a>0,則塞函數的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數.如果a<0,則環函數

的圖象在（0,+8）上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近無軸與y軸.

④奇偶性：當a為奇數時，幕函數為奇函數，當。為偶數時，黑函數為偶函數.當a="（其中

P

互質，〃和qeZ）,若p為奇數q為奇數時，則y=x"是奇函數，若p為奇數q為偶數時，則

y=是偶函數，若p為偶數q為奇數時，則丁=犬，'是非奇非偶函數.

⑤圖象特征：轅函數丁=%”,%€（0,+8）,當a>l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方一，

若x>l,其圖象在直線y=x上方，當。<1時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若

%>1,其圖象在直線y=x下方.

K補充知識》二次函數

（1）二次函數解析式的三種形式

①一般式：/（%）=辦2+法+以“。0）②頂點式：/（X）=a（x—。）2+攵（a。0）③兩根式:

/（X）=a（x-）（x-x2）（?0）（2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與無軸有兩個交點，且橫線坐標已知時、選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數圖象的性質

b

①二次函數/（幻="2+法+式。。0）的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=----，頂點坐標是

2a

b4ac-b2

（一—~~,

2a4。

②當。＞0時，拋物線開口向上，函數在（一8,-2］上遞減，在［-2,+8）上遞增，當了=-2

2a2a2a

4-cic—〃b

時，ZninW=-------；當Q＜°時，拋物線開口向下，函數在（一8,——］上遞增，在

4a2a

b。、^ac—b~

r［一+00）上遞減，當％=一丁時，/回（x）=----.

2a2a4a

：

③二次函數/。）=?1?+歷|（：+或4：/：0）當A=萬-467。＞0時，圖象與X軸有兩個交點

MG，0）,MG,0）,|MMHXfl=f--

l?l

（4）一元二次方程a?+次:+c=0（a，0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚

不夠系統和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數關系定理（韋達定理）的運

用，下面結合二次函數圖象的性質，系統地來分析?元二次方程實根的分布.

設一元二次方程以2+灰+。=0（。#0）的兩實根為大，”2，且王4工2?令

f（x）^ax2+bx+c,從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置:

b

x=——③判別式：△④端點函數值符號.

@Xi<k,<X2af(lc)<0

④LVxiWx2V他U*

⑤有且僅有一個根X.(或xj滿足k〈X,(或照)<k2<=>/a.)M)<0,并同時考慮

/(^)=0或/仇)=0這兩種情況是否也符合

⑥kiVxVkWpVx2Vp士<=>

此結論可直接由⑤推出.

(5)二次函數/(x)=ax2+bx+c(aw0)在閉區間［p.q］上的最值

設/(x)在區間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令玉)=；(〃+9).

(I)當〃>0時(開口向上)

hbhh

①若----<〃，則〃2=/(p)②若p<-----<9，則加=/(-----)③若-----，則

2a2a2a2a

m=于⑷

-

-

-

T

勛…什b

，③右------>q,

；/2a

(

X

！

①若----<*0，則加=/(q)②——>玉)，

2a2a

z

l

\-

kXXXxXXXXXXXXX\XXXXX\xxxxXX\XXXXXXX\XXXXXX\X\X\XXX、\K\、\、\v\、\、\

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數y=/(x)(xe0),把使/(x)=0成立的實數x叫做函數

y-/(x)(xeD)的零點。

2、函數零點的意義：函數y=/(%)的零點就是方程f(x)=0實數根，亦即函數y=/(x)

的圖象與X軸交點的橫坐標。即：

方程/（x）=0有實數根o函數y=/（x）的圖象與x軸有交點o函數y=/O）有零

點.

3、函數零點的求法：

求函數>=/（X）的零點：

①（代數法）求方程y（x）=o的實數根；

②（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數^=/（X）的圖象聯系起來，并利

用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數y-ax2+bx+c（a豐0）.

i）△>o,方程ax?+Z?x+c=0有兩不等實根，二次函數的圖象與無軸有兩個交點，二次

函數有兩個零點.

2）△=o,方程ax?+/JX+C=（）有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與x軸有一個

交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

3）△<o,方程ax?+/?x+c=0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零

點.

高中數學必修2知識點

第一章空間幾何體

i.i柱、錐、臺、球的結構特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積5=2科/+2嘲錐的表面積5="/+勿二

4圓臺的表面積S="/+制？+乃R/+%R25球的表面積S=4成2

(-)空間幾何體的體積

1柱體的體積丫=5底X〃2錐體的體積丫=!5底'/2

3臺體的體積V=；(S上+JS上S0+S下)》14球體的體積V=g%R*

第二章直線與平面的位置關系

空間點、直線、平面之間的位置關系

2.1C

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

A

2平面的畫法及表示

<1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成?個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長

(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、B、丫等表示，如平面。、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的

四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內

符號表示為

Bea

公理1作用：判斷直線是否在平面內

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使Ada、Bea、Cea。

公理2作用：確定一個平面的依據。

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它勺

符號表示為：PWaCB=>aCip=L,且PWL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系

1空間的兩條直線有如下三種關系：

/日交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；

共面直線S

'，行直線：同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

2公理4：平行于同?條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a〃b}=>a//c

c〃b

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補

4注意點：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點0-一般取在兩直

線中的一條上；7T

②兩條異面直線所成的角。e(0,)；2

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3一2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

1、直線與平面有三種位置關系：

(1)直線在平面內一一有無數個公共點

(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可用aa來表示，

2.2.直線、平面平行的判定及其性質

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aac―

bBU=>a7/a

a〃b一

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aU、

bC

aClb=