第1頁（共1頁）2025年山東省聊城市東昌府實驗中學等多所學校中考數學一調試卷一.選擇題（每題3分，共10小題，共30分）1．（3分）在實數，x0（x≠0），cos30°，中，有理數的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（3分）2022年5月，神舟十三號搭載的1.2萬粒作物種子順利出艙，其中1.2萬用科學記數法表示為（）A．1.2×103 B．12×103 C．1.2×104 D．1.2×1053．（3分）如圖，這是由兩塊完全相同的長方體木塊組成的幾何體，其主視圖為（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，m上，若∠ABE＝21°（）A．45° B．39° C．29° D．21°5．（3分）下列運算正確的是（）A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝177．（3分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，則至少一輛車向右轉的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，△ABC的中位線DE＝5cm，把△ABC沿DE折疊，若A、F兩點間的距離是8cm，則△DEF的面積為（）A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm29．（3分）《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，余繩四尺五寸；屈繩量之，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2（）A．24 B．36 C．40 D．44二.填空題（每題3分，共6小題，共18分）11．（3分）分解因式：2abx2﹣8ab＝．12．（3分）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍為．13．（3分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的兩個根，則α2﹣4α﹣β的值為．14．（3分）我國南方一些地區的農民戴的斗笠是圓錐形．已知圓錐的母線長為30cm，底面圓的半徑為24cm，則圓錐的側面積為cm2．（結果用π表示）15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DE＝4，則BC的長是．16．（3分）如圖，已知OA1＝1，以OA1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此規律進行下去，則Rt△OA2022A2023的直角邊A2022A2023的長為．三.解答題（共7小題，共72分）17．（8分）先化簡，再求值：，其中x是不等式組18．（10分）隨著新能源汽車使用的日益普及，各個小區都紛紛完善新能源汽車的配套設施，其中新能源充電樁的建設成為重點工作，計劃購置單槍、雙槍兩款新能源充電樁，來滿足小區內新能源汽車車主日益增長的充電需求，在購置過程中，面臨著不同的價格、數量以及預算限制等問題，購置充電樁的相關信息如表：單槍充電樁雙槍充電樁花費：50000元花費：45000元單價：x元/個單價：1.5x元/個（1）若本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多20個，求單槍、雙槍兩款新能源充電樁的單價；（2）在（1）的條件下，根據居民需求，已知單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了10%，雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了10%，求小區最少需要購買單槍新能源充電樁的數量．19．（8分）“基礎學科拔尖學生培養試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養計劃，旨在培養中國自己的杰出人才．已知A，B，C，D，并開設了暑期夏令營活動，參加活動的每名中學生只能選擇其中一所大學．某市為了解中學生的參與情況，并將統計數據整理后，繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖．（1）請將條形統計圖補充完整；（2）在扇形統計圖中，D所在的扇形的圓心角的度數為；若該市有1000名中學生參加本次活動，則選擇A大學的大約有人；（3）甲、乙兩位同學計劃從A，B，C三所大學中任選一所學校參加夏令營活動，請利用樹狀圖或表格求兩人恰好選取同一所大學的概率．20．（10分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求證：△ACE∽△BAD．（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝221．（12分）火災是最常見、最多發的威脅公眾安全和社會發展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，B，O在同一直線上，DO可繞著點O旋轉，點O，A，C在同一水平線上，套管OB的長度不變，在某種工作狀態下測得液壓桿AB＝3m，∠DOC＝37°．（1）求BO的長；（2）消防人員在云梯末端點D高空作業時，將BD伸長到最大長度6m，云梯DO繞著點O順時針旋轉一定的角度，求云梯OD旋轉了多少度．（參考數據，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）22．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．（1）求證：BC∥EF；（2）連接CE，若⊙O的半徑為，求陰影部分的面積（結果用含π的式子表示）．23．（12分）德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果＝，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．（1）特例感知：在圖①中，若AB＝100，求AC的長；（2）知識探究：如圖②，作⊙O的內接正五邊形；①作兩條相互垂直的直徑MN、AI；②作ON的中點P，以P為圓心，PA為半徑畫弧交OM于點Q；③以點A為圓心，AQ為半徑，在⊙O上連續截取等弧，連接AE；則五邊形ABCDE為正五邊形．在該正五邊形作法中，點Q是否為線段OM的黃金分割點？請說明理由；（3）拓展應用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯系．延長題（2）中的正五邊形ABCDE的每條邊，相交可得到五角星，點E是線段PD的黃金分割點，請利用題中的條件

2025年山東省聊城市東昌府實驗中學等多所學校中考數學一調試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BCBBDCDBAD一.選擇題（每題3分，共10小題，共30分）1．（3分）在實數，x0（x≠0），cos30°，中，有理數的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據零指數冪，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答．【解答】解：在實數，x0（x≠4）＝1，cos30°＝，，有理數是，x0（x≠6），所以，有理數的個數是2，故選：B．2．（3分）2022年5月，神舟十三號搭載的1.2萬粒作物種子順利出艙，其中1.2萬用科學記數法表示為（）A．1.2×103 B．12×103 C．1.2×104 D．1.2×105【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數．【解答】解：1.2萬＝12000＝3.2×104．故選：C．3．（3分）如圖，這是由兩塊完全相同的長方體木塊組成的幾何體，其主視圖為（）A． B． C． D．【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【解答】解：根據題意，從正面看得到的圖形為：．故選：B．4．（3分）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，m上，若∠ABE＝21°（）A．45° B．39° C．29° D．21°【分析】過點A作AF∥l，由平行公理的推論得出AF∥m，根據平行線的性質得出∠BAF＝∠ABE，∠ACD＝∠CAF，根據等邊三角形的性質得出∠BAC＝60°，即可求出∠ACD的度數．【解答】解：如圖，過點A作AF∥l，∵直線l∥m，∴AF∥m，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵AF∥l，∴∠BAF＝∠ABE，∵∠ABE＝21°，∴∠BAF＝21°，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣21°＝39°，∵AF∥m，∴∠ACD＝∠CAF＝39°，故選：B．5．（3分）下列運算正確的是（）A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3b）2＝2a6b2 D．a（2a+1）＝2a2+a【分析】根據合并同類項對A選項進行判斷；根據完全平方公式對B選項進行判斷；根據冪的乘方與積的乘方對C選項進行判斷；根據單項式乘多項式法則對D選項進行判斷．【解答】解：A．a4與a3不能合并，所以A選項不符合題意；B．（a﹣2）2＝a2﹣3a+1，所以B選項不符合題意；C．（2a8b）2＝4a4b2，所以C選項不符合題意；D．a（2a+7）＝2a2+a，所以D選項符合題意．故選：D．6．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝17 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝17【分析】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣3x＝1，∴x2﹣2x+4＝1+5，∴（x﹣2）2＝6．故選：C．7．（3分）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，則至少一輛車向右轉的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據題意列表，由表格可得出所有等可能的結果數以及至少有一輛車向左轉的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：直行左轉右轉直行（直行，直行）（直行，左轉）（直行，右轉）左轉（左轉，直行）（左轉，左轉）（左轉，右轉）右轉（右轉，直行）（右轉，左轉）（右轉，右轉）由表格可知，共有9種等可能的結果，至少有一輛車向右轉的結果有共5種，∴至少有一輛車向右轉的概率為．故選：D．8．（3分）如圖，△ABC的中位線DE＝5cm，把△ABC沿DE折疊，若A、F兩點間的距離是8cm，則△DEF的面積為（）A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2【分析】根據對稱軸垂直平分對應點連線，可得AF即是△ABC的高，再由中位線的性質求出BC，繼而可得△ABC的面積，然后根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，BC＝2DE＝10（cm）；由折疊的性質可得：AF⊥DE，△DEF≌△DEA，∴AF⊥BC，∴S△ABC＝BC×AF＝8），∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝（）2＝．∴S△DEF＝S△ADE＝S△ABC＝10（cm3），故選：B．9．（3分）《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，余繩四尺五寸；屈繩量之，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】設木頭長為x尺，繩子長為y尺，根據“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：設木頭長為x尺，繩子長為y尺，由題意可得，故選：A．10．（3分）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2（）A．24 B．36 C．40 D．44【分析】根據正方形和三角形的面積公式即可得到結論．【解答】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，∵圖1中大正方形的面積是24，∴a2+b2＝c2＝24，∵小正方形的面積是4，∴（a﹣b）5＝a2+b2﹣4ab＝4，∴ab＝10，∴圖2中最大的正方形的面積為＝c8+4×ab＝24+2×10＝44；故選：D．二.填空題（每題3分，共6小題，共18分）11．（3分）分解因式：2abx2﹣8ab＝2ab（x+2）（x﹣2）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2abx2﹣8ab＝2ab（x2﹣2）＝2ab（x+2）（x﹣7），故答案為：2ab（x+2）（x﹣3）．12．（3分）已知關于x的不等式組無解，則a的取值范圍為a≤3．【分析】分別求出每一個不等式的解集，再根據原不等式組無解可得a＞2a﹣3，求解即可．【解答】解：，解不等式①可得：x＞a，解不等式②得：x≤2a﹣8，∵關于x的不等式組無解，∴a≥2a﹣3，解得：a≤3，故答案為：a≤3．13．（3分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的兩個根，則α2﹣4α﹣β的值為5．【分析】將α2﹣4α﹣β化為α2﹣3α﹣（α+β）分別求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣4的兩個根，∴α2﹣3α﹣7＝0，∴α2﹣7α＝8，∵α+β＝3，∴α7﹣4α﹣β＝α2﹣2α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝4﹣3＝5．故答案為：3．14．（3分）我國南方一些地區的農民戴的斗笠是圓錐形．已知圓錐的母線長為30cm，底面圓的半徑為24cm，則圓錐的側面積為720πcm2．（結果用π表示）【分析】圓錐的側面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面圓的半徑為24cm，則底面周長＝48πcm×48π×30＝720πcm3．15．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DE＝4，則BC的長是2．【分析】由垂徑定理得到，設OA＝OE＝r，則OD＝DE﹣OE＝4﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得，解得r＝3，由AB是⊙O的直徑得到AB＝2r＝6，∠ACB＝90°，則．【解答】解：∵OD⊥AC，，∴，設OA＝OE＝r，則OD＝DE﹣OE＝4﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD2+AD3＝OA2，∴，解得r＝3，∵AB是⊙O的直徑，∴AB＝4r＝6，∠ACB＝90°，∴，故答案為：2．16．（3分）如圖，已知OA1＝1，以OA1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°，…按此規律進行下去，則Rt△OA2022A2023的直角邊A2022A2023的長為．【分析】通過銳角三角函數和勾股定理，依次求得每個三角形的兩條直角邊，再從其中找出規律，即可得出結論．【解答】解：由題意得：在Rt△OA1A2中，OA4＝1，；在Rt△OA2A8中，，；在Rt△OA2A4中，，；在Rt△OA4A5中，，；……∴在Rt△OAnAn+1中，，，∴當n＝2022時，，．故答案為：．三.解答題（共7小題，共72分）17．（8分）先化簡，再求值：，其中x是不等式組【分析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把x的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【解答】解：＝?＝?＝，∵，∴﹣≤x＜﹣8，∴該不等式組的整數解為：﹣3，﹣2，∵x7﹣9≠0，x﹣3≠0，∴x≠±3，x≠6，∴當x＝﹣2時，原式＝．18．（10分）隨著新能源汽車使用的日益普及，各個小區都紛紛完善新能源汽車的配套設施，其中新能源充電樁的建設成為重點工作，計劃購置單槍、雙槍兩款新能源充電樁，來滿足小區內新能源汽車車主日益增長的充電需求，在購置過程中，面臨著不同的價格、數量以及預算限制等問題，購置充電樁的相關信息如表：單槍充電樁雙槍充電樁花費：50000元花費：45000元單價：x元/個單價：1.5x元/個（1）若本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多20個，求單槍、雙槍兩款新能源充電樁的單價；（2）在（1）的條件下，根據居民需求，已知單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了10%，雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了10%，求小區最少需要購買單槍新能源充電樁的數量．【分析】（1）根據表格信息以及本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多20個列出分式方程，解方程，即可求解；（2）先計算總花費為[1100a+1350（20﹣a）]元，根據此次加購小區預備支出不超過25000元，列出不等式，解不等式，求最小整數解，即可求解．【解答】解：（1）根據題意可得，解得x＝1000，經檢驗，x＝1000是原方程的解，4.5x＝1.4×1000＝1500（元/個），所以單槍新能源充電樁的價格為1000元/個，雙槍新能源充電樁的價格為1500元/個，答：單槍新能源充電樁的價格為1000元/個，雙槍新能源充電樁的價格為1500元/個；（2）單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了10%，則現在單槍新能源充電樁的單價為1000×（1+10%）＝1100（元/個），雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了10%，則現在雙槍新能源充電樁的單價為1500×（1﹣10%）＝1350（元/個），設再次購進單槍新能源允電社a個，則購進雙槍新能源允電社（20﹣a）個，∵此次加購小區預備支出不超過25000元，∴1100a+1350（20﹣a）≤25000，解得 a≥2，∴a的最小值為8，即小區最少需要購買單槍新能源充電樁8個，答：小區最少需要購買單槍新能源充電樁8個．19．（8分）“基礎學科拔尖學生培養試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養計劃，旨在培養中國自己的杰出人才．已知A，B，C，D，并開設了暑期夏令營活動，參加活動的每名中學生只能選擇其中一所大學．某市為了解中學生的參與情況，并將統計數據整理后，繪制了不完整的條形統計圖和扇形統計圖．（1）請將條形統計圖補充完整；（2）在扇形統計圖中，D所在的扇形的圓心角的度數為14.4°；若該市有1000名中學生參加本次活動，則選擇A大學的大約有200人；（3）甲、乙兩位同學計劃從A，B，C三所大學中任選一所學校參加夏令營活動，請利用樹狀圖或表格求兩人恰好選取同一所大學的概率．【分析】（1）根據C組的人數和所占的百分比，可以計算出本次抽取的學生人數，然后即可計算出選擇B的人數，從而可以將條形統計圖補充完整；（2）根據條形統計圖中的數據，可以計算出在扇形統計圖中，D所在的扇形的圓心角的度數和該市有1000名中學生參加本次活動，選擇A大學的學生人數；（3）根據題意，可以畫出相應的樹狀圖，然后即可求得相應的概率．【解答】解：（1）本次抽取的學生有：14÷28%＝50（人），其中選擇B的學生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人），補全的條形統計圖如圖所示；（2）在扇形統計圖中，D所在的扇形的圓心角的度數為：360°×，該市有1000名中學生參加本次活動，則選擇A大學的大約有：1000×，故答案為：14.4°，200；（3）樹狀圖如下所示：由上可得，一共有9種等可能性，∴兩人恰好選取同一所大學的概率為＝．20．（10分）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求證：△ACE∽△BAD．（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2【分析】（1）根據CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED，即有∠ADB＝∠AEC，結合∠DAC＝∠B，可得△ACE∽△BAD；（2）根據△ACE∽△BAD，可得，即，問題隨之得解．【解答】（1）證明：∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD，（2）解：∵在（1）中已證明△ACE∽△BAD，∴，，∵CE＝3，BD＝4，∴，∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝6．21．（12分）火災是最常見、最多發的威脅公眾安全和社會發展的主要災害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側面示意圖，B，O在同一直線上，DO可繞著點O旋轉，點O，A，C在同一水平線上，套管OB的長度不變，在某種工作狀態下測得液壓桿AB＝3m，∠DOC＝37°．（1）求BO的長；（2）消防人員在云梯末端點D高空作業時，將BD伸長到最大長度6m，云梯DO繞著點O順時針旋轉一定的角度，求云梯OD旋轉了多少度．（參考數據，，，，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）【分析】（1）構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系進行計算即可；（2）求出旋轉前點D的高度DF，進而求出旋轉后點D′的高度D′G，再根據銳角三角函數的定義求出∠D′OG的大小，進而求出答案．【解答】解：（1）如圖，過點B作BE⊥OC于點E，在Rt△ABE中，∠BAC＝53°，∴BE＝AB?sin∠BAE＝3×sin53°≈3×＝，在Rt△BOE中，∠BOE＝37°，∵sin∠BOE＝，∴OB＝＝＝4（m），答：OB＝4m；（2）如圖，過點D作DF⊥OC于點F，過點D′作D′G⊥OC于點G，在Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝6+6＝10，∴DF＝OD?sin37°≈10×＝6（m），∴D′G＝D′H+HG＝3+8＝9（m），在Rt△D′OG中，OD′＝10m，∴sin∠D′OG＝＝，∴∠D′OG≈64°，∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，即云梯OD大約旋轉了27°．22．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．（1）求證：BC∥EF；（2）連接CE，若⊙O的半徑為，求陰影部分的面積（結果用含π的式子表示）．【分析】（1）連接OE，交BC于點G，根據等腰三角形的性質得到∠OAE＝∠OEA，由D為△ABC的內心，得到∠OAE＝∠CAE，求得OE∥AC，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BGO＝90°，根據切線的性質得到∠FEO＝90°，根據平行線的判定定理得到結論；（2）連接BE，根據三角函數的定義得到∠AEC＝30°，求得∠ABC＝∠AEC＝30°，求得EF＝OE?tan60°＝2，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【解答